2009年09月10日

【中3数学】展開と因数分解の答えのまとめ方

K.Nさんからの質問です。

Q.因数分解での並べ方(順番)がイマイチわかりません。順番が違っていると、解答はバツになるのでしょうか?
ちなみに、展開も並べ方(順番)がイマイチわかりません。


A.因数分解において答えは
(x-3)(x+4) でも
(x+4)(x-3) でもかまいません。

展開においても
x^2+y^2+2xy-1 でも
x^2+2xy+y^2-1 でもかまいません。

これは中1で習う「交換法則」が成り立つからです。
この法則は小学生の算数から使ってきているものです。
例えば
2×5
という計算は2と5を入れ替えて
5×2
としても値が変わらないという性質です。
同様に
2+4 と 4+2 も入れ替えてもOKです。
しかし引き算と割り算では成り立たないのは明らかです。
1−2 と 2−1 では計算結果が異なってしまうし
2÷4 と 4÷2 では計算結果が異なってしまいます。

すなわち足し算と掛け算ではこの「交換法則」が成り立ちます。

ただし引き算は「マイナスの数を足す」と考えれば
1+(-2) と -2+1 は計算結果が同じです。
また割り算は「逆数の掛け算」と考えれば
2÷4 は 2×1/4 と同じです。
2×1/4 と 1/4×1 は計算結果が同じです。

このような考え方ができるおかげで
引き算や割り算でも「交換法則」と「結合法則」を
使える形に持っていけるようになります。

このように交換法則が成り立つので

(x-3)(x+4) と (x+4)(x-3) は同じ。
x^2+y^2+2xy-1 と x^2+2xy+y^2-1 は同じ。

ということになります。



ただし x^2+y^2+2xy-1 のような多項式は
「降べきの順」に並べるのが数学の流儀です。

「降べきの順」とは
次数の高い項から順番に並べる方法で
多項式の整理の仕方としてはもっとも一般的です。
高1の数Tの最初に習います。

x^2+y^2+2xy-1 の場合、文字がxとyの2種類があります。
なのでどちらの文字に注目するかで
2通りの並べ方が考えられますが
普通アルファベット順で優先して
xについて注目することが多いです。
なのでxについて

2次の項 x^2
1次の項 2xy
0次の項 y^2、-1

ここで0次の項は2つあるのでこの中でも同じように
降べきの順に並べてやります。
この中では文字はyしかないのでyについて

2次の項 y^2
1次の項 なし
0次の項 -1

よって解答のように
x^2 +2xy +y^2 -1
という順になるわけです。
交換法則が成り立つので順番を変えても
不正解扱いにはなりませんが
規則性を無視した結果、美しさに欠けますし、
何よりも他人に伝える時に不親切です。
(自分で答え合わせをすると一番実感できます)

採点する人は数学のプロですから
正解だということはわかっていますが
プロだからこそ「項べきの順」に慣れすぎていて
大量の採点の中では誤ってバツにしてしまう確率を
上げてしまうことにもなりかねません。
なのでできる限り読み取りやすい美しい形で
答えることも重要です。

もっとも
数学という学問は美の追求でもあると思います。






Q.単純な因数分解は同類項どうしでまとめて解けたりできますが、複雑な式の場合のまとめる順番、どの公式を使うかの見極め、ポイント・コツなど教えてください。

A.下記の記事を参考にしてみてください。

【数T】展開と因数分解 その1
【数T】展開と因数分解 その2
【数T】展開と因数分解 その3
【数T】展開と因数分解 その4
posted by ジュンジ at 02:18 | Comment(2) | TrackBack(0) | 質問の返事
この記事へのコメント
助かりました〜
Posted by at 2020年06月09日 23:37
よかったです!
ずいぶん前のブログですが、お役に立てて嬉しいです(^^)
Posted by ジュンジ at 2020年06月13日 05:09
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