【数B】隣接3項間の漸化式（定数項あり）の解き方

隣接3項間の漸化式というとほとんどが

　an+2 + p･an+1 + q･an = 0

のように隣接する3項の実数倍の和が0になる
という漸化式が多く、
これは普通の教科書にも出てきます。
このブログでも以前書きました。
フィボナッチ数列もこれに当てはまります。

■関連記事
【数B】隣接3項間の漸化式の解き方
【数B】フィボナッチ数列



しかしその和が0ではない漸化式もあります。
今回は和が定数rになる漸化式を考えてみましょう。







■ an+2 + p･an+1 + q･an = r　タイプの解き方 ■

例題にそって説明していきます。

=========================================
例題

　　a1＝1、a2＝1
　　an+2 ＋ 2･an+1 − 3･an ＝ 4
　　を満たす数列の一般項anを求めよ。

=========================================

まずこの漸化式にある項を係数を省略して書き上げると
　第n+2項の an+2
　第n+1項の an+1
　第n項の an
　定数項
の4種類です。
漸化式を上手く解く方法としてよくやるのは

　等比数列の形を作るように式変形する

ことです。
等比数列の形にすれば結果的には
右辺のnが左辺ではn+1になるようになります。
つまり左辺では右辺よりnの値が
1だけ大きくなっている状態になります。

なので先ほど書き上げた4種類の項のうち
第n+2項、第n+1項、第n項の3種類の項も
そうなるように

左辺には
第n+2項、第n+1項

右辺には
第n+1項、第n項

のように分け、対応するそれぞれの係数は
両辺で同じになる必要があります。
定数項が(0で)存在しない場合はこれで

　an+2 ＋ αan+1 ＝β(an+1 ＋ αan)

と置けます。
左辺のan+2の係数とそれに対応する右辺のan+1の係数はどちらも1
左辺のan+1の係数とそれに対応する右辺のanの係数はどちらもα
となっていますよね？
そして　an+1＋αan　を　bn　とおけば
bn+1＝βbn　となり、公比がβの等比数列になります。
今は勝手にan+2の係数を1にしたように見えますが
もしan+2に係数が付いたとしても
両辺をそれで割ればan+2の係数は必ず1にできます。





しかし今回は定数項が存在しているので

左辺には
第n+2項、第n+1項、定数項

右辺には
第n+1項、第n項、定数項

というように分けなくてはいけません。
よって今回は両辺の先頭以外の2項に
係数をα、βと付け、
公比にあたる右辺の係数をγとし、

　an+2 ＋ αan+1 ＋ β＝γ(an+1 ＋ αan ＋ β)

と置きましょう。
置いたらこれを満たすα、β、γを求めます。

そのためにまずは展開して問題の
an+2 ＋ 2･an+1 − 3･an ＝ 4
と同じ形に整理して係数比較を行います。

展開します。

　an+2 ＋ αan+1 ＋ β＝γan+1 ＋ αγan ＋ βγ
　an+2 ＋ (α−γ)an+1 − αγan＝β(γ−1)

よって問題の式を係数比較すると
　α−γ＝2　…�@
　−αγ＝−3　…�A
　β(γ−1)＝4　…�B

　�@よりα＝γ＋2
　これを�Aに代入
　−(γ＋2)γ＝−3
　γ^2＋2γ−3＝0
　(γ＋3)(γ−1)＝0
　　　γ＝−3、1

　よって�@�Bより
　γ＝−3のとき、α＝−1、β＝−1
　γ＝1のとき、α＝3、β×0＝4となりβは解なしなので不適。

　したがってα＝−1、β＝−1、γ＝−3より
　an+2 ＋ 2･an+1 − 3･an ＝ 4　は
　
　　an+2 − an+1 − 1＝−3(an+1 − an − 1)

　と変形できる。


ここまで来たらあとは漸化式の問題としては
よくあるパターンです。


　ここでbn＝an+1 − an − 1…�Cと置くと
　bn+1＝−3bn

　b1＝a2 − a1 −1　でa1＝1、a2＝1より
　b1＝1−1−1＝−1

　よって{bn}は初項−1、公比−3の等比数列なので
　一般項bnは

　bn＝−1･(−3)^(n-1)
　bn＝−(−3)^(n-1)

　�Cより
　an+1 − an − 1＝−(−3)^(n-1)
　an+1 − an＝−(−3)^(n-1)＋1

　階差数列を考えて、n≧2のとき

　　　　　n-1
　an＝a1＋Σ{−(−3)^(k-1)＋1}
　　　　　k=1

　　　　　　1−(−3)^(n-1)
　　＝1 − ---------------- ＋ (n−1)
　　　　　　　1−(−3)


　　　　　　1−(−3)^(n-1)
　　＝ − ---------------- ＋ n
　　　　　　　　　4

　　　　　　 1−(−3)^(n-1)
　　＝ n − ----------------
　　　　　　　 　　4

　n＝1のとき、この式で第1項を求めると

　　　 　　 1−(−3)^(1-1)
　a1＝1 − ----------------
　　　　　　 　　4

　　　　　　 1−1
　　＝1 − -------
　　　　　　　 4

　　＝1

　よってn=1のときも成り立つ。

　したがって

　　　　　　 1−(−3)^(n-1)
　an＝ n − ----------------
　　　　　　　 　　4



これで　an+2 + p･an+1 + q･an = r　タイプへの
アプローチがわかったと思います。
これを利用すると
　an+2 + p･an+1 + q･an = rn + s
タイプにも対応できそうですね。

【中3数学】ルートの計算の工夫

ルート同士の掛け算は中身同士を掛けることができる

という性質があり、確かにそうなんですが
それが全くのムダな計算になることもあります。

例えばこんな場合。

√2×√6
＝√12
＝2√3

…ん？
あ、これだとあまりムダな感じはしませんね(^^;
でも数字が変わるとムダ感が伝わるはず。
次はこんな場合。

√17×√51
＝√867
＝17√3

この計算をするには
まず17×51で筆算が必要になります。
そして867という数は
どんな因数を持っているのか
を調べるために素因数分解が必要になります。
この場合3という素数で割れますが、
次は17という素数まで割れません。

3)　867
17) 289
　　　17

これで無事に17√3とわかりました。
このように非常に手間がかかるわけです。


でもよく考えてみてください。

もともと2つだった17と51を掛け算してひとつの数にして
結局その後に　867＝3×17×17　という3つの数に分解しています。
そう、目的は因数に分解すること
つまりは掛け算に分解することですよね？
だったら「ひとつにまとめる」という計算は
必要ないと思いませんか？
そうなんです、必要ないんです。
そこがムダというわけです。
どうせ後で分解するなら
3桁にせず最初の2桁の状態で分解すればいいんです。
その方が何で割れるかもわかりやすいですから。
なので

√17×√51
＝√17×√(3×17）
＝√(3×17×17)
＝17√3

とすれば筆算も素因数分解のための筆算も必要なく
あっという間に計算できます！


計算が苦手な人は「とにかくひとつにまとめてから分解」という
機械的なやり方に頼ってしまいがちですが、そうすると
17×51を筆算で計算したり
867は何で割れるか？という
よけいな問題まで考えなくてはいけなくなってしまいます。
なので計算が苦手な人こそ簡単に計算できる「工夫」を
知ってもらいたいです。



こんな場合もムダ感が伝わるでしょう。
今度は工夫したやり方からやってみます。

√64×√32
＝√(2×32)×√32
＝√(2×32×32)
＝32√2

この場合は素数に分解するまでもなく
32という因数が2つあることがわかるので
その時点で32√2にできてしまいます。
これを機械的に掛けてから素因数分解すると

√64×√32
＝√2048　　　←まずここで筆算

次は素因数分解して
2)　2048
2)　1024
2)　512
2)　256
2)　128
2)　64
2)　32
2)　16
2)　8
2)　4
　　2

2つずつ組にすると
5組とひとつ余るから
今度は2を5回掛けて32

やっと32√2とわかります。
この方法だともう説明しなくても
どれだけムダな計算があるのかわかりますよね？



1つ目の例の√2×√6は掛け算しても
たかだか12になるだけなので
掛け算のための筆算も
素因数分解のための筆算も
必要ないからムダ感があまりないんですね。
でもこれも

√2×√6
＝√2×√(2×3)
＝√(2×2×3)
＝2√3

と考えるように普段から訓練してみましょう(^^)
慣れてきたらまず3行目を省略してみましょう。
さらに慣れたら2行目も省略してみましょう。
そうするとあたかも暗算でさらっと計算したっぽくなります。
実際、書かずに計算するから暗算なんですが(笑)

【数B】センター数�UBのB(2012年)

第3問
前半は等差数列の一般項、和を求める問題で標準。
後半は数列bnの与えられ方がΣやSnが入った式なので
それに圧倒されてしまいそうになるが
b1やbn+1の式を求める問題では�@を利用することが
明記されているのでなんとかその利用方法に気付いて欲しい。
b1は�@にn=1を代入。
bn+1の式は�@にn=n+1を代入後、Snの式も利用。
その後の式変形はどうやればその形に変形できるかを考えるのではなく
求める「チ」「ツ」をα、βと置いて、
元の式の形に戻して係数比較することでα、βを求めればよい。
それ以降は漸化式の問題ではよくあるパターン。
ここはやや難。

第4問
問題文での設定が多いが基底ベクトルがOA、OB、OCであることから
与えられるベクトルは全て始点をOに変換するよう心の準備をしておく。
また図を描くにはOA、OB、OCが互いに直交する四面体を書くのが難しいので
x,y,z軸の空間座標を書いて、それぞれの軸上にA、B、Cを置くと良い。
ただしこの時点でまだ図は必要ないので必ずしも書く必要はない。
（1）は内分公式の利用。
（2）は空間中で直線が交わるという状況を図に表すのは難しいので
適当に線分FLと線分MNを紙の上に交わらせて書いて
それを見ながら考えると良い。
まずはPはFLをs:1-sに内分する点と考えて式を立てる。
その後いきなり「s＝？のときMP＝？MNとなる」と来るが
そんなの急にわかるわけがないのでこれを
MP＝kMNとおき、やはりこの式も始点をOに変換する。
問題文からFLとMNはPで交わることになるので
この式をOP＝の形に整理して係数比較することでsとkが求まる。
（3）も求めるベクトルや与えられた式に対して、
始点をOに変換することが重要である。
|GF|は二乗を計算することになるが、
a･b、b･c、c･aの内積は全て0なので計算は比較的楽である。
GF･GHの内積の計算も同様。
�Bの式は
GF･GH＝xGM･GH
とおき、∠FGH＝∠MGH、|GF|＝3、|GM|＝2の条件を使うために
a･b＝|a||b|cosθ
の公式で両辺の内積を計算すると
3|GH|cos∠FGH＝2x|GH|cos∠MGH
両辺のcosは等しいのでこれを整理すると
3＝2x　より　x＝3/2
あとは�Bに�@�Aを代入すればtが求まる。
最後まで式変形でなんとかなる問題で図は要らなかった。
ここは標準。

第5問
最初はきちんと表の意味がわかるかどうかの確認問題。
そして平均と分散を求める標準問題。
（3）は問題文の意図が最初はわかりにくいが、
平均値と同じ点なら偏差が0で
分散、共分散の計算には不要になるので
平均値と異なる点の人だけで計算は終わりますよ
ということを示唆しているのだろう。
意味がわからなくても普通に計算するだけである。
後半は人数が増えて少し大変になる。
D、E、Fに関しての3種類の式は
人数
国語の合計点
英語の合計点
に関する式である。
（5）の40人の平均値は
60人の合計点＝20×20人の平均点＋40×40人の平均点
から求める。
なお40人の中央値は
英語の得点別人数を表の横に書き並べ、
前半に使っていた表の人数を引いて中央の20人目の位置を探る。
（6）は少し問題文での説明がわかりにくいが1問目は
縦一列だけを見たときの平均値と中央値が一致しない列の数
を答える。
縦に並んでいる数字が上下対称になっていなければ
平均値と中央値が異なる。
2問目は列ごとの平均値も中央値も
その列のxよりも小さい列を数えればよい。
表が2次元だったり、計算量が多めだったのでここはやや難。

第6問
「ア」は選択肢を見ると何かの変数を決める行だが、
プログラムの続きを見ていくと140行目に未定義のXがあるので
「ア」はXの初期値の設定である。
140行目によるとそれまでのXに(M+I)をかけたものを新たなXとしている。
またIは0から始まっているので最初にXにかける数はMということになる。
したがってXの初期値は1が正しいのでLET X=1。
「イ」は問題文の(M+0)(M+1)(M+2)…(M+N-1)から
変数Iは0からN-1まで変化するのでN-1。
「ウ」は8で割り切れることの判断方法の選択。
Xが8で割り切れた場合、その商を8倍すればXに戻るが
8で割り切れない場合はINT()によって小数部分が削られるため
INT(X/8)はX/8よりも小さくなるためINT(X/8)を8倍してもXよりも小さくなる。
これを利用して8で割れるかを判断するので
XとINT(X/8)*8が等しいとき、8で割り切れる。
（2）について、8で割り切れるとは「因数に2を3つ持っている」ということである。
それに注目すれば1から4つで素因数2を3つ持つことになるし、
整数は奇数、2の倍数、奇数、4の倍数の繰り返しで並んでいるので
連続4つの積は必ず8で割り切れる。
後半、プログラムに「L」と「C」という変数が加わる。
また「N」は入力値ではなくこれもプログラム中の変数に変わった。
Cは求める個数なので条件に当てはまる場合が来たらカウントを1つ増やす。
また初期値は0でないと正しく個数を答えないので「キ」はLET C=0、
「コ」はC=C+1。
「ク」「ケ」の割り切れるかどうかの判断は前半の8がKに変わっただけ。
「サ」は実際にM=4、L=5とした場合のプログラムを追っていく。
条件を満たすNの値を表示するには
条件を満たすことがわかってからNが次の値に変わるまで
の間にPRINT Nを挿入すればいいので
2つ目の条件を満たしたと判定された直後の
180と182行だけが適している。
ここは標準。



数�UB全体としては確かに難問はあるが、
各問で全く手が付けられない問題がないので標準。
平均は50台前半かなあと予想します。
河合塾の予想では54点だそうです。

センターはあくまでも通過点。
ここからが勝負どころですよ！
最後までがんばってくださいo(^O^)o



【数�T】センター数�TAの�T(2012年)
【数A】センター数�TAのA(2012年)
【数�U】センター数�UBの�U(2012年)
【数B】センター数�UBのB(2012年)

【数�U】センター数�UBの�U(2012年)

第1問
[1]
まずは標準的な対数関数の問題。
真数条件や底に気をつけて解けばいいだけでここは
つまずくことなくいけた人は多かっただろう。
ここはやや易。
[2]
最初に条件式が与えられ、
具体例としてα＝π/6のときのβを求める。
ここまでは問題ないが、ここで止まってしまった人も多いと思う。
問題文と解答欄から
β1とβ2をαで表すことで
yをαの関数として扱えるようにしてその最大値を求める
と推測できるがβ1、β2をαで表す方法に困っただろう。
そういうときこそ最初の具体例に戻るべきで、
そこでやったことを一般化する。
α＝π/6の時、2βはπ/3、5π/3の位置になる。
5π/3はx軸を中心にπ/3と対称な位置である。
そのπ/3はπ/2−αの位置になる。
これを一般化すると
2β1＝π/2−α
2β2＝2π−β1
ということになる。
ただしこれはα＝π/6のときなので
これで求まるのは0≦α＜π/2のときの方だけである。
ではαが鈍角の時はどうなるか。
αのsinと2βのcosが等しい関係なので
角αの動径と単位円の交点のy座標を
そのままx座標にうち、そこから真上に伸ばして単位円と交わるところに
動径を書くとその動径までの角度が2β1ということになる。
この2つの動径の関係を観察するとその間の角の大きさは90°になっている。
よってπ/2≦α≦πのときは
2β1＝α−π/2
2β2＝2π−2β1
となる。
あとはそれぞれの場合でα＋β1/2＋β2/3をαのみで表し、
その範囲を求めれば、最大値とその時のαを求めることができる。
加法定理、2倍角、半角、合成などの公式は一切不要だったが
誘導もなしに等しく、文字も多くわかりにくかったので
ここは難。
ここで時間を使ってしまうと焦りに繋がるので
飛ばしてしまうのが無難だろう。
第1問全体としてはやや難。

第2問
点Pが曲線C上のどこにあるか不定なので図が定まらないが、
まずは接線を求めるのは微分係数と接点があれば大丈夫。
次の点Pにおける共通接線の問題は
点Pにおけるy座標が等しいこと
点Pにおける微分係数が等しいこと
を知っていれば図がなくてもp、qの式は求まっただろう。
（2）は3次方程式の解の個数に関する問題。
ここは丁寧な誘導があるのでそれにしたがってグラフを描けばわかる。
（3）の面積を求める問題は計算量が多く大変だっただろう。
先に解答欄を見ておくと9や16などという数字を
実際に掛け算しなくてもいいことに気付ける。
さらに　|a｜/12×（βーα）^3　を使える人はだいぶ楽ができたはず。
ここは標準。




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第1問
[2]
論理の問題。
比較的分かりやすい命題になっていたので考えやすかったはず。
ただm、nが自然数という条件も重要なので見落とさないように。
（1）で否定をとる問題があるがこれは次への誘導である。
pの条件に「または」が入っているので
各命題で対偶をとって真偽を考えると考えやすい。
特に「m≦1かつn≦1」は「m=1かつn=1」のことなので
考えやすくなる。
ここはやや易。

第3問
（1）の後半からは平面図形からの出題である。
まず珍しかったのが円Iと円Oの2つの円の位置関係の問題。
きちんと中心間の距離や半径の関係を確認するべきではあるが、
だいたいの図が描けていれば2点で交わることに疑いはないだろう。
（2）は（1）とは無関係でP、Qは問題文に登場しないので
図を改めて描いた方が良いだろう。
C、E、Fを通る直線を描いたら
その直線と直線CDとで方べきの定理である。
またEF/CE=1からEはCFの中点、DはBCの中点になるので
BEとDFは中線であり、その交点は△BCFの重心である。
なので線分CGの延長と線分BFとの交点MはBFの中点となる。
そういった理由はあるが一般的にMは中点、
Gは重心によく使われる文字なのでそこから気付いた人もいると思う。
ここは標準。

第4問
9枚のカードから5枚同時に選ぶ問題。
問題内容としては至って標準である。
得点のルールがきちんと理解できれば大丈夫。
組合せの問題なのに「小さい順に並べ」という表記があり、
それに少し惑わされた人もいたかもしれないが
結局のところ「取り出す順番」は関係ないのでnCrでの計算になる。
ここは易。



数1A全体としては易。
平均66点だった昨年より簡単になったと思うので
今年の平均は70点以上と予想します。
河合塾の予想では69点になってました。



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