【数�U】【旧数A】二項定理を因数分解に利用する

ひろさんより質問いただきました。
ありがとうございます。


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S=(1-p)^9+36p^2(1-p)^7+126p^4(1-p)^5+84p^6(1-p)^3+9p^8(1-p)

T=9p(1-p)^8+84p^3(1-p)^6+126p^5(1-p)^4+36p^7(1-p)^2+p^9

この時
S-Tを因数分解した形で求めよ。

という問題なのですが、全然わからなかったので、解説付きでお願いします！！

(問題の式が読みにくいのはすみません。)

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まずは問題で言われてる式を書いてみます。
とりあえず(1-p)の次数に注目して項べきの順に整理しながら。




(1-p)は1次ずつ下がるのに対し、pは1次ずつ上がってます。
さらには係数が左右対称になっていることに気付きます。
ここで疑うのは二項定理に当てはまっていないか？ということ。
そこで各係数をnCrを使って表せないか確かめます。



なのでこれを使って先ほどの式を書き換えると



係数に交互に出てくる「-（マイナス）」をpにくっつけて考えつつ
規則が見やすいように1項ずつで改行すると



規則を考えると次のように書いた方がわかりやすい



ということでわかりやすくΣを使ってまとめると



よって

【数B】センター数�UBのB（2014年）

第3問
(1)
まずはa2、a3を求める問題は数列の構成を
理解していれば簡単な問題である。
そして階差数列を利用してanの一般項を求める問題。
これは公式を覚えていれば問題ない。
(2)
少し複雑な漸化式の問題。
お決まりのパターンではないので
この問題の誘導に乗れるかどうかで
明暗が分かれたかと思う。
cn＝(2n+1)bnと置かれたが、これを
bn＝cn/(2n+1)として
bn+1＝cn+1/(2n+3)をつくり
�Bの式に代入すれば先に進めるだろう。
最後は部分分数に分けて和を求める問題であった。

ここはやや難。


第4問
立方体の各頂点の座標が与えられている問題なので
ベクトルの始点を原点Oにそろえることがポイント。
また空間座標は図に表しにくいのが普通だが
今回は立方体を描けばそれでOKなので
ぜひ図も描いて考えると良いだろう。
(1)
図があれば点Nを実際に打つことで
FGを1:2に内分することはすぐにわかる。
｜LK｜＝√5、｜LM｜＝√14はそれぞれベクトル成分から求める。
四角形KLMNの面積を求めるには
LK・LM＝0より四角形KLMNは∠Lが90°の平行四辺形
つまり長方形だから縦×横で面積を求められるので
√5×√14でOK。
(2)
直線と平面が垂直になる条件をベクトルの式で
表して解いていく問題だが、
その条件も式も問題文に書いてあるので
ほとんど計算してくだけである。
OPとPLが垂直であることから
OP・PL＝0
という内積の式を立てるがこれも
始点を原点にそろえて、成分で計算すればいい。
三角形LMNは(1)の最後で求めた四角形KLMNの半分なので
最後の三角錐OLMNの体積も｜OP｜さえ求められれば
後は時間はかからなかっただろう。

ここはやや易。


数�UB全体としては例年より簡単であったと言える。
平均点は60点前後と予想する。


【数�T】センター数�TAの�T（2014年）
【数A】センター数�TAのA（2014年）
【数�U】センター数�UBの�U（2014年）
【数B】センター数�UBのB（2014年）

【数�U】センター数�UBの�U（2014年）

次は数�UBの�U。


第1問
去年に続き、またしても三角関数が出題されなかった。
これはかなり予想外であった。
[1]図形と方程式
(1)はp、qが具体的にはならないままだが
・2直線の垂直条件
・傾きと通る点の座標から直線の式を立てる
・グラフの交点の座標
・点と直線の距離
の基本問題。
(2)は与えられた条件からp、qが具体的に求まり、
円の式を立てる問題と
内分・外分の様子を答えさせる問題。
公式をしっかり覚えていれば難しいところはない。

[2]対数関数
対数不等式を満たす自然数解に関する問題で
珍しい問題ではあるが誘導にしたがっていけば
これも難しいところはなかった。

第1問はやや易。


第2問
前半の「エ」のところで
pについての条件を問う問題があったが
式中では f'(x)＝3x^2−p とpの係数が−1
なので不等号の向きには注意したい。
問題の条件を満たすにはf'(x)のグラフが
x軸と異なる2点で交わればいいので
f'(x)の頂点−p＜0であればよい。
「カ」はf'(p/3)＝0からpを求めればよい。
極値については増減表を書こう。
後半は接線、高次方程式、積分で面積
といった定番の問題。
最後の面積は特に何の工夫もなく
積分計算すればいいだろう。

第2問は標準。




【数�T】センター数�TAの�T（2014年）
【数A】センター数�TAのA（2014年）
【数�U】センター数�UBの�U（2014年）
【数B】センター数�UBのB（2014年）

【数A】センター数�TAのA（2014年）

数�TAの数A部分。

第1問
[2]
珍しく「論理」ではなく「集合」のみの問題。
全体集合が25＜n＜36を満たす
有限個（10個）の自然数なので
集合P、Q、R、Sとそれぞれの補集合を
具体的に書き表すことができる。
それを見れば一目瞭然である。


第3問
AEはBEが∠Bの二等分線であることから
AE：EC＝AB：BCを利用してAE=AC×2/3。
それがわかれば同時にECもわかり
さらに△ABCが二等辺三角形であることから
∠ACB＝∠ABCなのでcos∠ACB＝1/4なので
△BCEにおいて余弦定理よりBEが求まる。
そして点Dは2本の角の二等分線であるから
△ABCの内心であり、ADも角の二等分線。
よってBD：DE＝BA：AEなので
先ほどと同様にBDを求められる。
△EBC∽△EAFでその相似比は
AE:BEから求まるので面積比はその2乗である。

最後は問題文にあるように角度に注目する。
わかることを全部書いていこう。
∠ABEをθとすると
BEが角の二等分線なので∠EBC＝θ。
△ABCが二等辺三角形でCDも角の二等分線なので
∠ECD＝θ
∠BCD＝θ。
∠CDEは△BCDの外角なので∠DBC＋∠DCBなので
∠CDE＝2θ。
∠CAFは弧CFの円周角で∠CBFと等しいから
∠CAF＝θ。
∠ACFは弧AFの円周角で∠ABFと等しいから
∠ACF＝θ。
∠ECD＝θと∠ACF＝θより
∠DCF＝2θ。
したがって∠ACF＝∠CAF＝θより
△ACFは二等辺三角形だからFA＝FC。
また∠CDE＝∠DCF＝2θより
△CDFは二等辺三角形だからFD＝FC。
FA=＝FCとFD＝FCより
FA＝FC＝FD。

第3問は最後の問題はややこしかったと思うが
全体的には標準。


第4問
来年からは「期待値」が数Aから外れるせいか
定番の「期待値を求める問題」がなかった。

問題で指定された場所から目的地へ行く
具体的なルートをひとつ考えてみよう。
(1)はAから左下、左下、下、下と行けば
辿り着き、他のどのルートを考えてみても
左下に2回、下に2回移動でしか行けないので
これは移動する方向を問題で与えられた番号で表すと
3、3、4、4の並べ方を考えればよい。
同様に(2)は3、4、5の並べ方、
(3)は(2)が連続で2回起こる確率なので
6^6通り中36通り。
(4)の1つ目は1、4、4、4、4、4の並べ方。
2つ目は2、4、4、4、4、5の並べ方。
4つ目の上記3つ以外の場合は
3、3、4、4、5、5の並べ方を考えればよい。
最後は求めた場合の数を合計すればいい。

ここは標準。



数�TA全体としては昨年に比べると簡単になっており
一昨年の平均69.97点と同じくらいの平均点になりうる。
平均は65〜70点と予想する。



【数�T】センター数�TAの�T（2014年）
【数A】センター数�TAのA（2014年）
【数�U】センター数�UBの�U（2014年）
【数B】センター数�UBのB（2014年）

【数�T】センター数�TAの�T（2014年）

センター試験お疲れ様でした。
ここからいよいよ本格的な受験シーズンへと
入っていきますが、最後までがんばってください。

それでは今年も解説もどきをしたいと思います。


まずは数�Tから。
※数�TAの第1問［2］、第3問の後半については数Aで扱います。


数�TA
第1問
[1]
ここは基本的な対称式の問題。
特に変わったところもなく
ここは易。

第2問
まずは定番の平方完成。
Gとy軸との交点のy座標pはx=0を代入すればOK。
p=-27は二次方程式になるのでそれを解けば
そのときのaの値が2つ求まる。
それら最初に求めたグラフの頂点の式に代入して
頂点の座標を比較することでどれだけ平行移動
したのかを求めよう。
後半はグラフGとx軸との共有点に関する問題。
共有点を持つようにするには判別式D≧0だが、
最初に頂点を求めていて、下に凸のグラフだから
頂点のy座標≦0 とする方が早く解ける。
「異なる2つの共有点を持つ」ではなく
「共有点を持つ」という条件に注意して
不等号を選ぼう。
pの最大値・最小値問題は基礎レベル。
グラフの軸も定義域も固定なので簡単。
最後は共有点のx座標が-1より大きくなるように
という条件なので先ほどの
・頂点のy座標≦0
に加えて
・グラフの軸＞-1
・x=-1のときのy座標＞0
を同時に満たす範囲を求めればよい。
ここは標準。

第3問
最初は余弦定理を使って
2辺と1角のcosから残りの1辺を求める問題。
CA=4と求めたところで△ABCが二等辺三角形である
ことに気付いておきたい。
この後、余弦定理、相互関係式、正弦定理
の問題が続く。
続きは数Aで。



【数�T】センター数�TAの�T（2014年）
【数A】センター数�TAのA（2014年）
【数�U】センター数�UBの�U（2014年）
【数B】センター数�UBのB（2014年）

問題へのアプローチ方法

オセイオズさんより、質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

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aを実数とする。ｘの二次方程式
　　ｘ＾２＋（a−１）ｘ＋a＋２＝０・・・�@
について�@の解が０≦ｘ≦２の範囲には実数解をただ１つ持つとき、
aの値の範囲を求めなさい。

という問題があります。この問題を解の配置の問題として解きたいのです。
そのときに、単にｆ（０）ｆ（２）＜０が必要十分になるわけではなく、
ｘ＝０、２を与方程式が解にもつときは注意が必要で、
そこの場合分けをしないといけないということだと思います。
　しかし、わたしが疑問に思うというか、やりずらく感じるのは、
その場合分けを思いつくのが難しいということです。
二次方程式の最大最小を考えるときの「軸による場合分け」についても
同じような違和感を持っています。わたしの学校は進学校で、
そのせいもあるのかもしれませんが、
「軸による場合分けはまず何も考えずに４つグラフを描いて・・・」
みたいな感じで、そのあたりは「パターン化」でスルーしています。
しかし、それだと定型的な問題は速く処理できるでしょうが、
定型的でない問題になると対処できません。
数学オリンピックなどの問題を解いていても、
「この場合分けは思いつかない」というような、
初等幾何で突飛な補助線を出されたときに感じるような、
天下り的な回答を与えられたような不快を感じます。
　場合分け全般に関するお考えや、
解の配置問題に関する明確な考え方があれば、教えて頂きたいです。

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知っている問題を解く時と、
初めて見る問題を解く時では
考え方が違うと思います。


問題を解くにはまず問題文をきちんと理解する必要があります。
それがもし知っている問題なら
「この問題はこうやったら解ける」
という感じで、今までの経験のデータベースから
解法を頭の中で検索してヒットしたら
その方法で解いていけばいいと思います。
でも初めて見る問題はそうはいきません。
解いた経験がないのだからいくら頭の中で
検索しても解法を思いついたりしないものです。
初めての問題は

　1.問題の状況把握
　　与えられた式、条件、求めるもののチェック

　2.問題の分析（分解）
　　目的のものを求めるためには何を知る必要があるのか
　　また与えられたものからわかることは何があるのか
　　などのチェック。
　　（スタートとゴール地点の両方から考える）

　3.できることをやってみる
　　2までで考えたことをとりあえずやってみる
　　必ずしも正解の道とは限らない道を進む。

　4.行けるところまで行ったらそこでの状況をチェックして
　　2と3を繰り返す。

　5.行き詰ったら分かれ道のところまで戻って考え直す。

のような感じであーでもない、こーでもないと
試行錯誤するものです。
本来の学習とはそういうものだと思います。

解法だけ教わるのは点を取るだけのためなら
手っ取り早くていいのですが、
実力は大して身につかないでしょうね。
だって今書いた5つのことをやってないのですから。
知ってる問題は解法を思い出して計算するだけで解けます。
それはほとんど考えることをせずに
解いているようなもので、知識量の問題です。
解けるかどうかは実力の差ではありません。
ただ、知識が多い方が有利なのは間違いないので
くれぐれもそこは軽視しないで下さい。


「場合分け」について重要なのは
やはりさまざまな場合を考えることです。
そしてそこで一番大切なのは
『くまなく』考えることです。
問題の本質もよく理解せずに
「これは場合分けが必要な問題だ」
と覚えるのは数学の勉強で一番大切な
「考える」とこを放棄しているようなものです。
グラフの問題にしても場合の数・確率の問題にしても
「場合分け」はもっと自然と必要になるものです。

数学の問題の多くは与えられた問題文から
式を立てて解きますが
それがどんな場合でも同じ1種類の式で
表せるならそれで解いていけばOKです。
しかし、
「さっきはこんな式になったけど
　この場合はこの式にはならないぞ？？」
という場面にぶち当たれば、そこで場合分けが必要になります。
ただそれだけのことで、覚えることでもないような気がしませんか？
ところが先ほど書いたような「考える」ことを放棄した勉強では
そういったことをほとんどしないので
当然そういう感性が磨かれることもないのです。
なので「よくわからないけど覚えてしまえばいいや」
となり、ますます「考える」習慣から遠ざかっていくのです。

この「考える」習慣を身につけるにはやはり
最初は面倒でも考えなくてはダメでしょう。
教科書や参考書に書いてある定理・公式などは
「なぜ成り立つのだろう？」「本当にそうなるの？」
という疑いの目をもって見るといいと思います。
高校数学が暗記勉強でうまくいくのは
よほど暗記能力が長けている人だと思います。







具体的に今回質問された問題に対して
どのようにアプローチするのかの一例を書いておきます。


問題.
　aを実数とする。ｘの二次方程式
　　ｘ＾２＋（a−１）ｘ＋a＋２＝０・・・�@
について�@の解が０≦ｘ≦２の範囲には実数解をただ１つ持つとき、
aの値の範囲を求めなさい。


まず正直にこの方程式の解を解の公式で求めてみて
そのうちの1つが0≦x≦2を満たし
もう1つはx＜0、2＜xを満たす
という連立不等式を解く。
「2つのうち1つ」ということは
その逆の「場合」も考えないといけない。
さらには2次方程式の解はいつでも2個というわけではないので
今のは解が2個の「場合」で解が1つの「場合」も考えないといけない。

これだとルートを含んだ不等式になるので
解くのがめんどくさそうなので
グラフで考えてみる。

グラフの形状はどんなのか。
x^2の係数が正なので必ず二次関数であり、下に凸のグラフ。
ではどこにあるグラフかを知るために頂点を求めよう。
そのために平方完成か。
頂点に定数aを含み、aの範囲は指定がないので全実数であるから
グラフは固定ではない。
おそらくグラフはどこにあってもおかしくないが
正確なことは実際に平方完成してみないとわからない。
＜なのでこのあたりで実際に平方完成の計算をしてみる＞
結果的にはx軸方向にはすべての範囲を自由に動く。
y軸方向には限界があるが、とりあえずグラフは動きまくるので
グラフとx軸が0≦x≦2の範囲で1点だけ共有点を持つ
という状況を何通りか書いてみる。
どんな場合があるのかここでじっくり考えることが重要。
だいたいの場合分けができたら、
その場合分けのちょうど境目になる場合は
問題の条件を満たすのかどうかを考える。
例えばグラフの軸の位置で場合分けするなら
グラフの軸＜0
0＜グラフの軸＜2
2＜グラフの軸
のように分けると思うが
じゃあグラフの軸＝0のときや
グラフの軸＝2のときなどの
特殊な場合はどうなのか。
またそれらは先ほどの3種類の場合のどれかに
含めることはできないか
のような感じで考えていくのが妥当かと思います。
それを整理し、突き詰めていくと
先生が覚えろというやり方に行き着くと思います。





ちなみに今回の
　f(0)・f(2)＜0
という式の意味は
x=0ではグラフはx軸より上側を通過し、x=2では下側を通過する
または
x=0ではグラフはx軸より下側を通過し、x=2では上側を通過する
ということですが、本当にこれ以外の場合で
問題の条件を満たす場合はないのかを考えると
今回は0≦x≦2の範囲で1点の共有点を持つ
なので先ほど言っていたちょうどその境目である
x=0で共有点を持つ場合やx=2で共有点を持つ場合が
抜けているのでそれを別の「場合」として考えなくてはいけない
ということになります。

×　もし指定範囲が0＜x＜2ならばx=0とx=2は範囲外になるので
×　f(0)・f(2)＜0のみで大丈夫ですね。
×
×　後で指摘されて気付きましたが、この考えは違いました
×　f(0)＝0、f(1)＝0でも指定範囲に共有点は1つですが
×　f(0)・f(2)＜0を満たしません。
×　間違ったことを書いてしまい、申し訳ありません。
×　ご指摘してくださった方には感謝です！
×　ありがとうございました(^o^)



また場合分けの方法は1つではなく、
今は指定範囲（0≦x≦2）の境界線上（x=0とx=2）
のところでどうなるかで考え始めましたが
グラフが異なる2点で交わる場合と1点で接する場合
で考え始める人もいると思います。





質問の答えになったかどうかわかりませんが
1つの意見として参考にしていただければと思います(^^)
がんばってください！