2014年08月26日

【数V】増減表のf'(x)の正負の考え方

いやピースさんから質問いただきました。
ありがとうございます(^o^)


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数3Cの微分の範囲でグラフの概形を描く問題で
グラフの凹凸を求め増減表を描く場合
グラフのプラマイの部分の求め方がわかりません。
数2までの微分ならなんとかなるのですが
logとかeとかルートがでてきたとき混乱してしまいます
ほんとに数3できないので、基礎の基礎から教えてもらえると嬉しいです。
どうかよろしくお願いいたします。
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数Uの時にf'(x)の正負を考える時
いつも放物線をイメージしていませんでしたか?
もしそうであれば、数Vの微分で困ると思います。

y=f(x)のグラフを描くための増減表を描くためには
f'(x)が0になる時のxを求め
それを境にf'(x)の正負を考えます。

数Uで出てくる増減表の問題と言えば
3次関数です。
発展問題で4次関数もありますが
3次が4次になったところで
基本的は変わりません。
ただし数Vの微分で困る人は
4次になったら困ると思います。

f(x)が3次ならf’(x)は2次です。
式の値の正負を考えるには
和よりも積の方が都合がいいです。
なぜなら
正+負の結果は正か0か負か決まりませんが
正×負の結果は必ず負になると
言えるからです。
なのでf’(x)の式を積の形にする、
つまり因数分解するのです。

例えば

 

となったとします。
これを二次関数のグラフと見れば
x軸と2、3で交わる下に凸のグラフだとすぐにわかり、
グラフがx軸より上側のところではf'(x)は正
グラフがx軸より下側のところではf'(x)は負
と見た目で分かります。

f(x)が4次関数でもf'(x)は3次関数なので
因数定理などを利用すれば因数分解は可能です。
しかしここで少し困る人が出てきます。
f'(x)の正負を考えるためのグラフを描きたいところですが
f'(x)が3次関数なのでそのグラフを描くために
このf'(x)自体を微分して増減表を描く必要が出てきます。
それは面倒ですね。
ただし3次関数の一般的なグラフの形を知っていれば
3次関数のグラフも正負がわかる程度には簡単に描けます。

例えば

 

であれば、x軸との交点は1、2、3の3か所です。
そしての係数が正ならばグラフは最終的には
上がっていくので左から右へ順に、
上がって下がって上がります。
ってことであとはf'(x)のグラフを見て
グラフがx軸より上側のところではf'(x)は正
グラフがx軸より下側のところではf'(x)は負
と答えられます。



ところが数Vではこのf'(x)のグラフを描くことが
通常は困難であり、f'(x)の正負を考える時に
困ってしまうということです。

例えば

 

であれば微分すると

 

となりこのグラフを描くことが困難だということです。
そこで「正負を考える時は積の形」です。
因数分解したのは何もグラフを描くためではありません。
f'(x)の正負を考えるためです。

今回因数分解するとxとと2+xという3つの因数に分解できました。
これら1つずつの正負を考えていくのです。
この3つのうちでは常に正で0になることすらないので
f'(x)の正負を考える上では何の影響力もありません。
なのでこれは無視して残り2つの正負を考えればOKです。
xと2+xがそれぞれ0(←正負の境界)になるのは
xが0と-2のとき。

x<-2のときは
 
     =負×正×負
となり正。

‐2<x<0のときは
 
     =負×正×正
となり負。

0<xのときは
 
     =正×正×正
となり正。

増減表を描くと



こんな感じで考えてみてください。
ちなみに数Uの微分でもこの考え方はできます。


logを含むものもやっておきましょう。

 

この時点で真数条件よりx>0、
分母≠0より、x≠0
という条件があり、まとめると
今回の定義域はx>0ということになります。
f(x)を微分すると

 

今回は2つの因数に分解できました。
1-log xとです。
それぞれが0になるのはe、0ですが
今回の定義域はx>0なので
は0になることもなく常に正となるのでこれは無視して
1-log xの正負だけ考えればOKです。
x=eのときに1-1となり0になりますが
xがeより小さい場合はどうなるか。
log xのグラフを思い出せば単調増加なので
xがeよりも小さくなればlog xは小さくなります。
つまり

x<eのとき
 1-log x=1-(1よりも小さい数)
なので正。

同様にlog xのグラフを思い出せば単調増加なので
xがeよりも大きくなればlog xは1より大きくなります。

e<xのとき
 1-log x=1-(1よりも大きい数)
なので負。

増減表を描くと


といった感じです。



まとめると
f'(x)でもf''(x)でも正負を調べるには因数分解して
各因数ごとに正負を考える
という考え方が基本かと思います(^^)
posted by ジュンジ at 04:08 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学V
この記事へのコメント
図が全く見えないです
Posted by at 2022年02月05日 10:57
あー!本当ですね。
すみません。
Tex表示のURLに変更があったようです。
とりあえずこの記事の分だけ直しました。
Posted by ジュンジ at 2022年02月05日 22:27
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