2012年05月21日

【数A・新】合同式の性質

関根さんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)


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a≡cならば、a^m≡c^mですが、この逆は成り立ちますか?

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合同式の性質ですね。
整数問題の分野は特殊ですから難しいですよね。

最初は成り立ちそうだと思って考えていましたが
どうもそうはならないと思い具体的な数字で考えてみました。

例えばm=2のときmod 5で考えてみました。
m=2ということは
「5で割った余りが等しい平方数」を
それぞれ  と考えることができます。
そこで  と 
これらはどちらも5で割ると余りは1になるので

 

が成り立ちます。
ここでa=4、b=6なので
5で割った余りをそれぞれ考えると
4÷5=0...4
6÷5=1...1
となり、余りは一致しません。

よって



  のとき

  である。



ということで反例が見つかりました。


したがって

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Q.  ならば、  ですが、この逆は成り立ちますか?

A. 成り立ちません

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※「合同式」は2012年度からの新課程では
数学Aに出てくるので【数A・新】としました。
posted by ジュンジ at 21:01 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事
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