2010年01月07日

【数C】双曲線の漸近線を求めてみよう

以前、漸近線について書きました。
このブログ内で閲覧数の多さが1位か2位の人気記事ですw

【数V】分数関数の漸近線
【数V】こんなグラフの漸近線
【数V】ax+bという漸近線の求め方

そこでは分数関数と無理式を含む関数で出てくる
y=ax+bのタイプの漸近線の求め方について説明しました。

これで漸近線については完璧だと思っていましたが、
この2種類以外でy=ax+bタイプの漸近線がありました。



 双曲線 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

 これの漸近線は y = ±b/a・x


参考書を見るとたいていそう言い切ってあるだけだし、
教科書を見るとこれが漸近線であることの証明はあっても
求め方は書いてなかったので
「これは覚えるしかないのか?面倒だなぁ…」
と思ったときにふと自分で書いた漸近線の説明を思い出したので
それを使って導いてみました。

まず二次曲線なのでそれを
 y=〜
の形に直す。

 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
 - y^2/b^2 = -x^2/a^2 + 1
 y^2/b^2 = x^2/a^2 - 1
 y^2 = b^2/a^2・x^2 - b^2
 y = ±√(b^2/a^2・x^2 - b^2)
 y = ±b/a√(x^2 - a^2)

この時点でこれは無理関数に分類されますね。
さらに次数は2次式の1/2乗で1次だから
漸近線が存在しうることがわかります。

ここで【数V】ax+bという漸近線の求め方に書いた

@傾きを求める
 lim f(x)/x
 x→∞
 で出てくる値が傾きである。
 またそれをaとする。

A切片を求める
 @で求めたaを使い、
 lim {f(x)-ax}
 x→∞
 で出てくる値が切片bである。

を実行する。
まず@
 lim f(x)/x
 x→∞
     ±b/a√(x^2 - a^2)
 lim -----------------------
 x→∞     x

 分母・分子をxで割って

      ±b/a√(x^2/x^2 - a^2/x^2)
 =lim -----------------------------
  x→∞     x/x


      ±b/a√(1 - a^2/x^2)
 =lim -----------------------
  x→∞     1

 limを実行すると

    ±b/a√(1 - 0)
 = ------------------
      1
 = ±b/a

よって右向き(x→∞の方向)の漸近線の傾きは±b/a。

続いてAを実行。
 lim {f(x)-ax}
 x→∞

 lim ±b/a√(x^2 - a^2) - (±b/a・x)
 x→∞     

 分子を有理化

     {±b/a√(x^2 - a^2)}^2 - (±b/a・x)^2
 =lim --------------------------------------
  x→∞ ±b/a√(x^2 - a^2) + (±b/a・x)

 分子を整理

     b^2/a^2・(x^2 - a^2) - b^2/a^2・x^2
 =lim --------------------------------------
  x→∞ ±b/a√(x^2 - a^2) + (±b/a・x)

            - b^2
 =lim --------------------------------------
  x→∞ ±b/a√(x^2 - a^2) + (±b/a・x)

 分母・分子にa/bをかける

         - ab
 =lim -------------------------
  x→∞ ±√(x^2 - a^2) ± x

 分母・分子をxで割る

         - ab/x
 =lim -------------------------
  x→∞ ±√(1 - a^2/x^2) ± 1

 limを実行すると

       0
 =--------------------
   ±√(1 - 0) ± 1

     0
 =-------------
   ±1 ± 1


   0
 =------
   ±2

 =0

よって右側の漸近線の切片は0
したがって@Aの結果より右側の漸近線は

 y = ±b/a・x

である。
左側の漸近線はコレと同様に求められる。
式中に出てくるxがほとんどx^2しかないので
式を書いていくと「x→∞」が「x→-∞」に
なるだけだとわかると思います。

よって左右両側を考えた結果双曲線の漸近線は
 y = ±b/a・x
である。


最後に
 √(x^2 - a^2)
は本来なら√の中が0以上という条件付ですが
今はx→±∞で考えているので
x^2>>a^2 より正となり明らかに条件を満たす
ということで条件による場合分けは不要です。



さてもうすぐセンターですね。
受験生の皆さん、がんばってください!!
posted by ジュンジ at 04:08 | Comment(2) | TrackBack(1) | 数学C
この記事へのコメント
参考になります。
Posted by おしん at 2012年02月19日 18:58
ありがとうございます(^^)
Posted by ジュンジ at 2012年02月20日 11:19
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