数学のコツ

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2013年05月22日

【数Ⅲ】調和級数が発散することの証明

hrdさんより質問を頂きました。
ありがとうございます(^^)

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日々、拝見させて頂いてます。
特に、『ax+bという漸近線の求め方』は疑問が解消され、
大変参考になりました。ここで、質問なのですが...

(1)Σ k=1から2^n (1/k)≧n/2＋1を証明せよ

(2)無限級数ΣK=1から∞ (1/k)　は発散することを証明せよ。

(1)の不等式は(2)を証明するために出てきたものですが、
どういう発想でこの式が出てきたのか、疑問を持ちました。
「数Ⅲの近似式がマクローリン展開の一部である」のように、
この不等号にも何かあるのではないでしょうか？

お忙しい中、読んで頂きありがとうございます。

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まず問題の式はこんな感じです(・∀・)

(1)

　 $\sum_{k=1}^{2^n}\frac{1}{k}\ge\frac{n}{2}+1$

を証明せよ。

(2)無限級数

　 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$

は発散することを証明せよ。

どういう発想なのかはきっと
Σを使わず具体的な足し算の式を眺め、
それより小さな値になる式でも
発散するような式を考えよう
という発想だと思います。

ということで説明しますね。
僕も本で読んだことがあるから
知っている方法なのですが(^^;

Σを使わずにΣ(1/k)を書くと

　 $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$

となります。
これをSと置いておきましょう。

　 $S=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$

ここで先ほど書いたようにこれより小さな値になる
ような式を考えます。

　 $\frac{1}{4}<\frac{1}{3}$

が成り立つので
1/3を1/4に書き換えると小さな値になる式になります。
とりあえず

　 $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$

　 $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$
　
このふたつを比べると下の方が
1/3が1/4になっている分小さくなります。
なので

　 $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots<S$
　
となります。左辺が発散すればそれより大きな値である
右辺も発散するという考えで進めたいと思っているわけで
今のような書き換えを他にも次のようにやります。
上下の式でどう変ったかチェックしてください。

　 $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots$

　 $\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\cdots$

だいぶ分母が変わりましたよね。
分母が全部 $2^n$ の数に変わりました。
$2^n$ 以外の数は次の $2^n$ の値に置き換えました。
この置き換えた式をTとしましょう。

　 $T=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\cdots$

　また　 $T<S$

これを分母に注目して次のように見ます。

　 $T=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)+\cdots$

もう少し続きも書くと

　 $\begin{align*} T=&\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)\\ &+\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}\right)+\cdots \end{align*}$

カッコごとに計算すると

　 $T=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\left(\frac{2}{4}\right)+\left(\frac{4}{8}\right)+\left(\frac{8}{16}\right)+\cdots$

つまり

　 $T=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots$

となります。
先に進めば進むほど
1/2を作るために必要な項数は
2倍ずつ増えていきますが
今は項数が無限なので
この1/2も無限個作れるわけです。
1/2が無限個あれば∞に発散します。

　 $T<S$

においてTが発散するのでSも発散。
よって証明できた。

問題文の(1)の式は
左辺がSの部分和で右辺がTの部分和です。
今の説明みたいに1/2を作るために
ちょうどキリのいいところまでの部分和がほしい。
そうするとTにおいて
1つ目の1/2が出てくるのは第2項までの部分和
2つ目の1/2が出てくるのは1/4までなので第4項までの部分和
3つ目の1/2が出てくるのは1/8までなので第8項までの部分和
4つ目の1/2が出てくるのは1/16までなので第16項までの部分和
というように「キリのいいところ」が
$2^n$ （nは自然数）になっているんですよね。
だから(1)のような式が出てきたのだと思います。

以上で見解と説明は終わりです。
質問の答えになっていれば幸いです(^^)
受験勉強がんばってくださいね。

posted by ジュンジ at 11:38 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学Ⅲ

【数Ⅰ】不等式の整数解　その2

岡さんから質問いただきました。
ありがとうございます。

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すみません
初めてです。
解法みても分からないので投稿させてもらいました。
お願いします。
次の不等式をともに満たす整数xが一つだけ
存在するとき定数aの範囲を求めよです
３x－７＞x　…①
x＋a＞４x　…②

①よりx＞７/2
②よりx＜a/3
ここで４の位置は分かったのですが、
a/3=なんで５じゃないのかわかりません。
教えてもらえますでしょうか。

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①と②より

　3.5＜x＜a/3

の範囲にひとつだけ整数解をもつ
ということなのでその整数解が4のみ
になればいいということですよね。
大まかな考え方は岡さんのであってると思います。
ただa/3がちょうど5のときだけが正解
というわけではないですよね。

質問のポイントはそこでしょうか。

そしてそれを解消するには
今どういう数の世界で考えているのかを意識する
ことが重要になってきます。
今言った数の世界というのは
整数、有理数、実数、複素数
などのことです。

確かに
　3.5＜x＜5
だとこれを満たす整数解は4のみでひとつです。
ただし今回a/3が整数だとは言われていないし
aが整数とも言われていないので
このa/3は実数であればなんでもOKなのです。
つまり
　3.5＜x＜5
　3.5＜x＜4.9
　3.5＜x＜4.5
　3.5＜x＜4.1
　3.5＜x＜4.01
　3.5＜x＜4.001
　3.5＜x＜4.0001
のようにa/3に入れる数字は
5以外にも4.9や4.5、そして4.0001でも
ちゃんとxの整数解は4のみでひとつになっています。
ただし気をつけないといけないのは
　3.5＜x＜4
にしてしまうとこの場合4は含まれないので
xの整数解はなくなってしまいます。
ということでa/3は
おおまかには

　4～5の数字

正確に言えば

　4＜a/3≦5

の範囲ならxの整数解はひとつになる。
よって

　4＜a/3≦5より
　12＜a≦15

というので質問に答えたことになったでしょうか。
見当違いなところを説明したのならすいません(^^;
もしそうならまた質問していただけるとありがたいです。

ちなみに以前にも似たような質問を他の方からも
頂いたことがあるので、
そちらも参考にしていただけると良いかと思います。

【数Ⅰ】不等式の整数解

posted by ジュンジ at 11:03 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学Ⅰ

2013年05月05日

【数Ⅲ】数Ⅲの近似式はマクローリン展開の一部である

数Ⅲの微分の最後の方で習う近似式は
$h\simeq 0$ のとき

一次の近似式
　 $f(a+h)\simeq f(a)+hf'(a)$

というのがあり、さらに

二次の近似式
　 $f(a+h)\simeq f(a)+hf'(a)+\frac{h^2}{2}f''(a)$

というのもありますが、
これらはどちらも

　マクローリン展開

と呼ばれる式変形をした式の一部なのです。
そのマクローリン展開はテイラー展開の特殊な場合です。

とりあえずこの記事では式だけ紹介しておきます。
x=aにおけるテイラー展開は無限回微分可能な関数f(x)に対して
次のように表せる。

テイラー展開（x=aにおいて）
　 $\begin{align*} f(x)&=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n\\ &=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{6}(x-a)^3+\cdots\\ \end{align*}$

このテイラー展開において $a=0$ としたものが
マクローリン展開です。

マクローリン展開（x=0においてのテイラー展開）
　 $\begin{align*} f(x)&=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\\ &=f(0)+f'(0)x+\frac{f''(0)}{2}x^2+\frac{f'''(0)}{6}x^3+\cdots\\ \end{align*}$

このマクローリン展開はずっと続きますが
そのうちの最初から第2項までを取り出すと
第3項以降を切り捨てちゃってるので
等しいとは言えなくなるので

　 $f(x)&\simeq f(0)+xf'(0)$

一方、数Ⅲの近似式でa=0とすると

　 $f(h)\simeq f(0)+hf'(0)$

あとはhをxに書き換えれば両者は同じ式になります。

同様に2次の近似式はマクローリン展開の第3項までの式と
近似式でa=0にした式を比較すると

　 $f(x)&\simeq f(0)+xf'(0)+\frac{x^2}{2}f''(0)$

　 $f(h)\simeq f(0)+hf'(0)+\frac{h^2}{2}f''(0)$

よって数Ⅲの近似式については

　1次の近似式：マクローリン展開の第2項まで
　2次の近似式：マクローリン展開の第3項まで

と覚えておくとよいでしょう。

ただ最後に数Ⅲの近似式でa=0としてしまったので
xが0近傍以外のときの近似式はどうやって求めるの？
って思ったかもしれませんが、
問題集や教科書を見る限り

　・|x|が十分小さいとき
　・x≒0のとき

の近似式を求める問題しか出てこないようです。
これはx=0におけるテイラー展開、
つまりはマクローリン展開で
求められるものしか出てこない。
逆にx=0以外のところでの近似式は
テイラー展開に頼ることになる
ということなのでしょう。

ちなみにテイラー展開は「冪級数展開」とも言います。
それに関しては気が向いたら説明します(笑)

【数Ⅲ】近似値、近似式
【数Ⅲ】数Ⅲの近似式はマクローリン展開の一部である

posted by ジュンジ at 12:39 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学Ⅲ

2013年05月04日

【数Ⅲ】近似値、近似式

アビーさんから質問いただきました。
ありがとうございます。

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数３の近似式と近似値の意味がよくわかりません。
どうか教えてください。お願いします。

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数Ⅲの近似式

　 $f(a+h)\simeq f(a)+hf'(a)$

は微分の定義から導けます。
※「 $\simeq$ 」は「≒」の意味です。

　 $\begin{align*} f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}$

ここでhが十分小さい時に

　 $\begin{align*} f'(x)\simeq\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}$

が成り立つとする。
あとは式変形をして

　 $\begin{align*} hf'(x)&\simeq f(x+h)-f(x)\\ f(x)+hf'(x)&\simeq f(x+h)\\ f(x+h)&\simeq f(x)+hf'(x)\\ \end{align*}$

これのxをaに置き換えたのが最初に書いた
近似の公式になっています。

それではこれを使って近似値を求めてみましょう。

例）次の近似値を求めよ。

$\frac{1}{\sqrt{1.02}}$

まずここでは

　 $f(x)=x^{-\frac{1}{2}}$

としましょう。そうすると
これのx=1.02のときを求めることになります。
ここで

　 $1.02=1+0.02$

と見て、0.02は十分に小さいとみなし
近似の公式のhに当てはめます。
つまり近似の公式

　 $f(x+h)\simeq f(x)+hf'(x)$

において

　 $x=1,h=0.02$

とするということです。
よって

　 $\begin{align*} f(1.02)&\simeq f(1+0.02)\\ &\simeq f(1)+0.02f'(1)\\ \end{align*}$

を計算するのですが
ここにはf'も出てくるので
先にf'(x)を求めておきましょう。

　 $f(x)=x^{-\frac{1}{2}}$

より

　 $f'(x)=-\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

となります。
よって

　 $\begin{align*} f(1.02)&\simeq f(1)+0.02f'(1)\\ \frac{1}{\sqrt{1.02}}&\simeq1^{-\frac{1}{2}}+0.02\times(-\frac{1}{2}\cdot1^{-\frac{3}{2}})\\ &\simeq 1-0.02\times\frac{1}{2}\\ &\simeq 1-0.01\\ &\simeq 0.99\\ \end{align*}$

のように近似値が求まります。

次に近似式を求める問題も具体的にみてみましょう。

例)|x|が十分小さいとき、次の近似式を作れ。

$(1-x)^5$

まず今度は「|x|が十分小さいとき」ということなので

　 $f(a+h)\simeq f(a)+hf'(a)$

において、

　 $h=-x$

という対応になります。となると当然

　 $a=1$

と対応付けられるので、近似の式は

　 $f(1-x)\simeq f(1)-xf'(1)$

となります。
ではここで、fとはどういう関数かを考えましょう。
f(x)と書くとxという文字がかぶるので
今回はf(X)と書いておきます。

　 $f(X)=$

これをどのように設定すれば
Xに1-xを代入したときに $(1-x)^5$ になるのか。
それを考えてf(X)を設定します。
今回は

　 $f(X)=X^5$

と設定すれば

　 $f(1-x)=(1-x)^5$

という問題の関数になります。
よって近似の式にはf'も出てくるので

　 $\begin{align*} f(X)&=X^5\\ f'(X)&=5X^4\\ \end{align*}$

したがって

　 $\begin{align*} f(1-x)&\simeq f(1)-xf'(1)\\ (1-x)^5&\simeq 1^5-x\cdot5\cdot1^4\\ &\simeq1-5x\\ \end{align*}$

ということで

　 $(1-x)^5\simeq 1-5x$

となり、意味的には
$y=(1-x)^5$ のグラフは
|x|が十分小さいときつまりx=0付近では
$y=1-5x$ のグラフとほぼ同じ
と考えることができます。

【数Ⅲ】近似値、近似式
【数Ⅲ】数Ⅲの近似式はマクローリン展開の一部である

posted by ジュンジ at 10:50 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学Ⅲ