2013年03月21日

【数T】a^3±b^3の因数分解公式

かえさんから質問をいただきました。
ありがとうございます(^o^)

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a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
という公式がなかなか覚えられません

理屈で考えて公式を導き出せるように
したいので、理屈を教えてください。

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という2項をとりあえず作るには
以下のような方法が考えられます。


 方法@  を3乗する
 方法A  を展開する



方法@だと次のように公式を導けます。

 



方法Aだとこんな感じ。

 



公式の覚え方としては

 前^3 後^3=(前 後)(前^2 前・後の逆符号 後^2)

みたいな感じで覚えると

 

が使えるようになってくると思います(^^)
posted by ジュンジ at 02:47 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2013年03月11日

【数B】一般項が数列の和になっている数列

五月雨さんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

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A.
こんにちは。また自力では解けない問題が
ありましたので、質問させていただきます。

次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13,…

答え S=1/6n(n+1)(4n−1)

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Q.
まずは求めるものが数列の和なので
基本的にはその数列の一般項を求め、
Σで和を求めるという方針になります。

そこでとりあえずどういう項が並んでる
数列なのかをはっきり捉えておきましょう。

 

数列
第1項は1で数字が1つだけ。
第2項は1+5で数字が2つ。
第3項は1+5+9で数字が3つ。
第4項は1+5+9+13で数字が4つ。

ここまでで数列の規則は
項が1つ先に行くにつれて足していく数字が1つ増える
ということがわかります。

では次にどんな数字が増えていくのか?を考えましょう。
第4項を見ると

 1+5+9+13

という足し算の式に並んでる数字にも規則があり、
これは初項1、公差4の等差数列になっています。
今、この規則を数列とは別の数列とすると

 

となります。また元の数列を数列で表すと

 

のように書けるわけです。
aやbの右下にある第何項かを表す小さな数字を
「添え字」と言いますが、この言葉を使うと
先ほど書いた数列の規則


 項が1つ先に行くにつれて足していく数字が1つ増える


というのは次のように言い換えられます。


 aの「添え字」が1つ増えるとbの「項」が1つ増える


しかも「添え字」=「項」の個数
になっているので

 

となり、数列の第n項は上のようになっていることが分かります。
これらの式は式中に「+…+」を含んでいるので
それを使わずに表現すると次のようになります。

 

よって数列の第n項、つまり一般項は上のように

 

となります。また

 

より

 

これを計算すると当初の目的の「数列の和」
ではなく「一般項」が求まることに注意。
Σを使ってるからといって計算で出てくるのが
必ずしも数列の和とは限りません。
それでは実際に計算して一般項を求めましょう。

 

これでやっと和を求めたかった数列
一般項が求まりました。
なのでこれをΣして数列の和を求めましょう。

 


数列の和を求めるにはまず
その数列の一般項を求めることが
最初の目標になると思っていいと思います。
今回はその一般項を求めるところで
Σを使っているのがこの問題で
混乱してしまうところですので
何を求めているのかを
きちんと意識すれば大丈夫です(^^)




ちなみに一般項を求める時に
階差数列を利用しても求められます。

 階差数列は初項5、公差4の等差数列なので
 一般項は 4n+1 となる。

 n≧2のとき
 

 この式でn=1のとき
 

 よってn=1の時も成り立つので
 
posted by ジュンジ at 02:20 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B