2017年01月16日

【数B】センター数UBのB(2017年)

第3問 数列
(1)は数列の名前がaではなくsなのが無駄に和を想像させてくる(笑) が、そんなものにとらわれないように!
初項と公比が与えられているので最初の3項は1、2、4であることがすぐにわかる。あとは計算するだけ。
(2)は初項と公比がそれぞれxとrという文字になったが、これは(1)を一般化したものでこれも同様に最初の3項を考えるとである。これらをやはり同様に@Aの式に代入する。@の方を計算するとxr=aとなる。これをAを連立してxを消去するとCが埋まり、rの二次方程式の実数解が存在するためには判別式D≧0を整理すればDが埋まる。
(3)はaとbが与えられたのでCに代入してrを求め、次にBに代入してxを求める。ここでxとrは数列の初項と公比なので一般項が求められる。それがわかればの式に代入して対数の計算を進めればと求まり、これは等差数列と等比数列の積の形になっているのでその数列の和は誘導に従って計算すればよい。公比倍して1個ずらして引くやつと言えばピンとくるかな?(^^;

後半の計算がややこしかったが難易度はこれも標準。


第4問 ベクトル
座標の設定があるベクトルの問題。平面なので実際に座標平面に点を打って考えていくとよいだろう。
6点とも半径2の円周上の点なのでその座標はであることを利用するとBの座標が速く求まる。
(2)はベクトルONを誘導に従って求めていく問題。重要な立式はしてあるので自分で考えることはあまりない。やらなければいけないのは今回は座標が与えられているのでそれらをそのままベクトル成分として使うには始点を原点Oにする必要があるのでベクトルAMをベクトルOM−ベクトルOAのようにして計算する。それでベクトルAMとベクトルDCがわかったら、立ててあった式に代入してあとは成分比較の連立方程式を解いてs、tが求まる。それがわかればベクトルONもわかる。
(3)点Pの座標は(1、a)なのでこれとEの座標からベクトルEP=ベクトルOP−ベクトルOEでベクトルOEの成分がわかる。そして「このことにより」Hの座標がわかるという誘導だが、個人的にはここがわかりづらかった。求める点Hのx座標をxと置いてEP⊥CHよりベクトルEP・ベクトルCH=0から点Hのxを求めればよい。最後はベクトルでcos絡みは内積である。OPとOHの大きさはaを含む式でしか表せず少し複雑になるが、うまく計算できるようになっている。

第4問はやや難。


数UB全体としては標準。例年から比べると奇問がなかった。
個人的予想平均点は50点台前半。



【数T】センター数TAのT(2017年)
【数A】センター数TAのA(2017年)
【数U】センター数UBのU(2017年)
【数B】センター数UBのB(2017年)
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【数U】センター数UBのU(2017年)

第1問
[1]三角関数
使う公式はcosの半角の公式のみ!
の基本対称式がわかったところで、連立して解いてもいいけど、できれば二次方程式の解と係数の関係を使った方がスマート。絶対値の大小関係と2乗の大小関係は同じなので異なる2つの解のうちどちらがαのものかもわかる。あとはAからcosαとcosβが異符号でαとβの範囲とα<βよりcosαは正、cosβは負とわかる。

[2]指数・対数関数、図形と方程式
最初は真数条件。次は内分の公式。そしてDを整理する対数の性質など基本問題を誘導に従って解いていくとp、qまで求まる。最後は常用対数から小数にする計算問題だが、分母に小数が来るので計算が面倒。まずは底を10に変換。そして式を整理してから小数にして、小数第2位まで計算したらあとは四捨五入で終わり。

第1問は標準からやや難といったレベル。


第2問 微積分
(1)は基本的な接線の問題。定数aを含んだ状態での立式になるが誘導に従って解いていこう。
(2)は面積の問題だが、三角形なので積分を使うまでもなくRのy座標とPのx座標を利用して底辺×高さ÷2で計算しよう。Sはaの3次関数になるので微分して増減表を書いて最大値を求めよう。
(3)Tは図を描くと上が曲線Cで下が接線l、左はx=0、右はx=aに囲まれているので簡単な公式は使えず、地道に積分して計算するのみ。最後の指定範囲においてTの増減を知りたいときはS'の値が正か負かをチェックすればいい。S'は2次関数なので平方完成すれば軸が3/7でaの範囲は2/3から1なので2/3で最小。そしてそのS'の最小値が正なので、指定範囲内では常にS'>0となるので増加する。

少し計算は多いが難易度的には標準。



【数T】センター数TAのT(2017年)
【数A】センター数TAのA(2017年)
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【数B】センター数UBのB(2017年)
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【数A】センター数TAのA(2017年)

第3問 確率
(1)「少なくとも」とくればお馴染みの余事象。A、Bの両方がはずれる確率を1から引こう。
(2)3人で2本の当たりくじを引く事象を考える問題。(A、B、C)=(○、○、×)、(○、×、○)、(×、○、○)の3パターンなので「Aだけがはずれ」「Bだけがはずれ」「Cだけがはずれ」の3つが正解。その和事象のそれぞれの確率を足して1/2。
(3)は(2)の3パターンともが少なくともA、Bの一方があたりである(1)に含まれているので「(1)の確率」分の「(2)の確率」で3/5。
(4)今度はB、Cの少なくとも一方があたりの確率。普通ならば(1)と同様にB、Cがともにはずれる確率を1から引いて求めるだけだが、どんな事象の和事象かを考えるのが少しややこしい。0番の「Aがはずれのくじを引く」は一見BとCは無条件な感じだが、今はあたりもはずれも2本ずつしかないのでAがはずれの時点でもうはずれは1本しか残っていないので少なくともBかCのどちらかは必ずあたりを引くことになるのでこれが正解のひとつ。あとは「Bだけがはずれ」はつまり「Cはあたりを引く」ことになり、逆に「Cだけがはずれ」も「Bはあたりを引く」ことになるのでこの二つが正解。
A、Cの少なくとも一方があたりの確率もやはり余事象を利用すると求めやすい。
(5)は(3)と同様の条件付き確率。(3)と同様に考えるとすべて同じになる。

ここは誘導がややこしかったが標準。


第4問 整数の性質
(1)(2)は倍数の判定法。4の倍数は下2桁が4で割れること。
9の倍数は各位の数の合計が9で割れること。
最後のより36の倍数、つまり「4の倍数かつ9の倍数」なので、先に求めた3個の自然数7452、7056、7956を36で割って、それが自然数の2乗になっているものを選べばOK。
(3)は自然数の約数に関する問題。約数の個数は基本問題だが、なぜ指数+1の積で求まるのか、その考え方の理由を知らないと2の倍数の個数や4の倍数の個数は求められなかっただろう。1188を素因数分解するとなので1188の2の倍数の約数を作るにはこれらの素因数を組み合わせるときに少なくとも1つは素因数2を含めばよい。よって素因数2は1個か2個の2通り、素因数3は0個か1個か2個か3個の4通り、素因数11は0個か1個の2通りなので2×4×2で16通り。同様に4の倍数は素因数2を2個以上含めばよいので1×4×2で8通り。
最後の2進数に関する問題は10進数では末尾の0は10が何回掛けられているかという因数10の個数を意味するが、2進数では末尾の0は2が何回掛けられているかという因数2の個数を意味する。したがって今求めた2の倍数16個は少なくとも1個ずつは因数2を持っており、その中の8個は4の倍数でもあるのでさらにもう1つずつ持っている。なお8の倍数は素因数2が2個しかないので存在しない。したがってすべての約数の積には素因数2は16+8で24個含まれているので、2進数では末尾に24個の0が連続する。

第4問は最後が珍しい問題だったのでやや難


第5問 図形の性質
まずは図を描こう。それから考え始めると最初は方べきの定理を利用し、そこからCEを求める。そして次はメネラウスの定理を利用し、AFを求める。どちらも長さの積や長さの比(分数)で、典型的な式の形なので思いつきやすい。
(2)はいきなり∠ABCを求める問題だが、△ABCは3辺の長さが分かっているので余弦定理を使って求めよう。角度が分かれば△ABCの面積が分かるので、そこから内接円の半径もで求められる。BIの長さに関する問題は、内心IからABの接点に線を下すと垂線になるのでそこをPとしBPを求めることから始めよう。内接円とBC、CAとの接点をそれぞれQ、R、BP=xとおく。ある点から円に引いた接線は接点までの距離が等しいという性質を使うとBP=BQ=x、CQ=CR=8-x、AP=AR=3-xで、AC=AR+CRより7=8−x+3−x。xが求まればあとは△IBPで三平方の定理よりBIが求まる。

ここは標準。


今回の数TAは全体的に易しかったと思います。個人的予想平均点は60点。



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【数T】センター数TAのT(2017年)

今年も受験生の皆さん、センター試験お疲れさまでした。
4年後にはもうセンター試験そのものがなくなるのでセンターの記事を書くのも今回を含めてあと4回です。
それでは今年も数Tから行きましょう!

第1問
[1]対称式
2項の2次式の対称式から1次の値を求め、次に3次、4次と。
対称式の問題としては珍しくない基本的な問題。
3次は基本対称式で表すのではなく因数分解の方法で解くよう誘導されている。

[2]命題の真偽、必要/十分条件
条件pはx=1、条件qは方程式を解くとx=±1となる。
答えが2回連続で「必要条件でも十分条件でもない」となって不安になるが具体的に考えられるのでそれほど迷わずに答えたい。
(2)もわかりやすかっただろう。Cの命題は対偶で考えると簡単。

[3]二次関数
4次の定数aを含むxの二次関数。
最初は再頻出の平方完成。それができれば続きもできなくてはおかしい。y座標の最小値についてはと置くときにt≧0という条件が付くのでそれに注意して最小値を考えよう。

第1問は奇問はなく易。


第2問
[1]三角比
まず(1)は余弦定理からACを、そして正弦定理で外接円の半径とsin∠BACを求める。
(2)はABとADとその間の角のsinを使った三角形の面積の公式を立てることでAB・ADの値を求め、そこにABの値を代入してADを求める。

[2]データの分析
まず(1)は3つの散布図から読み取れることを選ぶ問題。しっかり見れば迷うところはなかったはず。
(2)はXのデータすべてを定数倍したり定数を加えたりすると分散、共分散、相関係数がどう変化するかの問題。これは前年のセンター試験でも同様の問題が出ていたので過去問をやっていた人には簡単だっただろう。Dのデータにaを加えると平均もa大きくなるので偏差は変わらない。よって分散も変わらない。一方、Dのデータをa倍すると平均もa倍で偏差もa倍なので分散は倍になる。従って
 X=1.80×(D-125.0)+60.0
よりXの分散は倍。
次はXとYの共分散はDとYの共分散の何倍か。Xの偏差は1.8倍、Yの偏差はそのままなのでXの偏差とYの偏差の積は1.8倍。よって共分散は1.8倍。
そして相関係数はこの場合変化なし。なぜなら相関係数を求める公式の分母はXの標準偏差は1.8倍、Yの標準偏差は1倍、そして分子のXとYの共分散は1.8倍となっているからである。
(3)はヒストグラムと箱ひげ図の組み合わせを考える問題だが、実は問題文の最後にある「ただし、1回目のX+Yの最小値は108.0であった」という記述のみで1回目のヒストグラムはAで箱ひげ図はaであることが断定できる。そして箱ひげ図から読み取れることも大小比較だけなのでとても分かりやすい。

第2問も易。



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posted by ジュンジ at 00:42 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2016年02月25日

【数A】大学入試における数Aの注意点

1年前の2015年度の大学入試から新課程になりました。
数Aは「場合の数と確率」「整数の性質」「図形の性質」の
3つの単元があり、指導要項では標準2単位で
この3つのうち2つを履修すればよいことになっています。
なのでセンター試験の数学T・Aではこの3つが1問ずつ出題され
3問から2問選択するようになっています。


が!


一般入試においてはそのような措置がない場合もあるようで
今日国公立大の前期試験を受けている生徒から聞いたのですが
数学Aを範囲に含む試験で「整数の性質」の問題が必須問題で
出題されたらしいです。
その子は学校の授業では3単元とも習ったけど
センターに向けては「場合の数と確率」「図形の性質」を
中心に勉強していたのでお手上げだったようです。

というわけで
数Aはどれか2単元をやっておけばいいということではない
ということが証明されました。

まあ大学にもよると思いますが(^^;

数Bも「数列」「ベクトル」「確率分布と統計的な推測」の3単元で
標準2単位なので数Aと同じ状況なのですが
数Bに関しては「数B(数・ベ)」という表記を見かけますね。

数Aも数Bもそういった指定がない場合は
どの単元も出題範囲の対象になっている
ということのようですのでご注意を。



2016.3.7 修正しました(^^;
【正】1年前の2015年度の大学入試から新課程になりました。
【誤】1年前の2016年度の大学入試から新課程になりました。
posted by ジュンジ at 13:21 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学A