前の記事を読んでない人は最初から読むことをお勧めします。
1つ目の記事
2つ目の記事
※2011/6/11にもうひとつ記事が追加されました。
4つ目の記事 【数V】logを含む関数の漸近線
y=f(x)の漸近線の求め方を先に書いておこう。
ちなみにここで言う漸近線とは「直線」であり、
漸近線を求めることはその直線y=ax+bの
傾きaと切片bを求めることである。
@傾きを求める
で出てくる値が傾きである。
またそれをaとする。
A切片を求める
@で求めたaを使い、
で出てくる値が切片bである。
コレでグラフの右側の漸近線が求まった。
左側の漸近線も同様に
と
を計算することで求まる。
さて、なぜコレで漸近線が求まるのか
詳しく考えてみましょう。
まずその前提として最初に書いたように
今回求める漸近線は曲線やx=aのように縦軸に平行な線
ではない
というのはわかっておいてください。
ということで今回求めるのはax+bの漸近線。
漸近線というのはだんだんその線に限りなく近づいていく
という線ですね。
グラフの式がどのような時にそのような直線が存在するのか?
それがわからなければ常に
「漸近線はあるの?ないの?あったらどんなの?」
という不安が付きまとうことになります。
なのでまずは
「どのような式のときに漸近線を考える必要があるのか」
を考えましょう。
x→±∞のときにグラフの式が1次式以下として見れる場合、
これは最終的にその1次式以下のグラフに近づくので
漸近線があります。
逆にx→±∞のときにグラフの式が2次式以上として見れる場合、
これは結局は直線の式(1次式以下)に近づかないので
直線の漸近線はありません。
つまり
もともと次数が1次以下の式でないと直線の漸近線はない
ということになります。
ただ
のような式でも整理すれば最高次数は1次になるので要注意!
例として前々回と前回の記事の例を振り返って見ると
と
はどちらも1次式になってます。
具体的に見てみると
のxは1次式、1/xは−1次式。
よって全体としては1次式。
のxは1次式、
よって全体としては1次式。
ということでどちらも漸近線アリです。
x→±∞のとき
これらの式では1次の項だけが重要になり、
その他は無視できることになります。
漸近線の傾きを求めたいのであれば
この無視できない「1次の項の係数」が
漸近線の傾きに他ならないので
グラフの式をxで割ってx→±∞にlimすれば
それが求まる
ということになります。
なので@の計算というわけです。
それでは切片は?
今までグラフの式には
「無視できない部分」と「無視できる部分」がある
と説明してきましたが
この「無視できない部分」は漸近線の式なので
「無視できない部分」=「ax」+「b」
に分けることができます。
よってグラフの式は
「ax」+「b」+「無視できる部分」
に分けることができます。
このうち「無視できる部分」を消すための操作がlimでした。
じゃあ、切片「b」を求めたいのであれば「ax」の部分も
消さなければいけません。そこでAの計算。
となるわけです。
{f(x)-ax}は「b」+「無視できる部分」。
これをlimすることで「b」だけが残るということです。
以上で漸近線についての説明は終わりです。
文章ばかりでの説明なのでわかりにくかったと思いますが、
わかっていただけたのならうれしいです(^^)
■追加記事
4つ目の記事 【数V】logを含む関数の漸近線
返事がずいぶん遅れてしまいましたが、
わかっていただけてうれしいです(^^)
勉強がんばってください!!
はい、これからもがんばります!!
ほんと助かりました!!
お役に立ててうれしいです(^^)
受験がんばってください!!
そして、記事を読ませていただきありがとうございます。
ちょっとしたことでも考え込んでみると
結果的に楽しかったりします♪
もちろん、結局わからない場合は
イラっとするんですが(笑)
ありがとうございました(^O^)/
家庭教師頼みたいくらいです(^O^)/笑
わかりやすいと言っていただけてうれしいです。
家庭教師は無理ですが、何か質問があったら
このブログで質問してください(^^)
深い考察力とわかりやすい説明に圧倒されました。
この記事が理解の手助けになったみたいで
うれしいです!
この記事を読んでスッと分かりました!
ほんとにありがとうございます!
漸化式が分からなくてこのブログにたどり着いたので
これから他の記事も熟読させていただきたいと思います!
この記事に対して久々のコメントでうれしいです!
これからも数学がんばってくださいね(^^)
※「漸化式」ではなく「漸近線」の入力ミスですよね?(^^;
漸近線でした((((;゚Д゚)))))))
興奮しすぎて間違えてしまいました笑
ドンマイです!(笑)
素晴らしいと思います。
わかっていただけてうれしいです!
>そのax+bの式はどこから出てくるんだ?!
まさに僕の思っていたことです!
わかりやすい説明で疑問が氷解いたしました。感謝です。
やっぱり思いますよね!
僕も高校で習った時、意味がわかりませんでしたよ(笑)
わかりやすくて、助かりました!
忘れないようによく復習します。
他の記事も熟読します。
ありがとうございました!
この説明でわかってもらえてうれしいです!
これをx→∞、x→-∞にしたときの
y/xってどうなるでしょうか。
虚数が出てきそうなのですが、極限が虚数になってもいいですか?
返事が遅くなってしまって申し訳ありません!
ご質問の関数の場合、そもそも定義域が
-1≦x≦1
となるのでx→±∞は考えなくてもいいと思います。
>Atsushi2965さん
返信が大変遅くなってしまいましたが
コメントありがとうございます!
もう数年は更新していないブログですが
こうして見ていただけていてとても嬉しいです(^^)