2008年12月25日

【数B】フィボナッチ数列

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、…

この数列の法則は知らない人でも
しばらく眺めてたらわかると思います。

前2つの項を足して次の項を作ってます。
漸化式を使ってその関係を書くと

 an+2=an+1+an

という関係になります。
これに

 a1=a2=1

という最初の2項を与えれば数列ができます。
この漸化式は等差数列、等比数列、階差数列の漸化式と
少し異なります。
等差数列などの場合は隣り合う2つの項の関係式でしたが
この漸化式は連続する3つの項の関係式になっています。
このような場合、隣接三項間漸化式といいます。

そして今あげた例の数列を特に
「フィボナッチ数列」
といいます。

この数列は自然界の中に多く見られるそうで、
植物の葉っぱのつき方やひまわりの種の並び方などが
フィボナッチ数列と関連があるそうですが
詳しくは知らないので各自で調べてください(^_^;)

フィボナッチ数列の時は一般項をanと書かず、
Fnと書くことが多いのでここでもそう書くことにします。


  Fn+2=Fn+1+Fn 、 F1=F2=1

さて、今回の本題はこのフィボナッチ数列の一般項Fnです。

求め方は後述しますが、結果は


 Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]


という式になります。
フィボナッチ数列は整数の足し算で次の項が出てくるので
当然整数しか出てこないのに、
それを一般項で表すと無理数の√5が入るんです!

それがなにか?

と言われたらそれまでですが(^_^;)
整数を求めるために無理数まで使わないと表せないってのが
すごいと思いません?
ちなみにここに出てきた (1+√5)/2 というのは
名前は有名だと思いますが「黄金比」ってやつです。
そんな数が関連してるとなると
フィボナッチ数列が自然界に関連深いことも
すこしうなづけます(^^)
フィボナッチ数列はどんどん先まで進めていくと
隣接する2項の比が黄金比に近づくそうです。

ちなみに3次方程式の解の公式ってのもあるんですが
これも似たような話で、実数解を求めるだけでも
公式を作るには虚数iが必要になるんです。

結局、何が言いたいのかというと

 あることを扱うには一段階上のことまで知ってなきゃ
 扱えないこともある

ということです。









ではフィボナッチ数列の一般項の求め方を説明します。
いきなりですが Fn+2=Fn+1+Fn という式は

Fn+2−(1−√5)/2 Fn+1=(1+√5)/2 (Fn+1−(1−√5)/2 Fn)

と書き換えられます。
どこから (1−√5)/2 や (1+√5)/2 という数値が出てきたんだ?
という意見はもっともだと思いますが、
あとで説明しますのでまずは
この式を整理するとちゃんともとの式と一致することを
確認してください。

次になぜこんな書き換えをしたのかという理由を言います。

 Fn+1−(1−√5)/2 Fn=bn

とおくと、この式は

 bn+1=(1+√5)/2 bn

と書くことができ、項比が (1+√5)/2 の等比数列として
扱うことができるからです。

そこまでわかったら最初の式変形のやり方を覚えましょう。

Fn+2をx^2、Fn+1をx^1、Fnをx^0とおくと
x^2=x+1
これを解くとx=(1±√5)/2 になります。
この2つの解を

 Fn+2−○Fn+1=●(Fn+1−○Fn)

の○と●にあてはめればできあがりです(^^)
この方法はフィボナッチ数列に限らず
一般的に隣接三項漸化式で使うことができます。
2つの解のうちどちらを○に入れなければいけない
ということはなく好きな方を入れてやればいいですが、
必ず○と○のところには同じ解を入れ、
もう1つの解を●に入れて下さい。

なので今回の問題では

Fn+2−(1−√5)/2 Fn+1=(1+√5)/2 (Fn+1−(1−√5)/2 Fn)
Fn+2−(1+√5)/2 Fn+1=(1−√5)/2 (Fn+1−(1+√5)/2 Fn)

の2通りの式変形が可能です。
続きは上の式についてです。

先ほどのbnを使った式に戻ると

 bn+1=(1+√5)/2 bn

は項比が (1+√5)/2 の等比数列なので初項を求めれば
一般項bnが求まります。

 b1
 =F2−(1−√5)/2 F1
 =1−(1−√5)/2
 =(1+√5)/2

よって

 bn=(1+√5)/2・{(1+√5)/2}^(n−1)
  ={(1+√5)/2}^n

ここから Fn+1−(1−√5)/2 Fn=bn という漸化式を
解いても解けますが計算が面倒なので
それとは違う方法でいきましょう。

先ほどの2種類の式変形のうちの今度は下の式でも
今と同じことをやります。

 Fn+1−(1+√5)/2 Fn=cn

とおくと

 cn+1=(1−√5)/2 cn

同様に続けると

 cn={(1−√5)/2}^n

ここでまとめると

 Fn+1−(1−√5)/2 Fn=bn
 Fn+1−(1+√5)/2 Fn=cn

求めたbn、cnを代入すると

 Fn+1−(1−√5)/2 Fn={(1+√5)/2}^n
 Fn+1−(1+√5)/2 Fn={(1−√5)/2}^n

上の式−下の式 をするとFn+1が消去できます。

 √5Fn={(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n

よって

 Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]
posted by ジュンジ at 13:17 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B
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