【数�V】ax+bという漸近線の求め方

※コレは3連続記事のうちの3つ目です。
前の記事を読んでない人は最初から読むことをお勧めします。
1つ目の記事
2つ目の記事
※2011/6/11にもうひとつ記事が追加されました。
4つ目の記事　【数�V】logを含む関数の漸近線

y=f(x)の漸近線の求め方を先に書いておこう。
ちなみにここで言う漸近線とは「直線」であり、
漸近線を求めることはその直線y=ax+bの
傾きaと切片bを求めることである。


�@傾きを求める

　

　で出てくる値が傾きである。
　またそれをaとする。


�A切片を求める
　�@で求めたaを使い、

　

　で出てくる値が切片bである。


コレでグラフの右側の漸近線が求まった。
左側の漸近線も同様に

　

と

　

を計算することで求まる。







さて、なぜコレで漸近線が求まるのか
詳しく考えてみましょう。

まずその前提として最初に書いたように
今回求める漸近線は曲線やx=aのように縦軸に平行な線
ではない
というのはわかっておいてください。
ということで今回求めるのはax+bの漸近線。

漸近線というのはだんだんその線に限りなく近づいていく
という線ですね。
グラフの式がどのような時にそのような直線が存在するのか？
それがわからなければ常に
「漸近線はあるの？ないの？あったらどんなの？」
という不安が付きまとうことになります。
なのでまずは
「どのような式のときに漸近線を考える必要があるのか」
を考えましょう。

x→±∞のときにグラフの式が1次式以下として見れる場合、
これは最終的にその1次式以下のグラフに近づくので
漸近線があります。
逆にx→±∞のときにグラフの式が2次式以上として見れる場合、
これは結局は直線の式（1次式以下）に近づかないので
直線の漸近線はありません。


つまり


　もともと次数が1次以下の式でないと直線の漸近線はない


ということになります。
ただ

　

のような式でも整理すれば最高次数は1次になるので要注意！

例として前々回と前回の記事の例を振り返って見ると

　

　と

　

はどちらも1次式になってます。



具体的に見てみると

　

のxは1次式、1/xは−1次式。
よって全体としては1次式。




　

のxは1次式、も2次式の1/2乗なので1次式。
よって全体としては1次式。

ということでどちらも漸近線アリです。


x→±∞のとき
これらの式では1次の項だけが重要になり、
その他は無視できることになります。
漸近線の傾きを求めたいのであれば
この無視できない「1次の項の係数」が
漸近線の傾きに他ならないので
グラフの式をxで割ってx→±∞にlimすれば
それが求まる
ということになります。
なので�@の計算というわけです。

それでは切片は？

今までグラフの式には
「無視できない部分」と「無視できる部分」がある
と説明してきましたが
この「無視できない部分」は漸近線の式なので
「無視できない部分」＝「ax」＋「b」
に分けることができます。
よってグラフの式は
「ax」＋「b」＋「無視できる部分」
に分けることができます。
このうち「無視できる部分」を消すための操作がlimでした。
じゃあ、切片「b」を求めたいのであれば「ax」の部分も
消さなければいけません。そこで�Aの計算。


　


となるわけです。
{f(x)-ax}は「b」＋「無視できる部分」。
これをlimすることで「b」だけが残るということです。








以上で漸近線についての説明は終わりです。
文章ばかりでの説明なのでわかりにくかったと思いますが、
わかっていただけたのならうれしいです(^^)

■追加記事
4つ目の記事　【数�V】logを含む関数の漸近線

Comments

今まで疑問に思ってたことが解消できました!!ほんとに感謝です。

Posted by かず at 2009年06月17日 23:55

かずさん、コメントありがとうございます！
返事がずいぶん遅れてしまいましたが、
わかっていただけてうれしいです(^^)
勉強がんばってください！！

Posted by ジュンジ at 2009年07月09日 13:16

通りすがりですが読ませていただきました。大変わかりやすい内容でax+b型の漸近線に対する理解が深まりました。ブックマークに追加するとともに他の記事も読ませていただきます。古い記事のコメント欄ではありますが、今後とも頑張ってください。ありがとうございました。

Posted by 通りすがり at 2010年12月18日 06:29

ブックマーク、ありがとうございます！
はい、これからもがんばります！！

Posted by ジュンジ at 2010年12月18日 22:39

この記事すげーｗ
ほんと助かりました!!

Posted by 受験生 at 2011年02月03日 12:48

どういたしまして！
お役に立ててうれしいです(^^)
受験がんばってください！！

Posted by ジュンジ at 2011年02月03日 14:33

数学に対する深い考察に感動しました。
そして、記事を読ませていただきありがとうございます。

Posted by 漸近線 at 2011年03月11日 00:36

コメントありがとうございます(^^)

ちょっとしたことでも考え込んでみると
結果的に楽しかったりします♪
もちろん、結局わからない場合は
イラっとするんですが（笑）

Posted by ジュンジ at 2011年03月11日 00:48

下手な参考書より断然分かりやすかったです♪───Ｏ（≧∇≦）Ｏ────♪

ありがとうございました(^O^)／

家庭教師頼みたいくらいです(^O^)／笑

Posted by 翼 at 2011年05月31日 16:15

翼さん、コメントありがとうございます！
わかりやすいと言っていただけてうれしいです。
家庭教師は無理ですが、何か質問があったら
このブログで質問してください(^^)

Posted by ジュンジ at 2011年05月31日 20:40

深い考察力とわかりやすい説明に圧倒されました。

Posted by 太郎 at 2011年12月20日 03:53

太朗さん、コメントありがとうございます(^^)
この記事が理解の手助けになったみたいで
うれしいです！

Posted by ジュンジ at 2011年12月20日 13:54

いままで全ッ然分からなかった漸化式が
この記事を読んでスッと分かりました！
ほんとにありがとうございます！

漸化式が分からなくてこのブログにたどり着いたので
これから他の記事も熟読させていただきたいと思います！

Posted by そら at 2013年03月26日 00:28

そらさんコメントありがとうございます！
この記事に対して久々のコメントでうれしいです！
これからも数学がんばってくださいね(^^)

※「漸化式」ではなく「漸近線」の入力ミスですよね？(^^;

Posted by ジュンジ at 2013年03月26日 00:44

漸化式ではなく
漸近線でした((((；ﾟДﾟ)))))))
興奮しすぎて間違えてしまいました笑

Posted by そら at 2013年04月04日 14:03

やっぱりそうでしたか(^^)
ドンマイです！(笑)

Posted by ジュンジ at 2013年04月04日 15:45

学校の先生は詳しく説明してくれませんでしたが、とてもわかりやすい誤魔化しの無い説明だと思いました。

　素晴らしいと思います。

Posted by オセイオズ at 2013年11月30日 21:06

オセイオズさん、コメントありがとうございます。
わかっていただけてうれしいです！

Posted by ジュンジ at 2013年12月01日 17:47

>はぁ？
>そのax+bの式はどこから出てくるんだ？！
まさに僕の思っていたことです！
わかりやすい説明で疑問が氷解いたしました。感謝です。

Posted by YO at 2013年12月06日 07:42

YOさんコメントありがとうございます。
やっぱり思いますよね！
僕も高校で習った時、意味がわかりませんでしたよ(笑)

Posted by ジュンジ at 2013年12月06日 11:00

漸近線は現役で無視してたんですが、基礎から詰めていこうと思って調べてここへやって来ました！
わかりやすくて、助かりました！
忘れないようによく復習します。
他の記事も熟読します。
ありがとうございました!

Posted by TK at 2014年06月14日 19:32

TKさん、コメントありがとうございます。
この説明でわかってもらえてうれしいです！

Posted by ジュンジ at 2014年06月15日 01:16

y=x＋√(1-x^2 )

これをx→∞、x→-∞にしたときの

y/xってどうなるでしょうか。

虚数が出てきそうなのですが、極限が虚数になってもいいですか？

Posted by とむお at 2017年03月31日 16:02

とむおさん、コメントありがとうございます。
返事が遅くなってしまって申し訳ありません！

ご質問の関数の場合、そもそも定義域が
-1≦x≦1
となるのでx→±∞は考えなくてもいいと思います。

Posted by ジュンジ at 2017年04月01日 17:36

永きに渡って愛されるブログ､素晴らしいですね｡

Posted by Atsushi2965 at 2021年04月29日 19:08

>Atsushi2965さん


返信が大変遅くなってしまいましたが
コメントありがとうございます！
もう数年は更新していないブログですが
こうして見ていただけていてとても嬉しいです(^^)

Posted by ジュンジ at 2021年07月31日 10:52