2013年01月21日

【数B】センター数UBのB(2013年)

第3問
(1)は特性方程式を利用して解くパターンの
漸化式からスタート。
式変形、一般項を求める、和の計算
などは普段からやっているはずの問題。

(2)は式だけ見れば隣接4項間の漸化式で
一瞬圧倒されるが
まずは第4項と第6項を求めるだけなので
一般項を考えずに
漸化式を使って順番に求めればOK。
そして次がセンターではおそらく初登場の
数学的帰納法。
初だからかまさかの「数学的帰納法」を
答える選択問題。
他の選択肢、特に「組立除法」「弧度法」
は論外。
その後、実際に数学的帰納法を使って
bn+1とbnが等しいことを証明する。
教科書などの典型的な証明しかやっていない人には
難しかったかもしれない。
逆に数VCまで勉強している人は
きっといろんなところで数学的帰納法を
利用してきたはずなのでできたはず。
式変形は添え字に数式を代入するよう
誘導があり、それほど難しくはない。
最後は問題文で{cn}と{pn}が
等しいと言っているので、
c1=p1であり、特に考えることなく
c1=3であることがわかる。

数学的帰納法という今までに出題されなかったものの
出題ではあったが、誘導が丁寧で
前半の問題レベルも考えると
ここは標準。



第4問
2007年以降空間ベクトルばかりだったが
ここに来て平面ベクトルの問題であった。
(1)は標準的な問題。
OAとOCを基底ベクトルとしているので
DBはまず始点をOに変換することから始めればOK。
(2)は「ク」「ケ」がすでに求まっているので
言われたとおりrについての不等式Aを解けばよい。
その後rをcosθに戻してθについて解こう。
(3)の最初は指定されたcosの値を代入して計算。
その後はFはAEの内分点、FはBDの内分点
と考えて交点の位置ベクトルを求める問題で
落ち着いてやれば解ける教科書レベル問題。
平行四辺形の面積はベクトルでの公式でも良いし、
2辺とその間のsinの値から求めても良い。
最後は△BEFの前に△ABEが平行四辺形の面積の半分。
FはAEを1:2に内分する点なので△BEFはその2/3になる。

ここはやや易。



第5問
まずは与えられたデータの平均、分散、中央値を
求める基本問題。
次に平均と分散から抜けているデータの
C、Dの値を求める問題と、
それらがわかった上での散布図の選択問題。
ここまでは基本的な問題だ。
(4)では2つのデータの合計についての
平均と分散を求める問題。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
を知っていれば簡単。

「和の期待値は、期待値の和」
という言葉は
「数学ガール 乱択アルゴリズム」
でも出てきていました。
解いてて、これが頭に浮かんできました(^^)

一方、和の分散は期待値のような
線形性はないのでこの問題文の
誘導に従って考えることになる。
誘導自体は丁寧でわかりやすいが
文字が多くてややこしく、
苦労するところかもしれない。
Σをイメージできる人は難なくできたと思います。
「ハ」のところで2と答えそうになるが
ここは選択問題で選択肢は全て分数なので
間違いに気づく。
Tはまだ10で割っていない値であることに注意。

ここは標準。



第6問
10進数の値を3進数に変換するプログラム。
桁数を求めるのが難しそうだが
そこは問題文で説明されている通りなので
気にする必要はない。
最初は3進数を10進数に変換する問題。
プログラム1の「ウ」「エ」「オ」に関しては
(2)の問題文冒頭の説明に従えばいい。
120行でX=3^(P-1)とあるので
問題文の「Nを3^(p-1)で割った商」は
「NをXで割った商」と言える。
商は小数点以下を切捨てなので
「ウ」のところは
「INT(N/X)」をPRINTするが正解。
それを表示したら今度は
その余りを3^(p-1-1)で割れば良いので
「エ」のところは
Nには余りを示す「N-INT(N/X)*X」を代入するのが正解。
そして3の次数をp-1からp-2に1次下げるために
Xを3で割った値を改めてXとするため
「オ」のところは「X/3」が正解である。
「カキクケ」に関しては
プログラムとは関係なく
10進数の77を3進数に変換すればOK。

後半のプログラム3は
与えられたNについて
150〜170行でプログラム1を
180と190行でプログラム2を
実行する形になっている。
それぞれで実行するため
180行と190行で使うMというのは
最初に与えられたNのコピーである必要があるので
130行の「コ」は「LET M=N」が正解。
「サ」は上位側の桁と下位側の数字が
一致するかどうかの判定だが、
ループ内にあることからも
1桁ずつ判定していることになる。
与えられたNが左右対称になるには
上位側と下位側がすべて一致しないといけない。
1つでも不一致になれば不一致である。
選択肢を見ると4つとも
「GOTO」でループを抜け出し、
結論を出すようになっている。
ということは「1つでも不一致なら即結論」
という内容の「IF A<>B」が条件として正しく、
さらにその結論は240行の「一致しない」であるので
「サ」は「IF A<>B THEN GOTO 240」が正解。
最後は436を実際に3進数に変換すると
121011
となるので最上位と最下位は一致するが
次で不一致となり終了という動作になる。
よって200行の判定は2回実行され、
Xは2回3で割られた状態になるので
初期状態の3^5から3^3つまり27になっている。
そして220行の「一致する」は表示されることなく
240行の「一致しない」が表示される。

プログラムそのものと
10進数と3進数の変換の知識が問われる問題で
ここは標準。




数UBとしては図形と方程式や
数学的帰納法、平面ベクトルなど
珍しい問題が多かったが
決してどれも難しいとは言えず
どちらかというと易しい問題が多かった。
全体としてはやや易。



平均は55〜60点と予想。
こちらも経験とカンによる予想で根拠はないです(^^;




【数T】センター数TAのT(2013年)
【数A】センター数TAのA(2013年)
【数U】センター数UBのU(2013年)
【数B】センター数UBのB(2013年)


2013.1.21 12:01 第5問、第6問追記しました。
posted by ジュンジ at 03:47 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

【数U】センター数UBのU(2013年)

数UB
第1問
例年どおりだと三角関数、指数・対数関数なのだが
今年は図形と方程式、指数・対数関数。
今のカリキュラムでのセンター試験も来年まで
というこのタイミングでまさかの変更!

[1]
2006年以降の数UBではおそらく初めて
出題された図形と方程式。
予想外の出題だが
内容は内分・外分点や
直線の垂直条件、
円の方程式などどれも基本問題ばかり。
過去問には出てこなかったであろう問題とはいえ、
数Uをやっているならこれくらいはできるはず。
レベル的には基本レベル。
[2]
連立の指数方程式。
与えられた方程式は見た目にやられそうになるが
置き換えや展開などは誘導があり、
自分で式を立てることは不要で
計算だけすればいいようになっているので
ここも解きやすかったと思います。

第1問は易。



第2問
まずは極値を求めるために微分して増減表。
ここでa>0という条件を忘れないように。
無意識にやってても-a<aとする人は多いので
きっと難なくクリアできたと思います。
極値の2点と原点を通る放物線は
y=px^2+qx+r
とおいて座標を代入して連立。
続く原点における接線lと法線mは
頻出問題ですね。
後半、放物線Dの式はすでにわかっているので
放物線Dと直線lの交点を求め
S=a/6(4a-0)^3
と、公式を使えば早く出せます。
Tの方も同様です。
S=T
のaについての方程式は
次数が高くなって少し大変ですが
(4a^3+1)^3=2^9・a^12
と整理して3乗根を取るとよい。

問題の内容や図の描きやすさは
少し易しめのような気もするが
そこそこの計算量なので
ここは標準レベル。




【数T】センター数TAのT(2013年)
【数A】センター数TAのA(2013年)
【数U】センター数UBのU(2013年)
【数B】センター数UBのB(2013年)
posted by ジュンジ at 03:22 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U

【数A】センター数TAのA(2013年)

引き続き数TAのAです。


数TA
第1問[2]
命題の真偽に関する問題ではあるが、
内容が図形に関するもので、
少し扱い難い。
(1)は命題の対偶を答えるだけなので
ここは間違えずに正解したい。
(2)は「(pまたはq)→r」
の反例を探す問題なのでまずは
p:3つの内角が全て異なる
q:直角三角形ではない
の少なくとも一方に当てはまるものを選ぶ。
0番の直角二等辺三角形はpにもqにも当てはまらない。
それ以外はpかqに当てはまる。
その中でrではない、
つまり45°の内角を持つものを選べばよい。
よって@Cが反例である。
(3)は(2)で反例があるとおり
「r←(pまたはq)」は偽である。
「r→(pまたはq)」は具体例を考えると
キリがなさそうなので対偶を考える。
「(pでないかつqでない)→rでない」は
(pでないかつqでない)を具体的な言葉にすると
「2つか3つの内角が等しく直角三角形」
つまり直角二等辺三角形のことである。
「rでない」は「45°の内角が存在する」
ということなので
「(pでないかつqでない)→rでない」は真。
よって元の命題
「r→(pまたはq)」も真。
したがって十分条件であるが、必要条件ではない
が正解。

ここは標準。




第3問(1)以降
まず点EをCEが円Oの直径になるように引くと
∠EAC=90°と∠ACB=90°より
四角形AEBCは長方形になります。
ACとECはその対角線なので
△ABC≡△AECであり、
それらの内接円も合同です。
なのでどちらの内接円も半径は
先ほど「チ」「ツ」で求めた6/5。
同じ半径の円が同じ直線ACに接しているので
円の中心を結ぶ直線QRはACと平行です。
半径6/5より直径は12/5。
AC=24/5なのでちょうど直径2個分。
円QはBCに、円RはAEにも接しているので
AE、円R、円Q、BCの順で接している。
よって内接円Qと内接円Rは外接する。
そして点A、P、Qに関する問題。
ここに来てまたPが登場。
Qとの関連性はない様にも思えるが
円Pも円QもABとACに接している。
このことから直線PQは
∠BACの二等分線であり、
3点A、P、Qは同一直線上にあるといえる。
APは最初に求めたとおり√10。
QからACに下ろした垂線の足をHとすると
△AQHは直角三角形で
QHは内接円Qの半径に等しく6/5。
AHは内接円Rの直径と内接円Qの半径の和に等しく18/5。
三平方の定理よりAQ=6√10/5。
AQ>APより
3点はA、P、Qの順に並んでいるので
PQ=AQ−APで√10/5となる。
このPQの長さと
円Pと円Qの半径を比較することで
Pは円Qの内部に、Qは円Pの内部にあることがわかる。

例年だと方べきの定理や接弦定理が
絡んでくるところに今年は
2円の位置関係や内心の性質を
問う問題で図も複雑で
ここは難。



第4問
この問題は誘導が丁寧なので
問題文をきちんと読んで
それに従って順に考えていくと
それほど難しいところはなかったように思う。
特筆すべきことはなく基本レベル。
ここは易。



数学TA全体としては
図形を扱う問題が多く
例年よりは難しかったと思います。
やや難。
平均は50〜55点と予想。
根拠はなく直感なので責任は持ちませんよ(^^;




【数T】センター数TAのT(2013年)
【数A】センター数TAのA(2013年)
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【数B】センター数UBのB(2013年)
posted by ジュンジ at 03:00 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学A

【数T】センター数TAのT(2013年)

このブログでは毎年恒例の
センター数学の分析だか解説だか
わからんことを書きたいと思います。

何はともあれ受験生の皆さん、お疲れ様でした。
私立受験、国公立2次試験に向けて引き続き頑張ってください。


まずは数Tから。
※数TAの第1問[2]、第3問の後半については数Aで扱います。

数TA
第1問
[1]
分母が3項の無理数の計算。
2項と1項に分けて有理化すればOKだが、
どう分けるかは誘導があるので
それにしたがってABを求めよう。
1/A+1/Bは普通に計算。
A+Bは
1/A+1/B=(A+B)/ABより
A+B=AB×(1/A+1/B)
として計算。

僕はここの計算につまずいて
いったん飛ばしましたが、
やや易。



第2問
珍しく最初が平方完成の問題ではなく、
さらに直線上の動点によって作られる
面積が二次式の関数になる問題。
問題の与えられ方は新しいが
問題の内容はそれほど難しくはない。
点Pと点Qの座標をtを使って表せれば
面積の式は求められるし、
その後の最大・最小の問題も標準レベル。
場合分けの考えは必要だが
全ての場合を答えなくて良い分、
時間はかからなかったはず。
最後のtとどれだけ平行移動したかを
求める問題は、結局のところ
グラフの式を求めれば良いので
y=2x^2+bx+c
と置いてO、P、Qの座標を代入して
連立して解けばいい。

動点が作る図形の面積は
中学でよく出てくる問題で
中学の時に苦手だった人は
苦戦したかもしれないが
ここは標準。



第3問
この問題は後半に図を描くのが難しく
苦労した人が多かったと思います。
前半は図は描きやすいのでまだマシ。
APは△OAPで三平方の定理。
ODは迷ったけど
∠OADをθとおけば
∠AOPと∠ADPがそれぞれ90°であることから
∠OPD=180°ーθ とおけるので
△OADと△OPDのそれぞれで
余弦定理を立てて連立して解けば
次のcos∠OADも求まります。
それが求まれば今度は
直角三角形ABCにおいて
三角比の定義より
cos∠OAD=AC/AB
からACが求まります。
△ABCの面積は直角三角形なので
ACとBCを底辺と高さにして求めてもいいし、
ABとACとその間のsinで求めてもOK。
△ABCの内接円の半径はお決まりの
S=1/2・r(a+b+c)
ですね。
最初に出てきた円Pとは別の円なのが
図をぐちゃぐちゃにさせる…

この後さらに別の内接円が出てきて
この辺りから大変です。
この先は数Aの内容なので数Aの方に書きますね。




【数T】センター数TAのT(2013年)
【数A】センター数TAのA(2013年)
【数U】センター数UBのU(2013年)
【数B】センター数UBのB(2013年)【数A】センター数TAのA(2013年)
posted by ジュンジ at 00:53 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2013年01月15日

【数A】方べきの定理の覚え方

今週末にセンター試験が迫ってきていますね。
受験生の皆さん、風邪をひかないように
気をつけながら頑張ってください。




さて、
方べきの定理は数Aの平面図形の単元で習う定理です。
教科書なんかには詳しく3種類の図が書いてあるのですが
どうやらそのおかげで方べきの定理は
公式が3種類あると考える人も多いようです。


そこでその3つのパターンを1まとめにして覚える方法をご紹介。




「二直線の交点から、円との交点までの距離の積が
 それぞれの直線について等しい」




こう覚えてしまえばOKです。
ちなみに「接点」は2交点が「重なっていてる」
と考えてください。


このような覚え方をすると方べきの定理は
円に対して二直線が共有点を持っている図に対して
使うものだという、使いどころもわかってくると思います。






去年はセンター前にはセンター数学のコツを書いていきましたが
今年はなんだか改めて書くことがないような気がしてて、
それでも何か力になれればと思っての久々の更新でした。
受験生のみなさんはもう知っていることだったかも知れませんが
改めてそう認識してもらえたら幸いです。
1・2年生のみなさんはぜひこのように覚えてもらえるといいかと。
センター試験、うまくいくことを願っています。
がんばれ!
posted by ジュンジ at 01:38 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学A