2009年05月27日

【数V】分数関数の漸近線

y=ax+bタイプの漸近線の求め方を調べていたら
こんなふうに載っていた。


 

 ならば y=ax+b は漸近線


はぁ?
そのax+bの式はどこから出てくるんだ?!

と思ったわけですよ。
このax+bを求めたいのに、
その式自体が公式に入ってるとはどういうことだ?!
この式はあくまでもax+bが求まった後に
これは間違いなく漸近線ですよと証明するための式であって
漸近線を求めるための式ではない!

そこでこのlimの式の意味を考えてみた。
xが十分に大きい時、f(x)-(ax+b)=0ということは


 f(x)=ax+b


ということであり、最終的にy=f(x)というグラフは
y=ax+bとほぼ同じになる。

だから y=ax+b が漸近線なのだ、と。

じゃあ、このどこからともなく沸いてきたax+bが
このlimの式の中になかったら??


ここで具体的な例を考えてみよう。


 


というグラフの漸近線を考えるとする。
x→∞となるときこの右辺のうち1/xは0に近づくので
無視できるようになる。(x→−∞の時も同様)
ということは  というグラフは
xが十分大きい時は1/xが無視できて


 


というグラフとほぼ一致する。
つまりy=xが漸近線ということになる。

まとめるとx→∞にした時に無視できるところを消去したものが
漸近線ということになる。

ここまでわかったら


 


となるax+bの探し方もわかってくる。
これ、つまりは

「f(x)の式の中にはx→∞のときに無視できる部分と
 無視できない部分(←コレが漸近線)があるけど、
 その無視できない部分を引いてやると、
 無視できる部分だけが残るから、
 それをlimで∞に飛ばすと0になるよ」

ということを言っている。
だったら

f(x)をx→∞のときに
無視できる部分と
無視できない部分
に分けることをしてやらないといけない。




===【まとめ】==============

そこで分数関数の場合は
割り算をして商と余りを求め、


 (商)+( 余り / 分母 )


とする必要が出てくる。
コレを詳しく見ると必ず


 (1次以下の式)+(分子が分母より低次数の分数式)


となっていて、これがそのまま


 (無視できない部分)+(無視できる部分)


となり、前の無視できない部分が
漸近線にあたる。


簡単に言うと


 分数関数の漸近線は 分子 ÷ 分母 の「商」である。


と分母=0となるx=aも漸近線だということもわすれずに。

===========================



ここで前の部分が「1次以下の式」と決まっているのはなぜか?
今考えている漸近線が「斜めの『直線』」だからである。
(※正確には斜めの直線と横軸に平行な直線)
直線である限りは1次以下にならざるを得ない。
そこが2次式になっていたら
漸近線が放物線になるということになる。




つづく
posted by ジュンジ at 02:18 | Comment(16) | TrackBack(0) | 数学V
この記事へのコメント
ax+bをどうやって求めたのか、疑問に思ってたので、すっきりしました!!わかりやすい説明感謝してます♪
Posted by いずみーる at 2011年11月23日 22:23
いずみーるさん、コメントありがとうございます。
どういたしまして(^^)
わかってもらえると、うれしいです!
Posted by ジュンジ at 2011年11月24日 00:10
拝見させて頂きました!

僕が疑問に思っていたところを解説していただいてとても助かりました。
わかりやすかったです!

ありがとうございました!
Posted by まつたけ at 2012年06月18日 20:43
> まつたけさん
ブログを読んでいただき、コメントを残してくださって
ありがとうございます(^^)

今後も数学の勉強をがんばってください!
Posted by ジュンジ at 2012年06月18日 23:21
数学Vの教科書に載っていなかったので、わかりやすく説明してくれて助かりました(^o^)

ありがとうございました。
Posted by 太郎山 at 2012年11月07日 21:29
>太郎山さん
どういたしまして(^o^)
僕も高校生のときはなぜなのかわからず
モヤモヤしてました(^^;
Posted by ジュンジ at 2012年11月08日 23:22
今日初めてこのブログをみました。

どのサイトも公式の説明が訳わからなくて、理解できる説明を探し続けた結果
このブログに辿り着いて、説明を読んでいると分かりやすく、とても感謝してますm(_ _)m

数学で分からないところがあったら、このブログを参考にさせて頂いても宜しいでしょうか??
Posted by たこやき☆ at 2014年01月31日 19:55
たこやき☆さんコメントありがとうございます!
勉強の手助けになれて嬉しいです(^^)
はい、よかったら参考にしてやってください。
Posted by ジュンジ at 2014年02月01日 00:20
教科書や参考書の解説見ても小難しくてわからなかったけど
ここでやっと理解できました(TT)
わかりやすい説明ありがとうございましたm(__)m
Posted by 舞矢 at 2014年03月14日 04:56
舞矢さん、コメントありがとうございます!
お役に立ててよかったです(^^)
これからもがんばってくださいね(^o^)

(すいません、長い間お名前に「さん」を付け忘れていました。ミスとは言え、大変失礼いたしましたm(_ _)m )
Posted by ジュンジ at 2014年03月14日 11:26
非常にわかりやすいです!ありがとうございます!
Posted by アンナ at 2014年06月01日 13:40
アンナさんコメントありがとうございます。
いえいえ、お役に立ててよかったです!
Posted by ジュンジ at 2014年06月02日 01:05
なんてわかりやすいんでしょうか(´;ω;`)

感動しました(´;ω;`)
Posted by おかゆ at 2014年08月11日 20:50
おかゆさん、コメントありがとうございます。
感動していただけて、恐縮です(^^;
でもそう言っていただけてうれしいです(*^^*)
Posted by ジュンジ at 2014年08月11日 23:33
いやぁ、ここにきてようやく理解できました!
感謝します。
Posted by 現役から離れてはや15年 at 2016年07月23日 10:10
お返事遅くなりましたが、ありがとうございます!!
Posted by ジュンジ at 2016年07月30日 11:03
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