2015年01月09日

【数T】データの平均値、分散、標準偏差、共分散、相関係数

新課程になってから初のセンター試験を迎えます。
せっかくなので新たに加わった単元「データの分析」
に触れておきたいと思います。

計算で求める代表的な値の求め方は次の通りです。

平均:「データ」の合計をデータ数で割った値
偏差:「データ」−「平均値」
分散:「偏差」の2乗の平均
標準偏差:√「分散」
xとyの共分散:「xの偏差×yの偏差」の平均
xとyの相関係数:「xとyの共分散」/(「xの標準偏差」×「yの標準偏差」)

ここですべてのデータにaを加えた場合、
先ほど紹介した値がどのように変わるのかを
紹介したいと思います。

すべてのデータを+aすると、
平均も+aになります。
データも平均も+aなのでその差である偏差は不変。
偏差が不変なのでそれを使って算出する分散、標準偏差も不変。
2変数xとyがあって、すべてのxを+a、すべてのyを+b倍しても
それぞれの偏差は不変なので共分散も不変です。
したがって相関係数も不変となります。

すべてのデータをa倍すると、
平均もa倍になります。
データも平均もa倍なのでその差である偏差もa倍。
分散は偏差の2乗の平均なので分散は倍になります。
標準偏差は倍された分散の平方根なのでa倍になります。
また2変数xとyがあるとき、xのすべてのデータをa倍、yのすべてのデータをb倍すると
共分散はxの偏差とyの偏差の積の平均で、それぞれの偏差はa倍とb倍になっているので
共分散はab倍になります。
したがって相関係数を計算するとき、
分母の標準偏差がそれぞれa倍とb倍になっているので分母は合わせてab倍で、
分子の共分散もab倍なので相関係数は不変となります。


まとめ

データを+aすると
・平均値:+a
・分散:変わらない
・標準偏差:変わらない
・相関係数:変わらない

データをa倍すると
・平均値:a倍
・分散:
・標準偏差:a倍
・相関係数:変わらない
posted by ジュンジ at 11:40 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T
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