2011年03月10日

【数C】一次変換の行列 その1

一次変換のことを線型写像とも言います。
一次変換は点の移動で使われますが、

 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
 f(cx)=cf(x)

が成り立つ変換でないと一次変換とは呼びません。



具体例をいくつか挙げていきましょう。


■x軸に関して対称移動

これは座標(x、y)を(x、-y)に移動することです。
これを行列の式で

(対称移動を表す行列)×(移動前の座標)=(移動後の座標)

で表すと

 ┏ a b ┓ ┏ x ┓  ┏ x ┓
             = 
 ┗ c d ┛ ┗ y ┛  ┗ -y ┛

となります。今ここで書いた

 ┏ a b ┓

 ┗ c d ┛

という行列がこの対称移動を表す行列になり、
このa、b、c、dを求めればこの行列をかけることで
どんな点でもx軸に関して対称移動できることになります。

では先ほどの等式の左辺を計算してみると

 ┏ ax+by ┓

 ┗ cx+dy ┛

となります。これが右辺の

 ┏ x ┓

 ┗ -y ┛

と等しくなるようにa、b、c、dを決めれば良いのです。
それぞれ別々の式で書くと
 ax+by=x
 cx+dy=-y
とも書けます。
いつでもこれらが成り立つようにということで
恒等式として係数比較すると

 a=1、b=0、c=0、d=-1

となります。
よってx軸に関して対称移動を表す行列は

 ┏ 1 0 ┓

 ┗ 0 -1 ┛

ということになります。


同様に考えると

■y軸関して対称移動

 ┏ -1 0 ┓

 ┗ 0 1 ┛

■原点に関して対称移動

 ┏ -1 0 ┓

 ┗ 0 -1 ┛

などはすぐに求めることができます。
y=xに関しての対称移動は「x座標とy座標を入れ替える」と考えれば

 ┏ a b ┓ ┏ x ┓  ┏ y ┓
             = 
 ┗ c d ┛ ┗ y ┛  ┗ x ┛

であり
 ax+by=y
 cx+dy=x
なのでこれも同様に求められます。

■y=xに関して対称移動

 ┏ 0 1 ┓

 ┗ 1 0 ┛

ですが傾きが1以外の直線y=mxに関しての対称移動の行列は
こんなに簡単ではないので次回に回したいと思います(^^)



【数C】一次変換の行列 その1
【数C】一次変換の行列 その2
【数C】一次変換の行列 その3
posted by ジュンジ at 13:37 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学C
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