2009年05月27日

【数V】ax+bという漸近線の求め方

※コレは3連続記事のうちの3つ目です。
前の記事を読んでない人は最初から読むことをお勧めします。
1つ目の記事
2つ目の記事
※2011/6/11にもうひとつ記事が追加されました。
4つ目の記事 【数V】logを含む関数の漸近線

y=f(x)の漸近線の求め方を先に書いておこう。
ちなみにここで言う漸近線とは「直線」であり、
漸近線を求めることはその直線y=ax+bの
傾きaと切片bを求めることである。


@傾きを求める

 

 で出てくる値が傾きである。
 またそれをaとする。


A切片を求める
 @で求めたaを使い、

 

 で出てくる値が切片bである。


コレでグラフの右側の漸近線が求まった。
左側の漸近線も同様に

 



 

を計算することで求まる。







さて、なぜコレで漸近線が求まるのか
詳しく考えてみましょう。

まずその前提として最初に書いたように
今回求める漸近線は曲線やx=aのように縦軸に平行な線
ではない
というのはわかっておいてください。
ということで今回求めるのはax+bの漸近線。

漸近線というのはだんだんその線に限りなく近づいていく
という線ですね。
グラフの式がどのような時にそのような直線が存在するのか?
それがわからなければ常に
「漸近線はあるの?ないの?あったらどんなの?」
という不安が付きまとうことになります。
なのでまずは
「どのような式のときに漸近線を考える必要があるのか」
を考えましょう。

x→±∞のときにグラフの式が1次式以下として見れる場合、
これは最終的にその1次式以下のグラフに近づくので
漸近線があります。
逆にx→±∞のときにグラフの式が2次式以上として見れる場合、
これは結局は直線の式(1次式以下)に近づかないので
直線の漸近線はありません。


つまり


 もともと次数が1次以下の式でないと直線の漸近線はない


ということになります。
ただ

 

のような式でも整理すれば最高次数は1次になるので要注意!

例として前々回前回の記事の例を振り返って見ると

 

 と

 

はどちらも1次式になってます。



具体的に見てみると

 

のxは1次式、1/xは−1次式。
よって全体としては1次式。




 

のxは1次式、も2次式の1/2乗なので1次式。
よって全体としては1次式。

ということでどちらも漸近線アリです。


x→±∞のとき
これらの式では1次の項だけが重要になり、
その他は無視できることになります。
漸近線の傾きを求めたいのであれば
この無視できない「1次の項の係数」が
漸近線の傾きに他ならないので
グラフの式をxで割ってx→±∞にlimすれば
それが求まる
ということになります。
なので@の計算というわけです。

それでは切片は?

今までグラフの式には
「無視できない部分」と「無視できる部分」がある
と説明してきましたが
この「無視できない部分」は漸近線の式なので
「無視できない部分」=「ax」+「b」
に分けることができます。
よってグラフの式は
「ax」+「b」+「無視できる部分」
に分けることができます。
このうち「無視できる部分」を消すための操作がlimでした。
じゃあ、切片「b」を求めたいのであれば「ax」の部分も
消さなければいけません。そこでAの計算。


 


となるわけです。
{f(x)-ax}は「b」+「無視できる部分」。
これをlimすることで「b」だけが残るということです。








以上で漸近線についての説明は終わりです。
文章ばかりでの説明なのでわかりにくかったと思いますが、
わかっていただけたのならうれしいです(^^)

■追加記事
4つ目の記事 【数V】logを含む関数の漸近線
posted by ジュンジ at 03:18 | Comment(24) | TrackBack(0) | 数学V
この記事へのコメント
今まで疑問に思ってたことが解消できました!!ほんとに感謝です。
Posted by かず at 2009年06月17日 23:55
かずさん、コメントありがとうございます!
返事がずいぶん遅れてしまいましたが、
わかっていただけてうれしいです(^^)
勉強がんばってください!!
Posted by ジュンジ at 2009年07月09日 13:16
通りすがりですが読ませていただきました。大変わかりやすい内容でax+b型の漸近線に対する理解が深まりました。ブックマークに追加するとともに他の記事も読ませていただきます。古い記事のコメント欄ではありますが、今後とも頑張ってください。ありがとうございました。
Posted by 通りすがり at 2010年12月18日 06:29
ブックマーク、ありがとうございます!
はい、これからもがんばります!!
Posted by ジュンジ at 2010年12月18日 22:39
この記事すげーw
ほんと助かりました!!
Posted by 受験生 at 2011年02月03日 12:48
どういたしまして!
お役に立ててうれしいです(^^)
受験がんばってください!!
Posted by ジュンジ at 2011年02月03日 14:33
数学に対する深い考察に感動しました。
そして、記事を読ませていただきありがとうございます。
Posted by 漸近線 at 2011年03月11日 00:36
コメントありがとうございます(^^)

ちょっとしたことでも考え込んでみると
結果的に楽しかったりします♪
もちろん、結局わからない場合は
イラっとするんですが(笑)
Posted by ジュンジ at 2011年03月11日 00:48
下手な参考書より断然分かりやすかったです♪───O(≧∇≦)O────♪

ありがとうございました(^O^)/

家庭教師頼みたいくらいです(^O^)/笑

Posted by 翼 at 2011年05月31日 16:15
翼さん、コメントありがとうございます!
わかりやすいと言っていただけてうれしいです。
家庭教師は無理ですが、何か質問があったら
このブログで質問してください(^^)
Posted by ジュンジ at 2011年05月31日 20:40

深い考察力とわかりやすい説明に圧倒されました。
Posted by 太郎 at 2011年12月20日 03:53
太朗さん、コメントありがとうございます(^^)
この記事が理解の手助けになったみたいで
うれしいです!
Posted by ジュンジ at 2011年12月20日 13:54
いままで全ッ然分からなかった漸化式が
この記事を読んでスッと分かりました!
ほんとにありがとうございます!

漸化式が分からなくてこのブログにたどり着いたので
これから他の記事も熟読させていただきたいと思います!
Posted by そら at 2013年03月26日 00:28
そらさんコメントありがとうございます!
この記事に対して久々のコメントでうれしいです!
これからも数学がんばってくださいね(^^)

※「漸化式」ではなく「漸近線」の入力ミスですよね?(^^;
Posted by ジュンジ at 2013年03月26日 00:44
漸化式ではなく
漸近線でした((((;゚Д゚)))))))
興奮しすぎて間違えてしまいました笑
Posted by そら at 2013年04月04日 14:03
やっぱりそうでしたか(^^)
ドンマイです!(笑)
Posted by ジュンジ at 2013年04月04日 15:45
学校の先生は詳しく説明してくれませんでしたが、とてもわかりやすい誤魔化しの無い説明だと思いました。

 素晴らしいと思います。
Posted by オセイオズ at 2013年11月30日 21:06
オセイオズさん、コメントありがとうございます。
わかっていただけてうれしいです!
Posted by ジュンジ at 2013年12月01日 17:47
>はぁ?
>そのax+bの式はどこから出てくるんだ?!
まさに僕の思っていたことです!
わかりやすい説明で疑問が氷解いたしました。感謝です。
Posted by YO at 2013年12月06日 07:42
YOさんコメントありがとうございます。
やっぱり思いますよね!
僕も高校で習った時、意味がわかりませんでしたよ(笑)
Posted by ジュンジ at 2013年12月06日 11:00
漸近線は現役で無視してたんですが、基礎から詰めていこうと思って調べてここへやって来ました!
わかりやすくて、助かりました!
忘れないようによく復習します。
他の記事も熟読します。
ありがとうございました!
Posted by TK at 2014年06月14日 19:32
TKさん、コメントありがとうございます。
この説明でわかってもらえてうれしいです!
Posted by ジュンジ at 2014年06月15日 01:16
y=x+√(1-x^2 )

これをx→∞、x→-∞にしたときの

y/xってどうなるでしょうか。

虚数が出てきそうなのですが、極限が虚数になってもいいですか?

Posted by とむお at 2017年03月31日 16:02
とむおさん、コメントありがとうございます。
返事が遅くなってしまって申し訳ありません!

ご質問の関数の場合、そもそも定義域が
-1≦x≦1
となるのでx→±∞は考えなくてもいいと思います。
Posted by ジュンジ at 2017年04月01日 17:36
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