2010年11月21日

【数U】センター積分のコツ

センター試験が近づいてきましたね。
そんなわけで少し役に立つ記事でも書きたいと思います。



センター数UBは個人的には全科目の中で
最も時間が足りない科目かと思います。

大問1〜4までどれもなかなかの計算量です。

そこでまずは積分における計算量を減らすコツ。
まあ多くの人が知っていることだと思いますが


 β             a(β−α)^3
 ∫a(x−α)(x−β)dx = − ------------
 α               6


f(x)とg(x)というグラフの交点のx座標がαとβで
その2つのグラフに囲まれている部分の面積
を求める時の公式です。
ポイントは積分範囲が交点から交点までということです。

この公式を使うことで積分の計算がかなり楽になります。
時間短縮の上、計算ミスの機会も減ります。
∫の中の式もx^2の係数のaだけをおさえておけば
その式の整理すら必要ありません。

だからこそこの公式は使えるようにしておかないとダメです。





他にもよくある問題としては
放物線に接線を引き、
その放物線と接線とx=kで囲まれた部分の面積
を求める時、放物線の方が上で接線の方が下にあり
接点P(t、f(t))の方がx=kより右にあるとすれば

  t
 ∫(放物線−接線)dx
  k

という式になります。
この場合先ほどの−a/6(β−α)^3の公式は使えません。
その場合は∫の中の式を展開して
普通に積分しなくてはいけないので面倒ですが
この場合、「放物線と接線は接している」ので
それらの式を連立した式は重解を持ちます。
なので∫の中の式は必ず完全平方の形
つまり

 (ax+b)^2  または  a(x+b)^2

と変形できます。
この形であれば


           1
 ∫(ax+b)^n dx = --------(ax+b)^(n+1) + C (Cは積分定数)
          a(n+1)   



という公式を使うことができ、やはり計算量を減らすことができます。
この公式自体は数Vでは置換積分すれば普通に出てくる式なので
あまり公式とは言いがたいですが、数Uまでしかやらない人にとっては
是非とも覚えておきたい公式です。
posted by ジュンジ at 00:22 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U
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