2014年01月28日

【数U】【旧数A】二項定理を因数分解に利用する

ひろさんより質問いただきました。
ありがとうございます。


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S=(1-p)^9+36p^2(1-p)^7+126p^4(1-p)^5+84p^6(1-p)^3+9p^8(1-p)

T=9p(1-p)^8+84p^3(1-p)^6+126p^5(1-p)^4+36p^7(1-p)^2+p^9

この時
S-Tを因数分解した形で求めよ。

という問題なのですが、全然わからなかったので、解説付きでお願いします!!

(問題の式が読みにくいのはすみません。)

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まずは問題で言われてる式を書いてみます。
とりあえず(1-p)の次数に注目して項べきの順に整理しながら。




(1-p)は1次ずつ下がるのに対し、pは1次ずつ上がってます。
さらには係数が左右対称になっていることに気付きます。
ここで疑うのは二項定理に当てはまっていないか?ということ。
そこで各係数をnCrを使って表せないか確かめます。



なのでこれを使って先ほどの式を書き換えると



係数に交互に出てくる「-(マイナス)」をpにくっつけて考えつつ
規則が見やすいように1項ずつで改行すると



規則を考えると次のように書いた方がわかりやすい



ということでわかりやすくΣを使ってまとめると



よって



posted by ジュンジ at 13:59 | Comment(3) | TrackBack(0) | 数学U
この記事へのコメント
Σの計算のところまでは理解出来たんですが…
最後の9Ckはどこに行ったのでしょう…
Posted by ひろ at 2014年01月28日 18:24
その9Ckは二項係数と呼ばれるもので公式の一部です。
それがないと(○+□)^9のようにまとめられません。
二項定理の公式を書いておきますね。

        n
 (a+b)^n = Σ nCr・a^(n-r)・b^r
        r=0
Posted by ジュンジ at 2014年01月29日 00:23
具体例としては

 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2

という公式は右辺の係数が順に1、2、1ですが
これをnCrを使って書くと

 (a+b)^2= 2C0 a^2 + 2C1 ab + 2C2 b^2

のようになります。
上のコメントに書いた公式を使って表現すると

        2
 (a+b)^2 = Σ 2Cr・a^(2-r)・b^r
        r=0

ということになります。
Posted by ジュンジ at 2014年01月29日 10:32
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