2015年01月19日

【数B】センター数UBのB(2015年)

第3問
数列{an}は周期的変化の数列、
数列{bn}は漸化式で定義されている。
それだけだと難しいが誘導に乗って行けば
序盤は問題なく進んでいけただろう。
問題は解答欄コの辺りから。
周期的変化の数列ではよくやることだが
anの4種類の値によって数列を4つに分けるのである。
b1、b2、b3、b4までを具体的に求めておいて
b1、b5、b9、…
b2、b6、b10、…
b3、b7、b11、…
b4、b8、b12、…
のように4つの数列に分けると
初項はそれぞれb1、b2、b3、b4だが
公比はどれも3/2となる。
そしてこの後のを求める時も
この4つの数列の第1項から第m項までの和の合計として考える。
(4)の積に関してはとくに公式を習ったわけではないので
実際に掛けて行くとどうなるかを観察してみると良いが
今度はb1〜b4の積、b5〜b8の積のように連続する4つの項ごとに
まとめていくように誘導されている。
は直前に求めた式のkに
k=1、2、3、…、mを代入して計算すればよい。
この時、積は指数法則により指数の和で計算できるようになる。
最後のにb9とb10をかければよい。
ここは難。

第4問
平面ベクトルの問題。
基底ベクトルがベクトルOAとベクトルOBとわかりやすく書いてある。
最初はPやQを内分公式を使って表す問題。
Qの方はベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBに変換する必要がある。
ベクトルOC=ベクトルABなのであとは始点をOにすればよい。
OPやOQの長さは定番の2乗して求める方法で。
(1)最後の問題は三角形の面積だが、
直角三角形なので求めたOP、OQを使って底辺×高さ×1/2で求まる。
(2)は最頻出問題の交点を指すベクトル。
ベクトルOTを2通りで表して、一次独立より係数比較。
最後の面積比の問題はPT:TQとAT:TRの比を
求めたs、tから求めれば、底辺と高さの比がわかるので解ける。
ここは標準。

第5問
(1)は袋から球を取り出すときの
白球の個数に関する確率の問題。
それぞれ組合せの考えで求めよう。
期待値は 個数×確率 の合計で
分散は 平均の2乗−2乗の平均 で求める。
(2)は標準正規分布に関する問題。
正規分布表の使い方がわかっているかを問われた。
正規分布表には図の斜線部の面積、
つまり確率が書かれているが、
左右対称の図形の右半分の部分のみなので
確率が0.99になるのは右半分では0.495になるときである。
表からそれに近い値を探すと0.4949と0.4951があるが
0.4950はないのでその判断に困るが
0.4949のときのz0=2.57
0.4951のときのz0=2.58
で、解答の選択肢に2.57はないので2.58と決まる。
(3)も正規分布表に関する問題。
(2)より信頼度99%の信頼区間は

 標本平均−2.58≦m≦標本平均+2.58

なので、L2=(標本平均+2.58)−(標本平均−2.58)より
L2=2.58×2
同様に、95%の信頼区間は0.95の半分の0.475のときのz0を
正規分布表から読み取ると1.96だから
そのときのL1=(標本平均+1.96)−(標本平均−1.96)より
L1=1.96×2
したがってL2/L1を計算すると約1.3となる。
最後に

 標本平均−z0×σ/√n ≦ m ≦ 標本平均−z0×σ/√n

で求まることから、標本数を4倍にしたときの
信頼区間は L=2・z0・σ/√n となるので
標本数を4倍にすると1/√4倍、つまり0.5倍になるので
L3=0.5・L1となり
L3/L1=0.5となる。
ここは標準。



こちらも個人的に解いた感覚から予想すると
平均点は50〜55点くらいかと思います。

※ 大手予備校の予想はこれより10点くらい下です。
大外しになってすいません…
また第3問の難易度評価をやや難から難に変更しました。
(2015.1.21)

【追記】
第5問の記事を追記しました。 2015.1.21


【数T】センター数TAのT(2015年)
【数A】センター数TAのA(2015年)
【数U】センター数UBのU(2015年)
【数B】センター数UBのB(2015年)
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【数U】センター数UBのU(2015年)

それでは数UBの数U行きたいと思います。

第1問
[1]は3年ぶりに出題された三角関数。
座標に三角関数が使われていたことで
抵抗があった人も多かったと思う。
というのも実際に式を立てる時に必要な知識は
三角関数ではなく図形と方程式の単元の方だからだ。
式を立てた後の計算が三角関数の分野になっていた。
(1)のOP、PQ、OQに関してはすべて2点間の距離の
公式を使えばよい。
その後は三角関数の相互関係式を使って整理。
OQについては加法定理を普段とは逆に使って合成する。
OQの最大値に関しては頻出問題と言えるだろう。
(2)は直線OPの式を選択肢から選ぶ問題だが
OPは原点を通る直線なのであとは傾きを求めればよい。
そこに三角関数が出てくるが気にせずにいつも通りやればOK。
3点O、P、Qが一直線上ならばどちらも原点を通るので
OPとOQの傾きが等しいという式を立てても良いが
「このことにより」ということから
先ほどの式を利用することを考えると
点Qは直線OP上にあるので点Qの座標をxとyに代入すればよい。
(3)の∠OQPが直角になるときはOP=2、PQ=1であることを
見落とさなければその図より1:2:√3でOQ=√3であることが容易にわかる。
それがわかればOQ^2=5+4cos6θにOQの値を代入して解けばθが求まる。
またOQとPQが直角なので傾きの積=-1としても解ける。

[2]は指数関数の問題。
平方根や3乗根などのルートを指数で表してから
連立方程式を解くといいだろう。
(2)の最小値の問題は相加平均・相乗平均を
使うことまでも誘導されているので
そこに苦労はしなかっただろう。
それよりもここは指数法則をきちんと
理解できているかが分かれ道だろう。

第1問はやや難


第2問
例年通り微積分の問題。
珍しいのは微分係数を定義に従って求める問題があったこと。
最初に習ったあとは公式ばかりになってしまうので
もしかしたら最初だけできなかった人もいるかもしれない。
ただ公式で微分して求めることもできるので
(2)からの問題に特に影響はしないだろう。
後半の面積Sや面積Tを求める問題は
少し計算が面倒ではあるが難しくはない。
S-T>0という3次不等式は因数分解してやれば
なんとなく解答欄に合う値は1つしか出てこないが、
大体のグラフは書いてもらいたいところである(笑)
ただ今回はa>0ということから両辺をaで割ることができ
そうすれば二次不等式になるので簡単に解ける。
最後のS-Tの最小値も「増減を調べると」と
増減表を書くようにヒントが書かれている。
ここは標準。


【追記】第2問の解説を追記しました。2015.1.21



【数T】センター数TAのT(2015年)
【数A】センター数TAのA(2015年)
【数U】センター数UBのU(2015年)
【数B】センター数UBのB(2015年)
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【数A】センター数TAのA(2015年)

新課程では数Aは3単元から2単元以上を学習すればよい
ということで第4問〜第6問から2問選択する形式になった。

第4問
例年通りだと確率の問題だが、
今年は確率までも行かずに場合の数止まりの問題。
一列に並んだ5枚の正方形の板を同じ色が
隣り合うことなく3色か2色で塗る問題。
これは端から順番に何通りの塗り方があるか
で考えるとわかりやすい。
最初は何でもいいので3通り、
次は直前の色以外の2通り、
次も同様に2通りとなっていくので
3・2・2・2・2=48通り。
左右対称になるということは左半分が決まれば
右半分は自動的に決まっていることになるので
3つ目までを考えて3・2・2=12通り。
青と緑の2色は2・1・1・1・1=2通り。
赤が3枚は両端と真ん中が赤と決まるので
1・2・1・2・1=4通りである。
(5)は赤がどこに来るのかで場合分けをして
これらと同様に考えると良い。
(6)はすべての場合から赤が0枚、1枚、3枚
になる場合を引くと早い。
ここは標準。

第5問
新課程で新たに加わった整数の性質問題。
最初は素因数分解するだけのサービス問題。
(2)はよくある問題で√の中の各素因数の指数が
偶数になるようなmを求める問題。
(3)は1次不定方程式。
これくらいならユークリッドの互除法を利用しなくても
解を一組見つけられただろう。
(4)は(3)の時のmを求める問題であることに気づければ
特に苦労はしなかっただろう。
ここは標準。

第6問
平面図形の問題。
まずは図を描くことから始めるが
ちょっと円が問題の通りにならないなんて人もいたと思う。
図が描ければ最初の問題は方べきの定理を利用。
BEが求まった時に点BがCEの中点になっていることに
気づけたかがポイント。
次の重心に関する問題では重心が中線の交点である
という知識が問われた。
その次のDP/EPを求める問題では
△CDEと直線ABに関してメネラウスの定理を使えばよい。
あとは三角形の相似に対して割と丁寧な誘導がしてあったので
ここまで来られたら最後まで解けただろう。
ここは標準。


今回は内容も問題数も変わったことで
過去問による対策は出来なかったと思いますが
全体的な難易度は標準的であったように思います。
自分で解いた感覚で言うと
平均は60点前後くらいかと予想します。


【修正】
問4の(6)の解法を補集合を利用したものに変更しました。(2015.3.3)


【数T】センター数TAのT(2015年)
【数A】センター数TAのA(2015年)
【数U】センター数UBのU(2015年)
【数B】センター数UBのB(2015年)
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【数T】センター数TAのT(2015年)

受験生の皆さん、センター試験お疲れさまでした。
今回は脱ゆとりの新課程になって初めてのセンターで
数TAは大きく変わりましたね。

ということでまずは数Tの範囲から出題された
第1問、第2問、第3問からいきたいと思います。

第1問
最初から今までの形式が崩れ
二次関数の問題でした。
ただ、内容的には難しい問題はなく
最初は頂点を求めるために平方完成。
平行移動後のグラフの頂点を(1+p、3+q)とする。
2≦x≦4における最大値・最小値を求めるための
場合分けを軸1+pによって行う。
よくあるパターンではあるが
不等号の種類も選択しなければならないので
普段きちんと細かいところまで考えていない人は
間違えたかもしれない。
また意外とグラフの向きを間違えることも多そうである。
最後は解が-2<x<3となる二次不等式。
この解を逆にたどって
(x+2)(x-3)<0
として左辺の式をf(x)と比較するように
の係数をそろえるために
両辺に−1をかけるとよい。
あとは展開して比較しても頂点の座標で比較しても良い。
ここはやや易。

第2問
[1]は論理の問題。
1問目は与えられた命題の対偶を答える基本問題。
2問目は素数を扱う問題で倍数のように
一括して文字式で表すことはできないが
考える範囲が30以下の自然数に限られているので
当てはまるものを実際に探すと良いだろう。
一部否定が入ってることに注意が必要。
p1かつp2を満たすのは3、5、11、17、29の5つなので
これに1足した数が5の倍数ではなくなおかつ6の倍数に
なっているものを探し、そうではないのが反例である。
[2]は三角比の問題。
前年までは平面図形との融合問題だったが
分離されたために難問が作りにくくなっている。
前半は余弦定理と正弦定理の基本問題。
sin120°の値を答える問題はサービス問題である。
そこまでは簡単だが最後の△APCの外接円の半径に関する問題は
難しかったかもしれない。
まずは点Dをきちんと描けたのかということも重要である。
そして点Pを線分BD上で動かすイメージをすると
△APCのうちACは固定である。
そこで外接円の半径Rを含む正弦定理を使って
2R=AC/sin∠APC を考えると
sin∠APCが最大の時、Rは最小
sin∠APCが最小の時、Rは最大
となるので0°〜180°の範囲で考えると
90°のときRは最小となり、この時ACが直径になるので7/2。
∠APCが最も小さくなるのは点PがBかDにある時だが
AD=3√3、AB=3よりDにある時の方が小さくなる。
よって△ADCに対して正弦定理を使えばRの最大値を求められる。
ここは標準。

第3問
データの分析のみで構成されている大問であった。
[1]に関しては四分位数がヒストグラム中のどこにあるのか
を問う問題。(1)と(2)はヒストグラムや箱ひげ図の
読み方がわかっていれば難しくはなかったはず。
(3)はどの選択肢も「必要条件でも十分条件でもない」
ということになるが、絶対に間違っているものを選ぶ。
ここでも四分位数や最小値・最大値に注目する。
逆に生徒個々のデータはわからないので全員が
どう変化したのかは調べられない。
[2]は相関係数を答える問題で
散布図を見れば明らかに正の相関があるが
選択肢を見ると割と近い値が並んでいるので
与えられた標準偏差と共分散から計算しよう。
ということで最後は相関係数の公式を問う問題であった。
ここは標準。



【数T】センター数TAのT(2015年)
【数A】センター数TAのA(2015年)
【数U】センター数UBのU(2015年)
【数B】センター数UBのB(2015年)
posted by ジュンジ at 02:31 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2015年01月09日

【数T】データの平均値、分散、標準偏差、共分散、相関係数

新課程になってから初のセンター試験を迎えます。
せっかくなので新たに加わった単元「データの分析」
に触れておきたいと思います。

計算で求める代表的な値の求め方は次の通りです。

平均:「データ」の合計をデータ数で割った値
偏差:「データ」−「平均値」
分散:「偏差」の2乗の平均
標準偏差:√「分散」
xとyの共分散:「xの偏差×yの偏差」の平均
xとyの相関係数:「xとyの共分散」/(「xの標準偏差」×「yの標準偏差」)

ここですべてのデータにaを加えた場合、
先ほど紹介した値がどのように変わるのかを
紹介したいと思います。

すべてのデータを+aすると、
平均も+aになります。
データも平均も+aなのでその差である偏差は不変。
偏差が不変なのでそれを使って算出する分散、標準偏差も不変。
2変数xとyがあって、すべてのxを+a、すべてのyを+b倍しても
それぞれの偏差は不変なので共分散も不変です。
したがって相関係数も不変となります。

すべてのデータをa倍すると、
平均もa倍になります。
データも平均もa倍なのでその差である偏差もa倍。
分散は偏差の2乗の平均なので分散は倍になります。
標準偏差は倍された分散の平方根なのでa倍になります。
また2変数xとyがあるとき、xのすべてのデータをa倍、yのすべてのデータをb倍すると
共分散はxの偏差とyの偏差の積の平均で、それぞれの偏差はa倍とb倍になっているので
共分散はab倍になります。
したがって相関係数を計算するとき、
分母の標準偏差がそれぞれa倍とb倍になっているので分母は合わせてab倍で、
分子の共分散もab倍なので相関係数は不変となります。


まとめ

データを+aすると
・平均値:+a
・分散:変わらない
・標準偏差:変わらない
・相関係数:変わらない

データをa倍すると
・平均値:a倍
・分散:
・標準偏差:a倍
・相関係数:変わらない
posted by ジュンジ at 11:40 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T