2013年10月05日

【数U】正領域と負領域

そらさんより質問いただきました(^^)

==================================

正領域と負領域

というのが分かりません…
何度か授業で説明を受けたのですが
いまいちよくつかめません>_<
下の問題の(2)はそれを使わないと
解けないそうなのですが…
他の解法はないのでしょうか?

以下、問題文です
宜しくお願い致しますm(_ _)m


A(3,0),B(0,3)とし,直線L:2ax+(a-2)y+b=0 とする。

(1)直線Lと直線ABが共有点をもつa,bの
条件を求めて,ab平面に図示せよ。

(2)直線Lと線分AB(両端も含む)が共有点を
もつa,bの条件を求めて,ab平面に図示せよ。

==================================

(2)について
他の方法はないかとのことですが、
あります。
それは後で【別解】として書いておきます。

(1)についてはこちらを参照
【数U】二直線が共有点を持つための条件


それでは正領域と負領域を利用した
解法を説明していきましょう。




問題で与えられた直線Lの式に注目。

 

これは方程式ですが、これを二つのグラフを
連立した結果として扱います。
どんなグラフかというと

 

このようにおいたとき、
このzの値が正になるのが「正領域」
このzの値が負になるのが「負領域」
ということです。
x、y、zの3次元空間において
これらの式は平面を表します。

例としてa=1、b=2のとき

 

のグラフが赤い面です。
黄色い面がz=0のグラフです。

20131005_3d_graph_01.gif

赤い面でz=0のときがもともとの式の直線Lを表します。
図では赤い面と黄色い面が交わっているところです。
今、その直線Lと線分ABは共有点を持っています。
この図のように赤い面が
点Aのところでは上側にあり、
点Bのところでは下側にある
ならば直線Lは線分ABと共有点を持つといえます。

逆に赤い面が
点Aのところでは下側、
点Bのところでは上側でも
直線Lは線分ABと共有点を持ちます。

またこの問題では線分ABの両端も含むので
赤い面が点Aか点Bのところで
ちょうど0の高さにあるときも
直線Lは線分ABと共有点を持つといえます。

ここで

 

とおくと、赤い面が点A(3,0)で上側(0以上)にあり
赤い面が点B(0,3)で下側(0以下)にあるというのは

 

と書けます。
これとは逆もOKなので

 

これらはひと言で言い換えると

 「f(3,0)とf(0,3)が逆符号」

ということなので積が負になるということです。
またどちらかが0のときもOKなので、まとめると

 

したがって

 

この不等式が表す領域を
図示すればOKです。






■■■【別解】■■■■■■■■■■■■■

グラフの共有点の話なので
グラフの式同士を連立しましょう。
そしてその解が点Aと点Bの間に
あれば良いというように
条件式をつければOKです。



まずは連立。
直線ABは

 

なので
これを問題の式

 

に代入して
xの解を求めます。
その出てきた解が
点Aと点Bの間、つまり

 0≦x≦3

であればよいのです。

実際に連立させると

 

この後、両辺をa+2で割りたいので
a≠−2のときと
a=−2のときで
場合分けが必要です。

a≠−2のときは解が

  

 になるのでこれを0≦x≦3に当てはめて

  

 とします。この不等式を整理するときに
 すべての辺にa+2をかけるので
 今度はa>−2のときとa<−2のとき
 に場合分けが必要ですがそれで
 aとbに関する不等式が得られ領域を図示できます。

 a>-2のとき

   

  これを整理して

   

 a<-2のとき

   

  これを整理して

   


またa=−2のときは

  

 という式に代入すると

  

 よってa=−2、b=12という点も
 図示すべき領域に含むことになります。
 (実際a=−2、b=12のとき
 問題で与えられた直線は
 直線ABと一致するみたいなので
 線分AB上のすべての点が共有点になります。)


したがって示すべき領域は

 

となります。
結果的に(a,b)=(-2,12)という点は
不等式が示す領域に含まれますね。
posted by ジュンジ at 13:53 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U

2013年10月02日

【数U】二直線が共有点を持つための条件

そらさんより質問いただきました(^^)

==================================

正領域と負領域

というのが分かりません…
何度か授業で説明を受けたのですが
いまいちよくつかめません>_<
下の問題の(2)はそれを使わないと
解けないそうなのですが…
他の解法はないのでしょうか?

以下、問題文です
宜しくお願い致しますm(_ _)m


A(3,0),B(0,3)とし,直線L:2ax+(a-2)y+b=0 とする。

(1)直線Lと直線ABが共有点をもつa,bの
条件を求めて,ab平面に図示せよ。

(2)直線Lと線分AB(両端も含む)が共有点を
もつa,bの条件を求めて,ab平面に図示せよ。

==================================

少し長くなりそうだったので
(1)と(2)を別々に分けて
記事を二つ投稿しますね(^^)



まず(1)について。

(2)についてはこちらを参照
【数U】正領域と負領域




二直線が共有点を持つのは2パターンあって

 その1:二直線が平行でない

直線はどこまででも伸びているので
傾きが異なっていればどこかで交わります。
では、平行なときは共有点がないのか?
そうではありません。

 その2:二直線が一致する

このときは直線上のすべての点が
共有点になります。

ということで二直線の式から見ていきましょう。
直線Lは問題で与えられたとおり

 

直線ABはA(3,0)とB(0,3)を通るので

 

直線Lの傾きを求めましょう。

 

ここで両辺を a-2 で割りたいので a-2=0 のときと
a-2≠0 のときに場合分けします。

■a-2=0 つまり a=2 のとき

  

 このときこの直線Lは傾きなしの真っ縦の直線で
 傾き-1の直線ABとは並行ではないので
 共有点を持つ。
 つまりa=2のときは共有点を持つ。

■a-2≠0 つまり a≠2 のとき

  

 この傾きが直線ABの直線と異なるとき
 共有点を持つので

  
 (※この中に先ほどのa=2も含まれる)

 また直線Lの傾きが直線ABに等しいときは
 切片も等しければ二直線は一致し共有点を持つ。
 傾きが等しいのは

  

 切片が等しいのは

  


したがって、まとめると
直線Lが直線ABと共有点を持つのは
a≠-2 または a=-2 かつ b=12
つまり
a<-2,-2<a と 点(-2,12)




図示しないといけないのですが
省略させていただきます。
でもほぼ一面がOKな領域ですね(^^;
posted by ジュンジ at 12:26 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U