2014年04月30日

【数A】内分点、外分点

ふじさんより質問いただきました。
が、申し訳ありませんが問題の意味がよくわかりませんでした(^^;
もし、もとの問題文があるならそれをそのまま書いていただけませんか?

メールアドレスが書いてなかったので
こちらに書かせていただきました。
返信はこの記事へのコメントでかまいませんので
お願いいたします。

=========================================================

すみません、どうしても分からない問題があります。
線分AB上に既に点Pがあります。点Qもありますが線分AB上にはなく、Aの直線、はじっこに点Qがあります。恐ろしく説明ベタですいません。。。。
左から順番に、点Q,A,P,Bがあります。問題は点P,Qは線分ABをどのように外分、内分しているか答えよ というもので
答えは
点P,Qは線分ABを3に外分する
らしいのですが どうーーーしてもわかりません。
長文乱文すみませんが、教えてください。

=========================================================

=========================================================

早速お返事をいただき恐縮です。
私、焦っています、すいません。
日本語メチャクチャになってました。
写真を添付します! どうか上手くみられますように。

分点問題.jpg

=========================================================


文章ではなく図で問題が与えられていたんですね(^^;

この手の問題は簡単な方法がありますよ。

例えば線分ABを点Pが何対何に内分(または外分)しているのか
を求めるには「線分AB」の点Aを出発点、点Bを終着点
点Pを中継点と考えます。
そして点Aから点P、そして点Pから点Bへペンを移動させます。
このとき点Aから点Pまで何目盛りか、点Pから点Bまで何目盛りか
を数えればそれが内分(または外分)比になります。

具体的に(1)では
点Aから点Pまでは1目盛り
点Pから点Bまでは3目盛り
なので点Pは線分ABを1:3に内分する点である。
また
点Aから点Qまでは2目盛り
点Qから点Bまでは6目盛り
なので点Qは線分ABを2:6つまり1:3に外分する点である。

内分か外分かの違いはその点が
線分ABの内側にあるか外側にあるかです。

同様に(2)の問題もやってみてください。
きっと答えがわかると思います(^O^)
posted by ジュンジ at 20:35 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学A

2014年04月29日

【数T】展開の工夫

山さんより質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

=================================================

初めまして。もう少しで中間テストなのですが、
この問題の解き方がわかりません。教えてください!

@(a+b+c)^2−(b+c-a)^2+(c+a-b)^2−(a+b-c)^2

A(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)

=================================================

どちらも展開の問題ですね。
実は展開の問題が「わからない」というのは
ないと思ってもらってもいいです。
どういうことかというと
展開の基本である分配法則さえわかっていれば
解けなくはないのです。
時間はかかりますが分配法則を
何度も使って同類項をまとめれば必ず展開できます。

ただ、それは面倒なので公式や工夫の仕方を覚えよう
ということです。



それでは@から行きましょう。

こちらは「置き換え」を利用します。
式中に同じ式が何回か出てきたらこれですね。
ただし見た目を見やすくするための方法で
根本的には特に変わりありません。

 

ここで

 
 

とおくと

 



Aはよく見ると公式に当てはまってますね。
使う公式は

 

です。
それでは問題の式をこの形にしてから
公式を使って展開してみましょう。

 

このような式が公式に当てはまってることに
気付けるようになるためには練習あるのみです。
一見複雑そうな式でも見方によっては
扱いが変わってくるものです。
いろんな見方で式を見れるようになるには
やはりいろんな式を見る経験を積むのが一番でしょう。

これからもがんばってください(^O^)



2014.5.9 訂正
展開の公式を間違えていました(>_<)
× 
○ 

ご指摘くださった neconecoさん ありがとうございます!!
posted by ジュンジ at 23:28 | Comment(7) | TrackBack(0) | 数学T

2014年04月19日

【数A】素数pを含む式が平方数になるとき

オセイオズさんからの質問です。
ありがとうございます。

==========================================================

塾のテストで出た問題なのですが、

2^(p−1)−1/p・・・@が平方数となるような3以上の素数pは3,7に限ることを示せ

@=k^2(kは奇数)と置いて分母を払うところまではしてみたのですが、あとは手つかず。

先生も、かなり難易度の高い問題であるとは言っていましたが、解けている生徒も2人ほど同じ教室に居ました。

こんな問題に接したとき、解法を理解して、とりあえずその解法を覚えるということを続けていれば、はじめて見るこういった難問にも対処(善処)できるようになるのでしょうか。ありがちな質問ではあるでしょうが、これは私をずっと苦しめている問題でもあります。
自信をもって、この質問にyesと答えることができれば、それは数学の勉強を将来に渡って継続する勇気を与え続けてくれると思います。
 才能という話はあまり信じたくありません。全ての事柄が瞬時にセンスや直感によって判断できるのであれば、そもそも数学は不必要だと思います。自分に最初から備わってある直感やセンスだけでは処理できない事柄があることがわかっているからこそ、人間は公理を決め、定理をつくり、それらを文献に記録し、人と共有することで、新たな感覚(センス)を磨いて、積み上げてきたわけでしょう。
 かなり哲学的な問題でもあると思いますが、とりあえず最初の問題のアプローチを教えて頂けると大変助かります。それから、このレベルがたとえば東大や京大に出たとしたら、いわゆる難問扱いになるものでしょうか、実際の試験現場で解けるレベルですか?

==========================================================

まずは問題よりも先に後半の質問にお答えします。
個人的にはyesだと思います。
もちろん段階を経ずにいきなり何ランクも上の問題に出遭うと
解けないと思いますが、必要な知識があれば解けると思います。
またセンスや直感とは何もないところから出てくるものではなく
それまでの経験というデータベースの中から役立つものを
検索していかに速く発見するかということだと思います。
自分に最初から備わってある直感やセンスというのは
ほとんどなく、それらは後天的なものだと思っています。
なので初めて見た解法を覚えていくと、いろんな問題に
対処できるようになると思います。
一度でも初見の問題を解けると、楽しくなってくると思います!(^^)
解法を覚える時に「この解法は他にどんな場合に使えるかな?」
と考えることで使い方以外にも使用場面も結びつけて覚えるといいでしょう。

この問題が難問かどうかについては、
このような整数問題は今までは詳しく授業で扱うことがほぼなかったのですが
それでも習う知識で解ける問題でした。
つまり解説されたら「確かにそうだけど、そんなの思いつかないよ」と
思わず言ってしまうような問題でした。
なので難問かつ珍しい問題だと思います。
しかし今は数学Aで「整数の性質」を習うようになり(学校によっては習わない)
多少なりとも今までよりは整数に関する問題に対するアプローチの仕方が
身に付くようになったので以前よりは奇問ではなくなり、
それに伴って難易度の評価も少し下がると思います。
それでも個人的にはこれは難問だと思います(^^;






さて、それでは問題について解説していきましょう。
と言ってもこの分野はまだ勉強不足なので他にも良い解法が
あると思っていることを最初にお伝えしておきます(^^;


証明する命題はこちら。

 が平方数となるような3以上の素数pは3,7に限る

最初はオセイオズさんの言うとおりこれをとおいて、分母を払います。

 

最初の状態の式ではpの値によっては平方数になったり、
整数になったり、有理数(分数)になったりしますが
分母を払った後の左辺は必ず整数になります。
またpは3以上の素数より

 

となり、左辺は3以上の整数にしかならないことになります。
またはp≧2のとき必ず偶数であるから、今は必ず奇数である。
よって右辺も奇数なのでkも奇数である。

ここまでがオセイオズさんの質問文に書いてあったことですね。
このように整数に関して偶奇を考えることは
問題を解く手立ての一つです。



ここで指数のp-1の偶奇も考えてみよう。
pは3以上の素数なので奇数である。
よってp-1は偶数。

ここでもうひとつ、整数問題ではよくやることに
因数分解がある。

指数のp-1が偶数であることに注意すると
左辺の
2乗−2乗の因数分解ができる。

 

p-1が偶数なので は整数である。
またp≧3より は1以上の整数だから、左辺の

 

の2つのカッコ内はどちらも正の整数である。

ここで2つのカッコ内の数の差が2の奇数であることに注意すると
2つのカッコ内の数は互いに素である。
なぜならまず奇数なので素因数2は持っていない。
次に素因数3を持っているかを考えてみる。
素因数3を持つということは2つとも3の倍数ということだが
連続する奇数の差が2なのに対して
連続する3の倍数の差は3なので
連続する奇数がともに素因数3を持つことは不可能である。
同じ理由で3以上の素因数をともに持つことは不可能である。
よって2つのカッコ内は互いに素である。


右辺はであることに注意して

 

の組み合わせを考えてみる。
2つの数は互いに素なのでkとpkはありえない。
また

 

であることとp≧3、k≧1であることに注意すると

 @
 A
 B

この3組が思いつく。
しかしさらに考えるとkは素数とは限らないので素因数分解できることもあり
素因数分解したkを

 

とすれば

 

であり、適当に2つに分解すると

  と 

のように互いに素ではなくなってしまう。
今考えてるのは2つの互いに素な数の組なので
の適切な分解方法としては

  と 

のようにすべての素因数それぞれは
同じ側に集めないといけないことになる。
また必然的に同じ側に同じ素因数は偶数個ずつあることになる。
例えば

 

の場合は

  と 



  と 

なら互いに素だが

  と 

では互いに素ではないので不適切である。
したがっては2つに分解するなら
互いに素な平方数に分解されなければならない。
そこで互いに素な2つの整数a、bを用いて

 

とおくと、としても一般性は失わないので

 C
 D

という場合があることになる。
という組は
aとbがもともと差が2以上あり大きい方に3以上のpをかけると
差が2であることはありえないのでこの組はありえない。




ここまでのまとめ。

 

の組み合わせは

 @
 A
 B
 C
 D

の5通りある。



では1つずつそれぞれの場合について考えていこう。




@  のとき

 

上側の式より

 

このとき下側の式に代入すると

 

よってp=3のとき平方数1となる。



A  のとき

 

下側の式より

 

k-1、k+1は差が2なのでこの両方が2の累乗になるのは

 

のときのみで、このとき

 

これを今の式に代入すると

 

よってp=7のとき平方数9となる。



B  のとき

 

上側の式より

 

ここでpが5以上の素数のときは奇数である。
一方左辺が偶数なので右辺も偶数となるためには
k-1、k+1の少なくとも一方が偶数となることが必要だが
この2数は差が2なので必然的にどちらも偶数となる。
このとき両辺の素因数に注目すると
左辺では2という素因数が1個だけなのに対し、
右辺はk-1とk+1はどちらも偶数であり
2という素因数は2個以上あることになる。
よって素因数2の個数が両辺で異なり矛盾するので
pが5以上の素数のときBの上の式を満たすkは存在しない。

p=3のときは

 

k>0より

 

となり、このpとkの値はすでに@で求めたものである。



C  のとき

 

下の式を見るとAでk=bとなっただけであり
Aより b=3 のときのみ成り立ち、
そのとき p=7。
これはすでにAで得ている値である。



D  のとき

 

上の式を見るとBでk=bとしただけであり
Bよりこれを満たすのはb=1、このときp=3、a=1。
これはすでに@で得ている値である。



以上@ABCDより

 

が平方数となるような3以上の素数pは3、7に限る。






大変お待たせして申し訳なかったです<(_ _)>
いやぁ、とても難しかったです。
他にもいい方法があると思います(^^; 2014/4/29


修正:一部説明を追記しました。 2015/4/21
posted by ジュンジ at 14:55 | Comment(5) | TrackBack(0) | 数学A

2014年04月13日

【数T】不等式が常に成り立つように

モノノ怪さんより質問いただきました。
ありがとうございます。

==============================================================

aを定数とする。
関数f(x)=ax^2+x−a+2を考える。
−1≦x≦1を満たすすべてのxについて、
f(x)≧x^2−1が成立するように定数aの範囲を求めよ

私は軸の位置で場合分けして解こうとしましたが、
途中で出てくる不等式などが煩雑で、最後まで解けませんでした。
上に凸のときの下に凸のときで、いちいち場合分けしていかないと
いけないので、すごい面倒でした。
これくらいの問題はらくに解けないと厳しいですか?
計算がめんどくさいので、計算も含めて解いてくれると嬉しいな

==============================================================

まずは与えられた不等式

 

を具体的にして、左辺に移項します。

 

左辺をg(x)とおくと
ここで-1≦x≦1の範囲でy=g(x)のグラフがx軸以上の位置に
あれば良いことになるので、グラフを描こうと平方完成しますね。
平方完成すると

 

よってグラフの軸は

 

となるのでグラフを描くために「の係数が正、0、負のいづれであるか」、
また「グラフの軸の位置」で場合分けすることになります。
これはグラフの向きや軸が定まっておらず、
いろんな場合があるのでそれぞれの場合に分けて
解いていくということですが、
この式でもグラフのあるものが定まっています。
それは

 定点の座標

です。
定数aの値によらずy=g(x)のグラフが通る点があります。
グラフの式 

 

これがaについての恒等式となるようなx、yを求めてやれば
それが定点の座標となります。

 

これがaについての恒等式になるには



これを解くと

 

というx、yが2組出てきて、これがy=g(x)が通る定点の座標になります。

これにより、g(-1)>0、g(1)>0が常に成り立ちます。
よってg(x)が上に凸なら-1≦x≦1の範囲で常にg(x)≧0が成り立ちます。
なので
@上に凸のとき
つまりの係数が負なら問題の条件を満たします。

 

A下に凸のとき
このときは軸の位置で場合分けしますが
g(-1)=1、g(1)=3より、軸がx>1の範囲に行くことがないことがわかります。
なので軸が
A-1 x<-1の範囲にあるとき
A-2 -1≦x≦1の範囲にあるとき
の2つだけ考えればOKです。
まずは下に凸より

 


 A-1のとき図を考えれば明らかに
 -1≦x≦1の範囲で常にg(x)≧0が成り立ちます。
 なので軸<-1よりa-1>0のもとで解くと

  

 よって下に凸になるための条件a>1も考えて

  

 したがって

  


 A-2のときは-1≦x≦1での最小値は頂点になるので
 頂点≧0であればg(x)≧0が成り立ちます。

 まずは軸が-1≦x≦1にあるために

  
  
 これらをa-1のもとで解く
  
  
 よって
  

 頂点のy座標が0以上であることから
  

 下に凸であることも考えると

  

 したがって

  


Ba=1のときはg(x)が二次関数ではなくなり
今までのように放物線で考えることができないので
このときだけ別に考えます。
a=1のときg(x)=x+2となりx=-1で最小値1を取るので
これは-1≦x≦1の範囲でg(x)≧0を満たします。

よって

 



したがって
@、B、A-1、A-2より
 、 、 、
これらを合わせて

 





2014.4.15 追記
2014.4.15 訂正
 × @下に凸、A上に凸
 ○ @上に凸、A下に凸
×のようになっていました。すいませんでした!


posted by ジュンジ at 21:29 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学T

2014年04月10日

【数TUB】どういう場面で2乗するか

オセイオズさん、またまたありがとうございます(^^)

=======================================================

こんにちは。オセイオズです。
次のような問題についてです。
「点P(x、y)が次の範囲(★)を動くとき、Q(x+y、xy)の動く領域を図示せよ。
 (★)|x|+|y|≦1」
x+y≦1だったらずいぶん昔に東大に出て以来、有名な問題だそうで、チャート式にも載っていました。

絶対値がついてしまって、よくわからなくなってしまいました。
絶対値がついていようがいまいが、まず考えることは次のようだと思います。
 たとえば、x+y=5、xy=6のような値を取り得るか?と考えて、より一般的にx+y=X、xy=Y・・・@と置いて議論するわけです。Q(X,Y)とおいて、
x、yはtの方程式t^2−Xt+Y=0の二実解ですから、判別式D=X^2−4Y≧0としてまず1つ条件が出ます。これは「@と置ける」条件なので、問題は次の条件|x|+|y|≦1・・・Aです。これをどう処理するかが、この問題のカギだと思います。

答えを見ましたところ、Aの両辺を二乗していました。
すると、X,Yのみを用いて無事Aの条件式を書き換えることができ、問題を解決できます。

しかし、私にはそれがいささか唐突でした。

ベクトルや複素数などでは、「絶対値→二乗」みたいな半ば条件反射的な定石がありますが、このような場面で二乗する必然性が無いなと思いました。


似た場面に遭遇したことがあって、
 |sinx|+|cosx|の最大値を求めよ
という問題があって、これも二乗すると簡単に求まります。




長々と書いてしまいましたが、要は「どういう場面で絶対を二乗する?」という質問です。

x、yの正負で場合分けし、それをX,Yの範囲に読み替えて図示する方法も思いつきましたが、やはり二乗した方がスマートだと思いました。

臨機応変に対処する、ということなのでしょうか。
図形問題なんかだと、「必然的にこうする」なんてことはなく、できるだけ多くのパターンを頭に入れた上で、臨機応変に、逆から考えたり、とりあえず試してみたりするというのが普通だと思いますが、代数関連の問題で唐突なやり方がでてくると困ってしまいます。

長文失礼しました、漠然とした質問ですみませんが、よろしくお願いします(゜゜)(。。)ペコッ

=======================================================

質問と一緒に問題へのアプローチ方法が
書いてあり、とてもわかりやすかったです!
ありがとうございます(^^)



この問題に関してはx+yやxyという
基本対称式の値についての話をされています。
そして与えられた不等式は
|x|+|y|≦1という対称式です。
ということはこの対称式も
基本対称式で表そうと考えるのが
常套手段かと思います。

今回の2乗は与えられた条件式(不等式)を
基本対称式で表す目的で使われたということだと思います。



|sinx|+|cosx|を2乗するのは
sin^2 x + cos^2 x =1
という相互関係式の1つ(単位円における三平方の定理)に
結びつけるためでしょう。
2乗することで
1+2|sinxcosx|
=1+|sin2x|
とでき、sinxとcosxの2変数みたいだったものが
sin2xの1変数になることで最大・最小値を
求めやすくなります。


ベクトルの絶対値や複素数の絶対値は
三平方の定理そのものだから2乗です。


また、2つ以上のベクトルの和や差の絶対値を
求める時に絶対値を2乗するのは
与えられたベクトルの大きさや内積を
利用できるようにするためだと言えると思います。



どういうときに2乗するかというご質問の答えとしては
まあやっぱり臨機応変にということになってしまいそうですが(^^;
与えられた式や知っている公式の形に近づけるための
1つの手段ではないかと思います。

ちなみに等式だと両辺2乗はいつでもOKですが
不等式ではいつでもOKというわけではないことにも
注意が必要なので気をつけてくださいね(^^)
posted by ジュンジ at 01:30 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事