2011年03月10日

【数C】一次変換の行列 その2

その1ではx軸対称、y軸対称、原点対称、y=x対称
などの対称移動する行列を求めました。
【数C】一次変換の行列 その1


その2ではy=mxに関して対称移動する行列を求めてみたいと思います。



それではy=2xに関して対称移動する行列を求めていきましょう。
まずはy=2xに関して点A(x、y)と対称な点P(s、t)を求めます。

直線APとy=2xは垂直に交わるので傾きを掛けたら-1になるというところから

  t-y
 -------・2=-1
  s-x

またAPの中点を求めると

  x+s   y+t
 ------- -------
   2  、 2

であり、この中点はy=2x上にあるのでそれぞれxとyに代入して

  y+t      x+s
 ------- = 2・-------
   2       2

となる。
先ほどの傾きに関する式と連立させてsとtについて解くと

     3    4
 s= − ---x + ---y
     5    5

    4    3
 t= ---x + ---y
    5    5

となる。
よって(x、y)をy=2xに関して対称移動した後の点は(s、t)なので
これを行列の等式で表すと

 ┏ a b ┓ ┏ x ┓  ┏ s ┓
             = 
 ┗ c d ┛ ┗ y ┛  ┗ t ┛

となりsとtに求めた式を代入すると

 ┏ a b ┓ ┏ x ┓  ┏ -3x/5+4y/5 ┓
             = 
 ┗ c d ┛ ┗ y ┛  ┗ 4x/5+3y/5  ┛

となる。左辺を計算すると

 ┏ ax+by ┓  ┏ -3x/5+4y/5 ┓
         = 
 ┗ cx+dy ┛  ┗ 4x/5+3y/5  ┛

となりこれがいつでも成り立つように
つまり恒等式となるように係数比較すると

 a=-3/5、b=4/5、c=4/5、d=3/5

となるので、y=2xに関して対称移動する行列は

 ┏ -3/5 4/5 ┓
         
 ┗  4/5 3/5 ┛

1/5でくくって

   1 ┏ -3 4 ┓
 = ---
   5 ┗  4 3 ┛

と書ける。

ちょっと面倒だけど、こうやって求めます。
たぶん、きっと(笑)





ちなみにy=mx+nに関して対称な移動は一次変換にはなりませんが、
その辺りは、また次回で(^^)



【数C】一次変換の行列 その1
【数C】一次変換の行列 その2
【数C】一次変換の行列 その3
posted by ジュンジ at 23:01 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学C
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