2014年08月26日

【数V】増減表のf'(x)の正負の考え方

いやピースさんから質問いただきました。
ありがとうございます(^o^)


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数3Cの微分の範囲でグラフの概形を描く問題で
グラフの凹凸を求め増減表を描く場合
グラフのプラマイの部分の求め方がわかりません。
数2までの微分ならなんとかなるのですが
logとかeとかルートがでてきたとき混乱してしまいます
ほんとに数3できないので、基礎の基礎から教えてもらえると嬉しいです。
どうかよろしくお願いいたします。
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数Uの時にf'(x)の正負を考える時
いつも放物線をイメージしていませんでしたか?
もしそうであれば、数Vの微分で困ると思います。

y=f(x)のグラフを描くための増減表を描くためには
f'(x)が0になる時のxを求め
それを境にf'(x)の正負を考えます。

数Uで出てくる増減表の問題と言えば
3次関数です。
発展問題で4次関数もありますが
3次が4次になったところで
基本的は変わりません。
ただし数Vの微分で困る人は
4次になったら困ると思います。

f(x)が3次ならf’(x)は2次です。
式の値の正負を考えるには
和よりも積の方が都合がいいです。
なぜなら
正+負の結果は正か0か負か決まりませんが
正×負の結果は必ず負になると
言えるからです。
なのでf’(x)の式を積の形にする、
つまり因数分解するのです。

例えば

 

となったとします。
これを二次関数のグラフと見れば
x軸と2、3で交わる下に凸のグラフだとすぐにわかり、
グラフがx軸より上側のところではf'(x)は正
グラフがx軸より下側のところではf'(x)は負
と見た目で分かります。

f(x)が4次関数でもf'(x)は3次関数なので
因数定理などを利用すれば因数分解は可能です。
しかしここで少し困る人が出てきます。
f'(x)の正負を考えるためのグラフを描きたいところですが
f'(x)が3次関数なのでそのグラフを描くために
このf'(x)自体を微分して増減表を描く必要が出てきます。
それは面倒ですね。
ただし3次関数の一般的なグラフの形を知っていれば
3次関数のグラフも正負がわかる程度には簡単に描けます。

例えば

 

であれば、x軸との交点は1、2、3の3か所です。
そしての係数が正ならばグラフは最終的には
上がっていくので左から右へ順に、
上がって下がって上がります。
ってことであとはf'(x)のグラフを見て
グラフがx軸より上側のところではf'(x)は正
グラフがx軸より下側のところではf'(x)は負
と答えられます。



ところが数Vではこのf'(x)のグラフを描くことが
通常は困難であり、f'(x)の正負を考える時に
困ってしまうということです。

例えば

 

であれば微分すると

 

となりこのグラフを描くことが困難だということです。
そこで「正負を考える時は積の形」です。
因数分解したのは何もグラフを描くためではありません。
f'(x)の正負を考えるためです。

今回因数分解するとxとと2+xという3つの因数に分解できました。
これら1つずつの正負を考えていくのです。
この3つのうちでは常に正で0になることすらないので
f'(x)の正負を考える上では何の影響力もありません。
なのでこれは無視して残り2つの正負を考えればOKです。
xと2+xがそれぞれ0(←正負の境界)になるのは
xが0と-2のとき。

x<-2のときは
 
     =負×正×負
となり正。

‐2<x<0のときは
 
     =負×正×正
となり負。

0<xのときは
 
     =正×正×正
となり正。

増減表を描くと



こんな感じで考えてみてください。
ちなみに数Uの微分でもこの考え方はできます。


logを含むものもやっておきましょう。

 

この時点で真数条件よりx>0、
分母≠0より、x≠0
という条件があり、まとめると
今回の定義域はx>0ということになります。
f(x)を微分すると

 

今回は2つの因数に分解できました。
1-log xとです。
それぞれが0になるのはe、0ですが
今回の定義域はx>0なので
は0になることもなく常に正となるのでこれは無視して
1-log xの正負だけ考えればOKです。
x=eのときに1-1となり0になりますが
xがeより小さい場合はどうなるか。
log xのグラフを思い出せば単調増加なので
xがeよりも小さくなればlog xは小さくなります。
つまり

x<eのとき
 1-log x=1-(1よりも小さい数)
なので正。

同様にlog xのグラフを思い出せば単調増加なので
xがeよりも大きくなればlog xは1より大きくなります。

e<xのとき
 1-log x=1-(1よりも大きい数)
なので負。

増減表を描くと


といった感じです。



まとめると
f'(x)でもf''(x)でも正負を調べるには因数分解して
各因数ごとに正負を考える
という考え方が基本かと思います(^^)
posted by ジュンジ at 04:08 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2014年08月15日

【数A】二元一次不定方程式

もっとも基本的な二元一次不定方程式について。

例題1) 不定方程式 3x=5y を満たす整数解を求めよ。

両辺を次のように素因数分解できたとする。

 左辺の素因数分解 ⇒ 3・○・○・○・…
 右辺の素因数分解 ⇒ 5・○・○・○・…

左辺と右辺は等しいので、
素因数分解の結果は完全に一致する。
3と5は互いに素なので
両辺の素因数分解を一致させるためには、
次のようにそれぞれ2つ目以降の素因数に
5と3を含んでおかなくてはいけない

 左辺の素因数分解 ⇒ 3・5・○・○・…
 右辺の素因数分解 ⇒ 5・3・○・○・…

そして残り3つ目以降は
具体的に一通りには決められないが、
左辺と右辺は等しいので3つ目以降の素因数は
すべて等しくならざるを得ない。
この残りの素因数をひとまとめに「k」と書くと

 左辺の素因数分解 ⇒ 3・5・k
 右辺の素因数分解 ⇒ 5・3・k

となる。さらにそれぞれ

 左辺の素因数分解 ⇒ 3・(5k)
 右辺の素因数分解 ⇒ 5・(3k)

として3x=5yという式と見比べると

 x=5k、y=3k

になっている。
残りの素因数「k」は整数ならいくらでも構わないので
この不定方程式の解は

 kを整数として(x、y)=(5k、3k)

となる。こう書いておくことで
k=1のときは(5、3)、
k=2のときは(10、6)、
k=100のときは(500、300)
のような解をひとまとめに表すことができるのである。

今回は3と5が互いに素だったが、
互いに素ではない4と6ならばどうなるか考えてみよう。


不定方程式 4x=6y を考える時、両辺を次のように考えたとする。

 左辺の素因数分解 ⇒ 4・○・○・○・…
 右辺の素因数分解 ⇒ 6・○・○・○・…

これらが一致するためには
2つ目以降の因数に必ずしもそれぞれ
6と4を含んでいる必要はない。
左辺と右辺をそれぞれ素因数分解すると

 左辺の素因数分解 ⇒ 2・2・○・○・…
 右辺の素因数分解 ⇒ 2・3・○・○・…

となり、これらを一致させるためには
3つ目以降の因数はそれぞれ3と2で十分なのである。
もちろん6と4でも等しくはなるが、
そこまで必要ではないということだ。
なのでax=byならばいつでも
x=bk、y=akと置けばいいわけではない。
すべての整数解を含むとは限らないからだ。
aとbの部分が互いに素の場合のみ、
x=bk、y=akと置けばすべての整数解を含む
ことになるのである。

この例では互いに素ではない4と6を
係数に持つ4x=6yを考えたが、
普通これなら両辺を2で割って、
2x=3yのようにしてから考える。
実はこれ、係数を「互いに素」に
してから考えているのである。
このように「互いに素」というのは
無意識のうちに考えていたことなのである。
分数の約分も普通はできるだけやるよね?
あれはどこまで約分しているのかというと
分母と分子が「互いに素」になるまで約分しているのである。
分母と分子が互いに素になるとそれ以上は約分できなくなる。
そのように既に約分が完了している分数のことを
「既約分数」という。
posted by ジュンジ at 19:42 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学A