2014年05月19日

物理しかできない浪人生さんへ

物理しかできない浪人生さん からご質問いただきました。
ありがとうございます。

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片側極限について。
片側極限がわからなくて困っています。
y=x^2/(x-1)
=x+1+1/(x-1)
(式変形しただけです)

このとき、lim[x→1-0]y=0とlim[x→1+0]y=0

がそれぞれなぜ-∞と+∞になるのかがわかりません。

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x→1-0のときは具体的に
1よりほんのちょっと小さい値である
0.9999999999くらいで考え、
x→1+0のときは具体的に
1よりほんのちょっと大きい値である
1.0000000001くらいで考えると
わかりやすいと思います。

変形後の式の前半x+1は
x=0.9999999999のときは1.9999999999
x=1.0000000001のときは2.0000000001
とどちらもほぼ2で違いはありません。

ところが後半の1/(x-1)は違ってきます。
分母のx-1だけ見ると
x=0.9999999999のときは-0.0000000001
x=1.0000000001のときは0.0000000001
となり、どちらもほぼ0には違いないのですが
x=0.9999999999のときは負の数
x=1.0000000001のときは正の数
というのが大きな違いです!
分母だけではそれほど違いはないようにも思えますが
分数全体で考えるとどうでしょう。

 

とても大きな差になりました。
これが正の無限大になるか負の無限大になるかの
原因となるところです。



こちらの記事も参考にしてみてください。

【数V】極限値の基礎
posted by ジュンジ at 11:40 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

やっくんさんへ

やっくんさんにまたまたご質問いただきました。
ありがとうございます。
が、忙しくて詳しい説明を書く時間がないので
大まかな説明にさせていただきますが
ご了承くださいm(_ _)m

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(1)円Oとこれに内接する三角形ABCがあり、
AB=2、BC=3、cos∠ABC=1/6である。
またBを含まない弧AC(両端を含まない)
上に点Pをとる。三角形ACPの面積が
最大になるとき、線分BPの長さを求めよ。

(2)放物線y=x^2-2x上の異なる2点P、Qが
直線y=xに関して対称であるとき
線分PQの長さを求めよ。

(3)lim(pe^q-qe^p)/(e^q-e^p)
q→p

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(1)
点Pを線分ACからの距離が最長になるところに打てばいいので
ACに垂直な線で円周までの距離が最長になるのは
ACの中点を通るときなのでそのときAP=CPとなる。

ACを△ABCに関しての余弦定理から求め、
cos∠ABC=1/6よりcos∠APC=-1/6であることから
AP=CP=xとおき、△ACPに関しての余弦定理よりxを求める。

xが求まれば∠BAP=θとおき、
△ABPと△BCPに関してそれぞれの余弦定理を立て、
あとはcosθとBPの連立方程式を解けばBPがわかります。

(2)
点Pを(p、p^2-2p)、点Qを(q、q^2-2q)とおく。
このとき位置関係をはっきりさせるためにp>qとしておく。
対称点に関する条件は
・PQ⊥直線y=x
・2点P、Qの中点が直線y=x上にある
この2つからpとqの関係式を得る。

求めるものは線分PQの長さなので
三平方の定理(2点間の距離の公式)を使っても良いが
PQは図を描けばわかるとおり45°、45°、90°の
直角三角形の斜辺になっているので
底辺の長さp-qを√2倍した方が簡単に求まる。

よって得られたpとqに関する関係式から
√2(p-q)が計算できればPQが求まる。

(3)
これは説明しにくいので、答えを書いておきますね。

posted by ジュンジ at 11:21 | Comment(2) | TrackBack(0) | 質問の返事

2014年05月09日

【数V】正n角形と極限値

やっくんさんからの質問です。
いよいよラストです。

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3以上の整数nに対して、面積が1の正n角形の周の長さをlnとする。
(1)lnをnの式で表せ
(2)極限lim_n→∞ lnを求めよ

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(2)に関しては正∞角形は円に近づくことに
気付ければ答えだけは簡単に出せますね(笑)



正n角形の外接円の半径をrとします。
円の中心から各頂点に線を引くとn個の二等辺三角形ができます。
頂角は円の中心をn等分していることからなので
二等辺三角形1つあたりの面積は

 

これがn個集まったのが正n角形でその面積が1なので

 

r>0より

  … @

この話はここまでで止めておきます。


さて本題の周の長さですが先ほどの二等辺三角形を
1つだけ取り出してみましょう。
これの底辺の長さを求めれば
それがn個で周の長さになります。
頂角とそれを挟む二辺がわかっている状態から
底辺を求めます。

頂点から底辺に垂線を下ろします。
この垂線は頂角の二等分線でもあるので
頂角は に二等分されます。
また底辺を2xと置いておくと半分に分けられた底辺はxになります。
この垂線で半分にされた三角形は直角三角形なので
直角三角形を使った三角比の定義より

 

これをxについて解くと

 



したがって正n角形の周の長さ
2xがn個分なので

 

@を代入すると

 

分母のsinに2倍角の公式を使うと

 

ということで(1)の答えとしては

 

ここからは極限を意識した式変形で

 

よって

 
posted by ジュンジ at 14:02 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

【数T】置換すると二次関数になる関数の最大・最小値

引き続きやっくんさんからの質問です。

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aは実数の定義とする。関数f(x)=(x^2+4x+3)^2+a(x^2+4x+3)の
最小値が-4となるようにaの値を求めよ

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問題文を読むと「最小値が-4」とあるので
これで式を立てると考えます。
つまり最小値を求めた後

 求めた最小値=-4

という式を作ることを目標にします。
そのためにはこの-4を知らないふりをして
最小値を求めなければいけません。

さて、今から立ち向かう式は

 

で、そのまま見れば4次式で4次関数なので
最小値を求めるには

 最小値 ← グラフ ← 増減表 ← 微分

という流れになりますが
見ての通りの部分が共通なので置き換えて見やすくしましょう。

 

とおくと元の式は

 

となるのでこれをg(t)とおきます。

 

立ち向かう関数が二次関数になったので

 最小値 ← グラフ ← グラフの軸 ← 平方完成

という流れに変わります。
ということで平方完成をしていくのですが
その前に忘れないうちにやっておいた方がいいのが

 置き換えた文字の定義域

を出しておくことです。
今回の置き換えは

 

だったのでこの t の最大・最小値を求めておきましょう。
この式も二次関数なので最大・最小値を求めるために
やるべきことは平方完成です。(もちろん微分して増減表でもよい)

 

よって最小値-1、最大値なしとなるのでtの値域は

 

となり、これがg(t)の定義域となります。
最大・最小値はその関数の定義域が決まらない限り
求まらないので覚えておきましょう。
(指定範囲がない場合は「全実数」という定義域になります)

ということでg(t)の式の最小値を t≧-1 の範囲で求めましょう。

 

これでわかるのはグラフの軸が

 

であるということで、まだ頂点で最小になると
わかったわけではありません。
これを調べるために図を描きましょう。
描くのは定義域の境界線になる縦線です。
今回はt=-1が境界線になりそこから右側が定義域です。
それが描けたら今度はグラフの軸を描き入れます。
しかし今回グラフの軸は-a/2でこれが境界線の-1より
左側なのか右側なのかわかりません。
わからないというか決められません。
「aの値によってはどちらの場合もありえる」
ということになるので場合分けして考えます。



 グラフの軸が境界線より左側のとき

つまり
 
 

のとき、定義域の左端であるt=-1で最小になり
これが今、-4になればよいので

 

これは今の条件 を満たすので
まず一つ目の答えとして

 



同様に


 グラフの軸が境界線から右側のとき

つまり
 
 

のとき、グラフの頂点で-1で最小になり
これが今、-4になればよい。
先ほどと同じように考えればg(-a/2)を
求めるにはt=-a/2を代入すればよいが
それで求まるのは頂点のy座標で
それはすでに求まっているので計算は不要。

 

今の条件 より

 



したがってまとめると

 
posted by ジュンジ at 12:22 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2014年05月08日

【数U】恒等式(三角関数との融合問題)

やっくんさんより質問いただきました。
ありがとうございます。

3つのうちの1つ目を投稿します。
あと2つはもうしばらくお待ちください。

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k、α、βは実数の定数とする。すべての実数θに対して等式
cosθ+cos(θ+α)+cos(θ+β)=k が成り立つような
k、α、βの値をそれぞれ求めよ。ただし0≦α≦β<2πとする。

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「すべての実数θに対して成り立つ」ということで
これは「θについての恒等式」という意味ですね。
恒等式になるように他のk、α、βという3つの定数を
係数比較法か数値代入法で求めればOKです。

しかし今回θについて式をまとめるのが難しいので
数値代入法の方が良いでしょう。

ということで
θに好きな値を代入して式を作っていきましょう。
今回求めるのはk、α、βの3文字なので
式も3つ作る必要があります。


まずは  のとき

 
 … @


次は  のとき

 
 … A


最後は  のとき

 
 … B


A+Bより

 

これを@とBに代入すると


 

 … C
 … D


これを普通に解いてもいいのですが
Dの式に注目してαとβの関係を考えてみたいと思います。

 

この関係を単位円で考えると角αとβは原点対称か
x軸に関して対称の位置関係であることがわかります。

原点対称のときは

 

このとき α≦β より 0≦α<π、π≦β<2π である。
これをCに代入すると

 

となり不適。


x軸に関して対称のときは

 

このとき α≦β より 0≦α<π、π≦β<2π である。
これをCに代入すると

 

0≦α<πより

 

またこのとき

 

したがって

 
posted by ジュンジ at 13:25 | Comment(1) | TrackBack(0) | 数学U

2014年05月07日

【数V】(log x)/xの極限

吉田さんからの質問です。

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lim    
x→∞ logx/x

の解説と答えをお願いします。

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ロピタルの定理を使えばすぐに解けます。

  かつ  なので

ロピタルの定理より

 



これを使わないのであれば

 

において

 

とおく。

 

なので

  ⇒ 

よって式は次のように変形される。

 

今tは十分に大きいのでt>0として考えても構わない。
ここで

 

という不等式を考えると、十分に大きなtにおいて明らかに成り立つ。
またより

 

右辺の式に関して

 

したがってはさみうちの原理より

 

まとめると

 
posted by ジュンジ at 09:41 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2014年05月04日

みゃうにゃさんへ

みゃうにゃさんより質問いただきました。

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二項定理の式のいみを教えてください!!

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以前二項定理について書いた記事があるので
まずはそちらを読んでみてください。

【数U】【旧数A】二項定理をマスターしよう


こちらも参考にしてみてください(^o^)

【数U】【旧数A】二項定理の例題 その1
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その2
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その3
posted by ジュンジ at 00:05 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事