2016年01月18日

【数A】センター数TAのA(2016年)

数A分野は第3問〜第5問の中から2問選択。

第3問
全問が場合の数だった去年とは違い
今年は全問が確率の問題。
問題としてはよくある袋から球を取り出す問題。
特に変わった設定はないが取った球を戻さないということには注意。
(1)は「少なくとも」ということで余事象を考えてみよう。
(2)は条件付き確率だが、条件が先に取るAさんについてなので
単にBさんが残り11個の中から白球を選ぶ確率を考えても良い。
(3)は(2)とは逆に条件付きの条件が後に取るBさんについてなので
定義通りに考えよう。
Bさんが白である確率を求める方法は誘導に従えばよいので
割と難しくはない。
難易度は易


第4問
整数の性質からの出題。
(1)は1次不定方程式。
xとyの係数が92と197で大きな数なので
ユークリッドの互除法を利用できるかどうかがポイント。
それで整数kを含む一般解を求められれば
最も0に近いxの解になるkが決定できる。
2問目は左辺は変わらず右辺が1から10に変わっただけなので
最初に解いた式の両辺を10倍して同様に解けばよい。
(2)はn進法の問題。
基本的には10進数からn進数への基数変換
逆にn進数から10進数への基数変換ができればOK。
2進数→10進数→4進数が一般的な解き方かもしれないが
情報などで2進数→16進数の変換では4桁ずつに区切って
変換する方法を知っていれば
2桁ずつに区切って2進数→4進数の変換も可能だっただろう。
最後の問題は6進数→10進数の変換だが
小数の変換は不慣れだった人もいただろう。
ただし10進数の小数に変換する必要はなく
例えば小数第1位は1/6の位のように分数に変換すればよい。
10進数で有限小数になる分数とは分母が
10の素因数である2と5、その2種類のみに素因数分解できるものである。
難易度は標準


第5問
平面図形に関する問題。
円に内接する四角形から始まる問題だが
あまり形が定まらないところが難しい。
それでも与えられた条件だけでも等しくなる角を探すのは
二等辺三角形と円周角に気づければわかる。
続く問題も「このことより」とあるので等しい角に
印を入れて行けばBDが∠Bの二等分線であることに気づけるだろうから
それを利用してAE:ECがわかる。
次も誘導があり、三角形と直線から考え付くのはメネラウスの定理である。
ただしメネラウスの定理を使う場面が理解できていることが必要。
(1)は問題文からだけでは何を使うかわかりにくいが
ここまでのことは(1)にもこの後の(2)にも使えるので
AE:ECやDC:CGの比を図に書き込んでおくと良い。
ただしあらかじめ書かれている図は
(1)での直線ABが点Gを通るという図にはなっていないので
書き直す必要があるが、無理やり曲げて書いても構わないレベル(笑)
そしてBGを含む直線AG、比がわかっている線分を含む
直線AD、直線AC、直線DG。
これらでできる三角形に注目すると
△AGDに関してチェバの定理か
△AGCと直線BDに関してメネラウスの定理
を使えばBGが求まる。
そしてDCを求めるに当たっては
これも問題文からは分かりにくいが
これは方べきの定理を使うための誘導である。
方べきの定理は二直線の交点から
それぞれの直線と円との共有点までの距離の積が等しい
という定理であるので
「直線ABと直線DCがGで交わる」→二直線の交点がG
「4点A、B、C、Dは同一円周上にある」→円との共有点がその4点
ということに気づきたいところ。
(2)は四角形ABCDの外接円が最小になる場合を考える問題。
今回は四角形で定まっているのがAB=4とBC=2である。
DA=DCもあるが長さは定まっておらず変えることができる。
そして角度に関しては何も決まっていないので
絞り込みにくい。
そこで基本に戻って考える。
長さが決まっている辺で最も長いものが4であり
これは必ず円の弦として存在することになる。
外接円が最も小さくなるのはこの弦が最も長い弦となるとき。
つまり長さ4のABが直径となる円を考えればよい。
これが「ケ」の答えであり、このとき半径は2となる。
この2はBCと同じ長さになる。
この円の中心をOとすると
OB=BC=OC=2より△OBCは正三角形となる。
よって∠ABC=60°、∠ACB=90°より∠BAC=30°。
またこのとき∠ADC=180°−60°=120°で
DA=DCより∠DAC=30°なので△AODも一辺が2の正三角形で、
四角形ABCDは等脚台形となる。
よってDC//ABより△EAB∽△ECD、△EHB∽△EGD
そしてGC:DG=1:3よりHA:HBも1:3となるので
AH:AB=1:2。
AB=4なのでAH=2。
最後は△ABDと直線HEに関してのメネラウスの定理でも出せる。
難易度はやや難


第3問の確率、第4問の整数の性質に比べて
第5問の図形の性質は難しかったと思います。
数TA全体としては去年よりはやや難化。
各問の難易度や配点から個人的に予想すると
平均点は54点前後かなあと思います。



【数T】センター数TAのT(2016年)
【数A】センター数TAのA(2016年)
【数U】センター数UBのU(2016年)
【数B】センター数UBのB(2016年)
posted by ジュンジ at 02:46 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学A
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