2014年05月08日

【数U】恒等式(三角関数との融合問題)

やっくんさんより質問いただきました。
ありがとうございます。

3つのうちの1つ目を投稿します。
あと2つはもうしばらくお待ちください。

=======================================

k、α、βは実数の定数とする。すべての実数θに対して等式
cosθ+cos(θ+α)+cos(θ+β)=k が成り立つような
k、α、βの値をそれぞれ求めよ。ただし0≦α≦β<2πとする。

=======================================

「すべての実数θに対して成り立つ」ということで
これは「θについての恒等式」という意味ですね。
恒等式になるように他のk、α、βという3つの定数を
係数比較法か数値代入法で求めればOKです。

しかし今回θについて式をまとめるのが難しいので
数値代入法の方が良いでしょう。

ということで
θに好きな値を代入して式を作っていきましょう。
今回求めるのはk、α、βの3文字なので
式も3つ作る必要があります。


まずは  のとき

 
 … @


次は  のとき

 
 … A


最後は  のとき

 
 … B


A+Bより

 

これを@とBに代入すると


 

 … C
 … D


これを普通に解いてもいいのですが
Dの式に注目してαとβの関係を考えてみたいと思います。

 

この関係を単位円で考えると角αとβは原点対称か
x軸に関して対称の位置関係であることがわかります。

原点対称のときは

 

このとき α≦β より 0≦α<π、π≦β<2π である。
これをCに代入すると

 

となり不適。


x軸に関して対称のときは

 

このとき α≦β より 0≦α<π、π≦β<2π である。
これをCに代入すると

 

0≦α<πより

 

またこのとき

 

したがって

 
posted by ジュンジ at 13:25 | Comment(1) | TrackBack(0) | 数学U
この記事へのコメント
河合塾の問題ですね
Posted by at 2015年06月26日 09:49
コメントを書く
お名前:

メールアドレス:

ホームページアドレス:

コメント:

※ブログオーナーが承認したコメントのみ表示されます。
この記事へのトラックバックURL
http://blog.sakura.ne.jp/tb/95934918
※ブログオーナーが承認したトラックバックのみ表示されます。

この記事へのトラックバック