2017年01月16日

【数T】センター数TAのT(2017年)

今年も受験生の皆さん、センター試験お疲れさまでした。
4年後にはもうセンター試験そのものがなくなるのでセンターの記事を書くのも今回を含めてあと4回です。
それでは今年も数Tから行きましょう!

第1問
[1]対称式
2項の2次式の対称式から1次の値を求め、次に3次、4次と。
対称式の問題としては珍しくない基本的な問題。
3次は基本対称式で表すのではなく因数分解の方法で解くよう誘導されている。

[2]命題の真偽、必要/十分条件
条件pはx=1、条件qは方程式を解くとx=±1となる。
答えが2回連続で「必要条件でも十分条件でもない」となって不安になるが具体的に考えられるのでそれほど迷わずに答えたい。
(2)もわかりやすかっただろう。Cの命題は対偶で考えると簡単。

[3]二次関数
4次の定数aを含むxの二次関数。
最初は再頻出の平方完成。それができれば続きもできなくてはおかしい。y座標の最小値についてはと置くときにt≧0という条件が付くのでそれに注意して最小値を考えよう。

第1問は奇問はなく易。


第2問
[1]三角比
まず(1)は余弦定理からACを、そして正弦定理で外接円の半径とsin∠BACを求める。
(2)はABとADとその間の角のsinを使った三角形の面積の公式を立てることでAB・ADの値を求め、そこにABの値を代入してADを求める。

[2]データの分析
まず(1)は3つの散布図から読み取れることを選ぶ問題。しっかり見れば迷うところはなかったはず。
(2)はXのデータすべてを定数倍したり定数を加えたりすると分散、共分散、相関係数がどう変化するかの問題。これは前年のセンター試験でも同様の問題が出ていたので過去問をやっていた人には簡単だっただろう。Dのデータにaを加えると平均もa大きくなるので偏差は変わらない。よって分散も変わらない。一方、Dのデータをa倍すると平均もa倍で偏差もa倍なので分散は倍になる。従って
 X=1.80×(D-125.0)+60.0
よりXの分散は倍。
次はXとYの共分散はDとYの共分散の何倍か。Xの偏差は1.8倍、Yの偏差はそのままなのでXの偏差とYの偏差の積は1.8倍。よって共分散は1.8倍。
そして相関係数はこの場合変化なし。なぜなら相関係数を求める公式の分母はXの標準偏差は1.8倍、Yの標準偏差は1倍、そして分子のXとYの共分散は1.8倍となっているからである。
(3)はヒストグラムと箱ひげ図の組み合わせを考える問題だが、実は問題文の最後にある「ただし、1回目のX+Yの最小値は108.0であった」という記述のみで1回目のヒストグラムはAで箱ひげ図はaであることが断定できる。そして箱ひげ図から読み取れることも大小比較だけなのでとても分かりやすい。

第2問も易。



【数T】センター数TAのT(2017年)
【数A】センター数TAのA(2017年)
【数U】センター数UBのU(2017年)
【数B】センター数UBのB(2017年)
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2016年01月18日

【数T】センター数TAのT(2016年)

受験生の皆さん、センター試験お疲れさまでした。
新課程になって2度目のセンターでしたが
今年も数TAは変わりましたね。
まさか二次関数が出題されないとは予想外でした。

まずは数Tの範囲から出題された
第1問、第2問からいきたいと思います。

第1問
[1]
(1)は一次関数の最小値に関する問題。
式を整理すると傾きにaを含むので
傾きが正か負で場合分けする。
傾きが0の時は問題で傾きが正の場合に含むように
されているので深追いは不要。
(2)の「定義域内で常に不等式が成り立つ」とは
「定義域内における最小値でも不等式が成り立てばよい」
と考えればよく、(1)の最小値の問題は
その伏線であった。
難易度はやや易

[2]
集合と論理の問題。
(1)は普段の勉強ではあまり見かけない記号の
⊂、⊃、∈、∋が出てきて焦った人もいただろう
集合同士の抱合関係を表す⊂、⊃と
要素が集合に属することを表す∈、∋との違いを
知っておく必要がある。
(2)の必要条件、十分条件の問題では
反例を見落としやすい命題になっていて
xが無理数のときx+√28は無理数であるというところでは
x=−√28という反例がある。
勝手にxが正の数と思ってしまったらアウトである。
またが有理数ならxは無理数に関しては
√を消すには同じ√を掛けると思ってしまったらダメで
どんな数にでも0を掛ければ有理数の0になる。
難易度はやや難

[3]
二次不等式の問題。
定数aが含まれている式だが因数分解さえできれば
解答欄に当てはまる数が出せる。
最後は数直線上に不等式の解を表して考えよう。
難易度は易

第1問全体での難易度は標準


第2問
[1]
三角比の問題。
最初の問題は正弦定理を使うだけの問題。
(1)は与えられた2PA=3PBをどう使うかを考える必要がある。
PAを求めたいのでPBをPAで表すと良い。
(2)はPがどこに来た時に△PABの面積が最大になるかを考える必要がある。
弦ABからの距離が最も遠くなる円周上の点を探すと
PA=PBの二等辺三角形のときであり
∠APB=60°より△PABが正三角形のときである。
(3)はsin∠PBAが最大になるのは∠PBAがどんなときかを考える必要がある。
普通に考えれば角度が90°のときsinは最大値1となる。
Pが動ける範囲を考えれば∠PBAの対辺PAが直径になることが可能なので
その時のことを考えればよい。
難易度は標準

[2][3]
データの分析は計算問題がほとんどなく
単元名通りのデータを分析する(読み取る)問題がメインだった。
ただし散布図もヒストグラム・箱ひげ図も
非常に判断しやすい問題になっていた。
箱ひげ図に関しては最大値・最小値のみで判断でき
四分位数を考える必要はなかった。
そこまでは簡単だったが、[3]の(3)は
データから分散、共分散、相関係数を計算で出す練習しか
してこなかった人には難しかったと思う。
計算方法やその式の構造をよく理解していれば
全てのデータを+aしたり×aしたらどうなるかはわかるが
そこまで落ち着いて考えられるか、ということもあり
できれば事前に知っておきたい内容である。
難易度はやや易

第2問全体の難易度は標準



【数T】センター数TAのT(2016年)
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2015年01月19日

【数T】センター数TAのT(2015年)

受験生の皆さん、センター試験お疲れさまでした。
今回は脱ゆとりの新課程になって初めてのセンターで
数TAは大きく変わりましたね。

ということでまずは数Tの範囲から出題された
第1問、第2問、第3問からいきたいと思います。

第1問
最初から今までの形式が崩れ
二次関数の問題でした。
ただ、内容的には難しい問題はなく
最初は頂点を求めるために平方完成。
平行移動後のグラフの頂点を(1+p、3+q)とする。
2≦x≦4における最大値・最小値を求めるための
場合分けを軸1+pによって行う。
よくあるパターンではあるが
不等号の種類も選択しなければならないので
普段きちんと細かいところまで考えていない人は
間違えたかもしれない。
また意外とグラフの向きを間違えることも多そうである。
最後は解が-2<x<3となる二次不等式。
この解を逆にたどって
(x+2)(x-3)<0
として左辺の式をf(x)と比較するように
の係数をそろえるために
両辺に−1をかけるとよい。
あとは展開して比較しても頂点の座標で比較しても良い。
ここはやや易。

第2問
[1]は論理の問題。
1問目は与えられた命題の対偶を答える基本問題。
2問目は素数を扱う問題で倍数のように
一括して文字式で表すことはできないが
考える範囲が30以下の自然数に限られているので
当てはまるものを実際に探すと良いだろう。
一部否定が入ってることに注意が必要。
p1かつp2を満たすのは3、5、11、17、29の5つなので
これに1足した数が5の倍数ではなくなおかつ6の倍数に
なっているものを探し、そうではないのが反例である。
[2]は三角比の問題。
前年までは平面図形との融合問題だったが
分離されたために難問が作りにくくなっている。
前半は余弦定理と正弦定理の基本問題。
sin120°の値を答える問題はサービス問題である。
そこまでは簡単だが最後の△APCの外接円の半径に関する問題は
難しかったかもしれない。
まずは点Dをきちんと描けたのかということも重要である。
そして点Pを線分BD上で動かすイメージをすると
△APCのうちACは固定である。
そこで外接円の半径Rを含む正弦定理を使って
2R=AC/sin∠APC を考えると
sin∠APCが最大の時、Rは最小
sin∠APCが最小の時、Rは最大
となるので0°〜180°の範囲で考えると
90°のときRは最小となり、この時ACが直径になるので7/2。
∠APCが最も小さくなるのは点PがBかDにある時だが
AD=3√3、AB=3よりDにある時の方が小さくなる。
よって△ADCに対して正弦定理を使えばRの最大値を求められる。
ここは標準。

第3問
データの分析のみで構成されている大問であった。
[1]に関しては四分位数がヒストグラム中のどこにあるのか
を問う問題。(1)と(2)はヒストグラムや箱ひげ図の
読み方がわかっていれば難しくはなかったはず。
(3)はどの選択肢も「必要条件でも十分条件でもない」
ということになるが、絶対に間違っているものを選ぶ。
ここでも四分位数や最小値・最大値に注目する。
逆に生徒個々のデータはわからないので全員が
どう変化したのかは調べられない。
[2]は相関係数を答える問題で
散布図を見れば明らかに正の相関があるが
選択肢を見ると割と近い値が並んでいるので
与えられた標準偏差と共分散から計算しよう。
ということで最後は相関係数の公式を問う問題であった。
ここは標準。



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posted by ジュンジ at 02:31 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2015年01月09日

【数T】データの平均値、分散、標準偏差、共分散、相関係数

新課程になってから初のセンター試験を迎えます。
せっかくなので新たに加わった単元「データの分析」
に触れておきたいと思います。

計算で求める代表的な値の求め方は次の通りです。

平均:「データ」の合計をデータ数で割った値
偏差:「データ」−「平均値」
分散:「偏差」の2乗の平均
標準偏差:√「分散」
xとyの共分散:「xの偏差×yの偏差」の平均
xとyの相関係数:「xとyの共分散」/(「xの標準偏差」×「yの標準偏差」)

ここですべてのデータにaを加えた場合、
先ほど紹介した値がどのように変わるのかを
紹介したいと思います。

すべてのデータを+aすると、
平均も+aになります。
データも平均も+aなのでその差である偏差は不変。
偏差が不変なのでそれを使って算出する分散、標準偏差も不変。
2変数xとyがあって、すべてのxを+a、すべてのyを+b倍しても
それぞれの偏差は不変なので共分散も不変です。
したがって相関係数も不変となります。

すべてのデータをa倍すると、
平均もa倍になります。
データも平均もa倍なのでその差である偏差もa倍。
分散は偏差の2乗の平均なので分散は倍になります。
標準偏差は倍された分散の平方根なのでa倍になります。
また2変数xとyがあるとき、xのすべてのデータをa倍、yのすべてのデータをb倍すると
共分散はxの偏差とyの偏差の積の平均で、それぞれの偏差はa倍とb倍になっているので
共分散はab倍になります。
したがって相関係数を計算するとき、
分母の標準偏差がそれぞれa倍とb倍になっているので分母は合わせてab倍で、
分子の共分散もab倍なので相関係数は不変となります。


まとめ

データを+aすると
・平均値:+a
・分散:変わらない
・標準偏差:変わらない
・相関係数:変わらない

データをa倍すると
・平均値:a倍
・分散:
・標準偏差:a倍
・相関係数:変わらない
posted by ジュンジ at 11:40 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2014年05月09日

【数T】置換すると二次関数になる関数の最大・最小値

引き続きやっくんさんからの質問です。

=======================================

aは実数の定義とする。関数f(x)=(x^2+4x+3)^2+a(x^2+4x+3)の
最小値が-4となるようにaの値を求めよ

=======================================

問題文を読むと「最小値が-4」とあるので
これで式を立てると考えます。
つまり最小値を求めた後

 求めた最小値=-4

という式を作ることを目標にします。
そのためにはこの-4を知らないふりをして
最小値を求めなければいけません。

さて、今から立ち向かう式は

 

で、そのまま見れば4次式で4次関数なので
最小値を求めるには

 最小値 ← グラフ ← 増減表 ← 微分

という流れになりますが
見ての通りの部分が共通なので置き換えて見やすくしましょう。

 

とおくと元の式は

 

となるのでこれをg(t)とおきます。

 

立ち向かう関数が二次関数になったので

 最小値 ← グラフ ← グラフの軸 ← 平方完成

という流れに変わります。
ということで平方完成をしていくのですが
その前に忘れないうちにやっておいた方がいいのが

 置き換えた文字の定義域

を出しておくことです。
今回の置き換えは

 

だったのでこの t の最大・最小値を求めておきましょう。
この式も二次関数なので最大・最小値を求めるために
やるべきことは平方完成です。(もちろん微分して増減表でもよい)

 

よって最小値-1、最大値なしとなるのでtの値域は

 

となり、これがg(t)の定義域となります。
最大・最小値はその関数の定義域が決まらない限り
求まらないので覚えておきましょう。
(指定範囲がない場合は「全実数」という定義域になります)

ということでg(t)の式の最小値を t≧-1 の範囲で求めましょう。

 

これでわかるのはグラフの軸が

 

であるということで、まだ頂点で最小になると
わかったわけではありません。
これを調べるために図を描きましょう。
描くのは定義域の境界線になる縦線です。
今回はt=-1が境界線になりそこから右側が定義域です。
それが描けたら今度はグラフの軸を描き入れます。
しかし今回グラフの軸は-a/2でこれが境界線の-1より
左側なのか右側なのかわかりません。
わからないというか決められません。
「aの値によってはどちらの場合もありえる」
ということになるので場合分けして考えます。



 グラフの軸が境界線より左側のとき

つまり
 
 

のとき、定義域の左端であるt=-1で最小になり
これが今、-4になればよいので

 

これは今の条件 を満たすので
まず一つ目の答えとして

 



同様に


 グラフの軸が境界線から右側のとき

つまり
 
 

のとき、グラフの頂点で-1で最小になり
これが今、-4になればよい。
先ほどと同じように考えればg(-a/2)を
求めるにはt=-a/2を代入すればよいが
それで求まるのは頂点のy座標で
それはすでに求まっているので計算は不要。

 

今の条件 より

 



したがってまとめると

 
posted by ジュンジ at 12:22 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2014年04月29日

【数T】展開の工夫

山さんより質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

=================================================

初めまして。もう少しで中間テストなのですが、
この問題の解き方がわかりません。教えてください!

@(a+b+c)^2−(b+c-a)^2+(c+a-b)^2−(a+b-c)^2

A(a-b+c)(a^2+b^2+c^2+ab+bc-ca)

=================================================

どちらも展開の問題ですね。
実は展開の問題が「わからない」というのは
ないと思ってもらってもいいです。
どういうことかというと
展開の基本である分配法則さえわかっていれば
解けなくはないのです。
時間はかかりますが分配法則を
何度も使って同類項をまとめれば必ず展開できます。

ただ、それは面倒なので公式や工夫の仕方を覚えよう
ということです。



それでは@から行きましょう。

こちらは「置き換え」を利用します。
式中に同じ式が何回か出てきたらこれですね。
ただし見た目を見やすくするための方法で
根本的には特に変わりありません。

 

ここで

 
 

とおくと

 



Aはよく見ると公式に当てはまってますね。
使う公式は

 

です。
それでは問題の式をこの形にしてから
公式を使って展開してみましょう。

 

このような式が公式に当てはまってることに
気付けるようになるためには練習あるのみです。
一見複雑そうな式でも見方によっては
扱いが変わってくるものです。
いろんな見方で式を見れるようになるには
やはりいろんな式を見る経験を積むのが一番でしょう。

これからもがんばってください(^O^)



2014.5.9 訂正
展開の公式を間違えていました(>_<)
× 
○ 

ご指摘くださった neconecoさん ありがとうございます!!
posted by ジュンジ at 23:28 | Comment(7) | TrackBack(0) | 数学T

2014年04月13日

【数T】不等式が常に成り立つように

モノノ怪さんより質問いただきました。
ありがとうございます。

==============================================================

aを定数とする。
関数f(x)=ax^2+x−a+2を考える。
−1≦x≦1を満たすすべてのxについて、
f(x)≧x^2−1が成立するように定数aの範囲を求めよ

私は軸の位置で場合分けして解こうとしましたが、
途中で出てくる不等式などが煩雑で、最後まで解けませんでした。
上に凸のときの下に凸のときで、いちいち場合分けしていかないと
いけないので、すごい面倒でした。
これくらいの問題はらくに解けないと厳しいですか?
計算がめんどくさいので、計算も含めて解いてくれると嬉しいな

==============================================================

まずは与えられた不等式

 

を具体的にして、左辺に移項します。

 

左辺をg(x)とおくと
ここで-1≦x≦1の範囲でy=g(x)のグラフがx軸以上の位置に
あれば良いことになるので、グラフを描こうと平方完成しますね。
平方完成すると

 

よってグラフの軸は

 

となるのでグラフを描くために「の係数が正、0、負のいづれであるか」、
また「グラフの軸の位置」で場合分けすることになります。
これはグラフの向きや軸が定まっておらず、
いろんな場合があるのでそれぞれの場合に分けて
解いていくということですが、
この式でもグラフのあるものが定まっています。
それは

 定点の座標

です。
定数aの値によらずy=g(x)のグラフが通る点があります。
グラフの式 

 

これがaについての恒等式となるようなx、yを求めてやれば
それが定点の座標となります。

 

これがaについての恒等式になるには



これを解くと

 

というx、yが2組出てきて、これがy=g(x)が通る定点の座標になります。

これにより、g(-1)>0、g(1)>0が常に成り立ちます。
よってg(x)が上に凸なら-1≦x≦1の範囲で常にg(x)≧0が成り立ちます。
なので
@上に凸のとき
つまりの係数が負なら問題の条件を満たします。

 

A下に凸のとき
このときは軸の位置で場合分けしますが
g(-1)=1、g(1)=3より、軸がx>1の範囲に行くことがないことがわかります。
なので軸が
A-1 x<-1の範囲にあるとき
A-2 -1≦x≦1の範囲にあるとき
の2つだけ考えればOKです。
まずは下に凸より

 


 A-1のとき図を考えれば明らかに
 -1≦x≦1の範囲で常にg(x)≧0が成り立ちます。
 なので軸<-1よりa-1>0のもとで解くと

  

 よって下に凸になるための条件a>1も考えて

  

 したがって

  


 A-2のときは-1≦x≦1での最小値は頂点になるので
 頂点≧0であればg(x)≧0が成り立ちます。

 まずは軸が-1≦x≦1にあるために

  
  
 これらをa-1のもとで解く
  
  
 よって
  

 頂点のy座標が0以上であることから
  

 下に凸であることも考えると

  

 したがって

  


Ba=1のときはg(x)が二次関数ではなくなり
今までのように放物線で考えることができないので
このときだけ別に考えます。
a=1のときg(x)=x+2となりx=-1で最小値1を取るので
これは-1≦x≦1の範囲でg(x)≧0を満たします。

よって

 



したがって
@、B、A-1、A-2より
 、 、 、
これらを合わせて

 





2014.4.15 追記
2014.4.15 訂正
 × @下に凸、A上に凸
 ○ @上に凸、A下に凸
×のようになっていました。すいませんでした!


posted by ジュンジ at 21:29 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学T

2014年01月20日

【数T】センター数TAのT(2014年)

センター試験お疲れ様でした。
ここからいよいよ本格的な受験シーズンへと
入っていきますが、最後までがんばってください。

それでは今年も解説もどきをしたいと思います。


まずは数Tから。
※数TAの第1問[2]、第3問の後半については数Aで扱います。


数TA
第1問
[1]
ここは基本的な対称式の問題。
特に変わったところもなく
ここは易。

第2問
まずは定番の平方完成。
Gとy軸との交点のy座標pはx=0を代入すればOK。
p=-27は二次方程式になるのでそれを解けば
そのときのaの値が2つ求まる。
それら最初に求めたグラフの頂点の式に代入して
頂点の座標を比較することでどれだけ平行移動
したのかを求めよう。
後半はグラフGとx軸との共有点に関する問題。
共有点を持つようにするには判別式D≧0だが、
最初に頂点を求めていて、下に凸のグラフだから
頂点のy座標≦0 とする方が早く解ける。
「異なる2つの共有点を持つ」ではなく
「共有点を持つ」という条件に注意して
不等号を選ぼう。
pの最大値・最小値問題は基礎レベル。
グラフの軸も定義域も固定なので簡単。
最後は共有点のx座標が-1より大きくなるように
という条件なので先ほどの
・頂点のy座標≦0
に加えて
・グラフの軸>-1
・x=-1のときのy座標>0
を同時に満たす範囲を求めればよい。
ここは標準。

第3問
最初は余弦定理を使って
2辺と1角のcosから残りの1辺を求める問題。
CA=4と求めたところで△ABCが二等辺三角形である
ことに気付いておきたい。
この後、余弦定理、相互関係式、正弦定理
の問題が続く。
続きは数Aで。



【数T】センター数TAのT(2014年)
【数A】センター数TAのA(2014年)
【数U】センター数UBのU(2014年)
【数B】センター数UBのB(2014年)
posted by ジュンジ at 03:23 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2013年05月22日

【数T】不等式の整数解 その2

岡さんから質問いただきました。
ありがとうございます。

==========================================

すみません
初めてです。
解法みても分からないので投稿させてもらいました。
お願いします。
次の不等式をともに満たす整数xが一つだけ
存在するとき定数aの範囲を求めよです
3x−7>x …@
x+a>4x …A

@よりx>7/2
Aよりx<a/3
ここで4の位置は分かったのですが、
a/3=なんで5じゃないのかわかりません。
教えてもらえますでしょうか。

==========================================

@とAより

 3.5<x<a/3

の範囲にひとつだけ整数解をもつ
ということなのでその整数解が4のみ
になればいいということですよね。
大まかな考え方は岡さんのであってると思います。
ただa/3がちょうど5のときだけが正解
というわけではないですよね。

質問のポイントはそこでしょうか。

そしてそれを解消するには
今どういう数の世界で考えているのかを意識する
ことが重要になってきます。
今言った数の世界というのは
整数、有理数、実数、複素数
などのことです。

確かに
 3.5<x<5
だとこれを満たす整数解は4のみでひとつです。
ただし今回a/3が整数だとは言われていないし
aが整数とも言われていないので
このa/3は実数であればなんでもOKなのです。
つまり
 3.5<x<5
 3.5<x<4.9
 3.5<x<4.5
 3.5<x<4.1
 3.5<x<4.01
 3.5<x<4.001
 3.5<x<4.0001
のようにa/3に入れる数字は
5以外にも4.9や4.5、そして4.0001でも
ちゃんとxの整数解は4のみでひとつになっています。
ただし気をつけないといけないのは
 3.5<x<4
にしてしまうとこの場合4は含まれないので
xの整数解はなくなってしまいます。
ということでa/3は
おおまかには

 4〜5の数字

正確に言えば

 4<a/3≦5

の範囲ならxの整数解はひとつになる。
よって

 4<a/3≦5より
 12<a≦15



というので質問に答えたことになったでしょうか。
見当違いなところを説明したのならすいません(^^;
もしそうならまた質問していただけるとありがたいです。





ちなみに以前にも似たような質問を他の方からも
頂いたことがあるので、
そちらも参考にしていただけると良いかと思います。

【数T】不等式の整数解
posted by ジュンジ at 11:03 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2013年03月21日

【数T】a^3±b^3の因数分解公式

かえさんから質問をいただきました。
ありがとうございます(^o^)

=========================================

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
という公式がなかなか覚えられません

理屈で考えて公式を導き出せるように
したいので、理屈を教えてください。

=========================================


 

という2項をとりあえず作るには
以下のような方法が考えられます。


 方法@  を3乗する
 方法A  を展開する



方法@だと次のように公式を導けます。

 



方法Aだとこんな感じ。

 



公式の覚え方としては

 前^3 後^3=(前 後)(前^2 前・後の逆符号 後^2)

みたいな感じで覚えると

 

が使えるようになってくると思います(^^)
posted by ジュンジ at 02:47 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2013年01月21日

【数T】センター数TAのT(2013年)

このブログでは毎年恒例の
センター数学の分析だか解説だか
わからんことを書きたいと思います。

何はともあれ受験生の皆さん、お疲れ様でした。
私立受験、国公立2次試験に向けて引き続き頑張ってください。


まずは数Tから。
※数TAの第1問[2]、第3問の後半については数Aで扱います。

数TA
第1問
[1]
分母が3項の無理数の計算。
2項と1項に分けて有理化すればOKだが、
どう分けるかは誘導があるので
それにしたがってABを求めよう。
1/A+1/Bは普通に計算。
A+Bは
1/A+1/B=(A+B)/ABより
A+B=AB×(1/A+1/B)
として計算。

僕はここの計算につまずいて
いったん飛ばしましたが、
やや易。



第2問
珍しく最初が平方完成の問題ではなく、
さらに直線上の動点によって作られる
面積が二次式の関数になる問題。
問題の与えられ方は新しいが
問題の内容はそれほど難しくはない。
点Pと点Qの座標をtを使って表せれば
面積の式は求められるし、
その後の最大・最小の問題も標準レベル。
場合分けの考えは必要だが
全ての場合を答えなくて良い分、
時間はかからなかったはず。
最後のtとどれだけ平行移動したかを
求める問題は、結局のところ
グラフの式を求めれば良いので
y=2x^2+bx+c
と置いてO、P、Qの座標を代入して
連立して解けばいい。

動点が作る図形の面積は
中学でよく出てくる問題で
中学の時に苦手だった人は
苦戦したかもしれないが
ここは標準。



第3問
この問題は後半に図を描くのが難しく
苦労した人が多かったと思います。
前半は図は描きやすいのでまだマシ。
APは△OAPで三平方の定理。
ODは迷ったけど
∠OADをθとおけば
∠AOPと∠ADPがそれぞれ90°であることから
∠OPD=180°ーθ とおけるので
△OADと△OPDのそれぞれで
余弦定理を立てて連立して解けば
次のcos∠OADも求まります。
それが求まれば今度は
直角三角形ABCにおいて
三角比の定義より
cos∠OAD=AC/AB
からACが求まります。
△ABCの面積は直角三角形なので
ACとBCを底辺と高さにして求めてもいいし、
ABとACとその間のsinで求めてもOK。
△ABCの内接円の半径はお決まりの
S=1/2・r(a+b+c)
ですね。
最初に出てきた円Pとは別の円なのが
図をぐちゃぐちゃにさせる…

この後さらに別の内接円が出てきて
この辺りから大変です。
この先は数Aの内容なので数Aの方に書きますね。




【数T】センター数TAのT(2013年)
【数A】センター数TAのA(2013年)
【数U】センター数UBのU(2013年)
【数B】センター数UBのB(2013年)【数A】センター数TAのA(2013年)
posted by ジュンジ at 00:53 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2012年01月16日

【数T】センター数TAのT(2012年)

2012年のセンター試験が終わりました。
まずは受験生の皆様、お疲れ様でした。
でもここからが本番とも言えます。
最後までがんばっていきましょう!


では毎年恒例のセンター数学の分析?解説?を行いたいと思います。
まずは数Tから。
※数TAの第1問[2]、第3問の後半については数Aで扱います。


第1問
[1]
絶対値記号を含む不等式の問題。
|2x+1|≦3
のように変数xが絶対値記号の中にしかないので
場合分けせずに
-3≦2x+1≦3
とすれば早い。
(3)では不等式を満たす整数解の個数を問う問題があったが
aが1増加すると左に1/2、右にも1/2だけ範囲が広がることが
イメージできればa=3の時より個数が多くなる時がすぐにわかる。
正攻法で解いても特に支障はない問題でここは易。

第2問
二次関数のグラフの頂点、
x軸で2点で交わるための条件、
最小値、
などに関する定番と言える問題。
ただグラフが上に凸であることに注意が必要。
でもそれを見落としていても(1)の最後までは
解答欄に当てはまる数字が変わるわけではないので大丈夫。
(2)では指定された最小値になる時のaを求める問題が出たが、
それまでに最小値を場合分けして求めさせる誘導問題がないので
戸惑う人もいたかもしれない。
レベル的には標準。

第3問
△ABCが二等辺三角形なのでAからBCに垂線を下ろすと
余弦定理を使わずしてcos∠ABCやsin∠ABCを求められる。
それでいくと面積も底辺×高さ÷2で求まる。
内接円の半径はS=1/2・r(a+b+c)の公式で、
IBは三平方の定理で求められる。
(1)のPとQの設定を図に書き込むときに
どの辺りなのかはっきりわからないが
△PBQの外接円について考えるには
最初に求めた∠Bのsinとその対辺のPQがわかれば十分なので
大体の図で大丈夫だっただろう。
ただ求めなさいと言われたものが
「外接円の半径」ではなく「外接円の直径」なので
そこには要注意である。
ここはやや易。




【数T】センター数TAのT(2012年)
【数A】センター数TAのA(2012年)
【数U】センター数UBのU(2012年)
【数B】センター数UBのB(2012年)
posted by ジュンジ at 02:17 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2011年08月07日

【数T】二次方程式の利用(文章問題)

数学は好きさんから質問がありました。

====================================================

長さ12cmの針金を2本に切り、それぞれで正方形を作ると、2つの正方形の面積の和が8平方センチメートルになった。このとき、大きいほうの正方形の一辺の長さを求めなさい。
という問題で数学が好きで問題を解いていたのですがこの問題が分からなくてもやもやしてます。解説付きでお願いします。

====================================================



解説の前に、
似たような問題を以前質問されたことがあり、
その時の解説がコチラ↓↓

【数T】二次関数の利用(文章問題)

にあります。
こちらに解説した問題は同じく針金を2つに切って
それぞれを正方形にした時の面積の合計
の最小値を求める問題です。

こちらはxの置き方がこのメールでの解説と違いますが
面積の合計を式で表すところまでの考え方は同じですので
こちらも参考にしてみてください。



それではここからが質問の解答です。


====================================================

大きい方の正方形の一辺の長さをx(cm)とすると
(これ以降単位を省略します)
2本に切った針金で長い方は一辺の長さの4倍の4x
短い方の針金は全体12から4xを引いた12-4x
となります。

なので短い方の針金で作る小さい方の正方形の一辺の長さは
(12-4x)÷4で 3-x となります。

ここでxの範囲を考えておきましょう。

xは長さなのでx>0でないといけません。

また長い方の針金の長さである4xは
短い方の針金の長さの12-4xより長くないといけないので
4x>12-4x
8x>12
x>3/2

さらに長い方の針金は全体12より短くないといけないので
4x<12
x<3

これら3つの条件すべてを満たす範囲は

 3/2<x<3

になります。


本題に戻り、問題文より
「大きい方の正方形の面積」+「小さい方の正方形の面積」=8
なので
x^2 + (3-x)^2=8
x^2 +9−6x+x^2=8
2x^2 −6x+1=0
この二次方程式を解の公式を使って解くと

  3±√(9-2)
x=--------------
    2

  3±√7
x=---------
   2


ここで√7について
2<√7<3より
xの条件3/2<x<3を満たすのは


  3+√7
x=---------
   2

よって答えは

 3+√7
---------
  2    
(cm)

====================================================



いかがでしょう?
わからなかったらまた聞いてください(^^)

posted by ジュンジ at 02:10 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学T

2011年01月16日

【数T】センター数TAのT(2011年)

受験生の皆さん、センター試験お疲れ様でした。
今年は全国的に大雪で大変だった人も多かったことと思います。

それではまずは数TAのTから。

第1問
[1]
分母の有理化と絶対値を含む不等式の問題。
素直に計算を進めていけば解ける問題。
a/b-b/aは通分した方が分母がややこしくなってしまうのがポイント。
ここは易。



第2問
めずらしく「頂点を求める問題」がない。
ただし、「同じ軸を持つ」ということから、まずはやはり平方完成。
「グラフとx軸の正の部分が異なる2点で交わる」という問題も
Dの値、軸の場所、境界線上での値で条件式を作る標準問題。
この場合境界線上での値はf(0)である。
(2)は定義域に文字を含む二次関数の最大最小値の問題なので
軸の位置で場合分けかと思いきや
b>0という前提で0≦x≦bやb≦xという定義域に対して
軸がx=2bなので位置関係がはっきりしているため場合分け不要。
最後はG1、G2それぞれの頂点を求めればわかる。
ここは標準。



第3問
前半と後半できっちり数Tと数Aに分かれていた。
(1)
前半の数T部分は誘導に従っていけば解けたはず。
特筆することはない。
ここは易。



【数T】センター数TAのT(2011年)
【数A】センター数TAのA(2011年)
【数U】センター数UBのU(2011年)
【数B】センター数UBのB(2011年)
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2010年02月08日

【数T】絶対値

絶対値とは
・プラスやマイナスの符号を取り除いたもの
・数直線上において原点からの距離
というような説明はよく聞きますね。
決して難しいことではないので納得もできると思います。

それなのに苦手にしている人が多いのも事実です。
その原因はやはり|a|のような文字式の絶対値でしょう。




その前にまずは数字の場合。
ここではあえてプラス記号も書くことにしましょう。

|+2|=2
|-2|=2

絶対値を表したいのなら
プラスだろうがマイナスだろうが
符号を取ればいいだけってのがこういうことです。

整数じゃなくて小数や分数でも同じです。

ちなみに普段「+2」というのは
符号を書かずに「2」と書くことがほとんどなので、

 絶対値とは正の数ならそのまま正の数、
 負の数なら正の数に変換してください

という命令としてとらえることができます。



ではここで本題。(以降aは実数とします)
教科書などに載っている

@
|a|=a(a≧0)
|a|=-a(a<0)

というのはなぜ絶対値を答えるのにa<0の場合は
マイナスの符号が付いているのか?
という疑問を持ったことがありませんか?
(疑問に思う人は多いので安心してください)

それから無断で

A
|a|=a

としたりしていませんか?
こうするには注意が必要です。
これで正解の場合もありますが、
いつでもこれが正解というわけではありません。

どういう場合に間違いになるのかというと、
aそのものがもともと負の数の場合です。

aが負ということは「a」と書いたらそれは負の数ということです。
なのでAの式では、
正の数にしなくてはいけないのに
右辺が「a」では負の数になってしまっているからおかしい
ということになるのです。


実際に「a」が「+3」のときと「-3」のときで比べてみましょう。
まずはAの式に「a=+3」を代入してみます。
代入した数値には(+3)のようにカッコを付けておきます。

|(+3)|=(+3)

不要な符合とカッコを省略して整理すると

|3|=3

となり、これは右辺が正の数になっていて、
「3」の絶対値は「3」ですよと言っているので
正しく絶対値を求められているということになります。
次に同じAの式に「a=-3」を代入すると

|(-3)|=(-3)

不要な符合はないので不要なカッコを省略して整理すると

|-3|=-3

となり、これは右辺が負の数になっていて、
「-3」の絶対値は「-3」ですよと言っているので
これは正しく絶対値を求められていないということになります。

とりあえずこれでAの|a|=aは
aが負の場合は成り立たないことがわかったと思います。

ではどうすれば正しくなるのか。

aが正の数の場合は成り立っているので良いとして、
負の場合はどうすれば良いのかというと
負の数を正の数にするために「-1」を掛ければ良いのです。

「-1」を掛けるということはプラス・マイナスの
符号が入れ替わるということです。
「a」がもともと正の場合は何もしなくてもいいので
「-1」を掛けることなく

|a|=a

でOK。
「a」が負の場合は「a」と書いたら負の数なので
これに「-1」を掛ければ正の数になります。

a ←これは今、負の数

-1×a ←負の数aに-1を掛けているのでこれ全体は正の数

つまり

|a|=-1×a=-a

となるわけです。
これが@で書いた式
|a|=a(a≧0)
|a|=-a(a<0)
です。
これを「aが負の時はマイナスをつける」と言うと
誤解する人がいるので、もう少し詳しく言うと
「aが負の時はaの前に新たに別のマイナスをつける」
と言えばいいでしょうか。
つまりaが「-3」のときは
「最初からマイナスが付いているからそのまま『-3』でいいや」
ではなく
「最初から付いてるマイナスとは別のマイナスを付け加えて
 『-(-3)』にしないと最終的に『3』にならない!」
と考えてください。


じゃあここでもまた「+3」と「-3」で確かめてみましょう。

a=+3のとき
|(+3)|=(+3)=3


a=-3のとき
|(-3)|=-(-3)=3

ちゃんとどちらも「3」になりましたね。
よって@の解釈だと「a」が正の数の場合も負の数の場合も
正しく絶対値を求められます。

ダメな例を書いておきます。

aが正の時にマイナスをつけ加えると
|(+3)|=-(+3)=-3
となってしまうので正の時はやはりそのまま!

aが負の時にマイナスをつけ加えないままだと
|(-3)|=(-3)=-3
となってしまうので負の時はやっぱりマイナスを
つけなくてはいけない!


ちなみに「0」は「正の数」でも「負の数」でもありません。
なので「a>0」の場合、「a<0」の場合、ともうひとつ
「a=0」の場合に分けなくてはいけませんが、
a=0を@の2つの式にそれぞれ代入すると
|0|=0
|0|=-0=0
となりどちらの式でも正しく求まります。
というわけでa=0の場合はどちらの式で考えてもかまわない
のですが通常「0」の場合は「正の数」の場合に含め
「a>0」と「a=0」を合わせて「a≧0」とし、
「a≧0」の場合と「a<0」の場合の2つに場合分けします。




え〜、なんでこんなに話がややこしくなるのかというと
「a」とだけ書かれててもそれが正の数か負の数かはわからない
ということが原因ですね。
だからここでつまずいてしまった人は
無意識に「『a』という文字は正の数」と考えてしまっていた
ということになります。
ただそれだけのことなので、
「aって書いてあっても負の数かもしれないんだったな」
ということさえわかったら大丈夫です!


これと同様のことが不等式を解くときにも
引っ掛け問題として出てきます。
それは以前このブログで書いたので
興味ある方はこちらをご覧ください。

【数T】不等式の落とし穴
posted by ジュンジ at 01:56 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2010年01月17日

【数T】センター数TAのT(2010年)

2010年のセンター試験も終わりましたね。
受験生の皆さん、お疲れ様でした。


数TAのTの問題について

第1問
[1]
分母の有理化と二次方程式を解くを解く問題は
かなりの基本問題。
その後の大小比較はあんなふうに出題されるのは珍しい。
通常は不等式を解かせる中で出題されることが多い。
普段から値を数直線上に置く時にきちんとやっていれば
大丈夫だったと思う。
ここは易。

第2問
前半はよくある問題が続く。
(2)の平行移動の問題は難しかったと思う。
x軸方向だけでなくy軸方向にも移動するというところが難しい。
x軸方向だけならグラフの対称性を利用すればすぐにわかるが、
それができない。
x軸方向にもy軸方向にも同じだけ平行移動するということは
傾きが1の直線に沿って移動することに気付けば
傾きが1で(-1、4)を通る直線とG1の交点が
平行移動後の頂点の位置になるので
どれだけ移動すれば良いかがわかるが、
図を描いてだいたいの見当をつけて答えを探すという方法でも
それほど苦労なく時間もかからないと思う。
ここは標準。

第3問
ここは数TAの中で明らかにいちばん難しかったと思う。
直角三角形を使った三角比の定義から
cosAの値がわかるということに気付かなかったら
2問目のQRを求めるところからわからなくなってしまう。
(2)のSPも方べきの定理を使うことに気付かなかったら
ここでつまずき、それ以降の問題に手が出せなくなる。
正直言って僕は解いている時に
数TAの知識では解法を見つけられなかったので
座標を使って円と直線の交点Sを求めて解いた。
tanを求めるところでも公式(三角比の相互関係式)ではなく
ここでも直角三角形を使って求める問題だった。
またtanの値が一致することからS、T、Cが一直線になることから
∠RSCが∠RSTと等しく90°になる。
∠PSCは弧TPの円周角である∠TRPと等しく、
PR=√2とTR=2と∠TPR=90°から1:1:√2で
45°であることがわかる。
以上のように三角比の正弦・余弦定理の計算よりも
図形の性質に重点が置かれていて難しかった。
ここは難。
posted by ジュンジ at 23:32 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2009年07月23日

【数T】不等式の落とし穴

僕らの頃は「一次不等式」は中2で習っていましたが
今は一般的に高1の数Tで初登場です。

習ったことのある人なら中2でも十分解けることに
納得いくと思います。
というのも一次方程式とほとんど変わらないから。
一次方程式と唯一異なる点は


 負の数を両辺にかけると符号の向きが逆になる


これのみです。
ちなみに両辺を負の数で割っても符号の向きは逆になりますが
「割ること」は「逆数をかけること」なので
「かける」とまとめて表現した方が覚えることが半減します。


ここからが本題!!

たったこれだけのことなのですが落とし穴があるのです。
まずは落とし穴のない問題。

 −2x>10

両辺を−2で割って

 x<−5

マイナスで割ったので符号の向きが逆になります。
まぁ、何の問題もありません。

じゃあ、次は落とし穴がある問題。

 ax>6

両辺をaで割って

 x>6/a

この解答に違和感のなかった人、
落とし穴に落ちてます!!

このようにxの係数が文字になった場合、
間違える可能性がかなり上がります。

さぁ、どこがダメだったのでしょう?

不等式のルールの特徴は
「負の数をかけたら符号が逆になる」
でした。
今、両辺をaで割りましたが、
ここで質問。

 「aは正ですか?負ですか?」

ちょっと考えてください。




はい、質問の答えは、

 「(これだけでは)わかりません」

が正解です。
今、aはどのような数かが問題では指示されていません。
ということはaは正である可能性もあるし、
負である可能性もあるということになります。
さらには正でも負でもない、0という可能性もあります。
ax>6 を解く時、この3通りの場合で解き方が変わるので、
それぞれの場合で場合分けして解く必要があります。

そこで正しく ax>6 を解いてみましょう。

まず両辺をaで割りたいがaの正負がわからないので
まずは「aがもし正だったら」として解く。

 (@)a>0のとき
  x>6/a

次は順番的に「aがもし0だったら」ですが、
ちょっと考え方が異なるので先に「aがもし負だったら」

 (A)a<0のとき
  x<6/a

aという負の数で割ったので
符号の向きが逆になっていることに注意してください。

最後に先ほど飛ばした「aがもし0だったら」。
これはaで割りたいけど、今はaが0であり、
算数・数学では0で割ることはできないので
元の式のまま考える。

a=0より 左辺=0、右辺=6なのでこの不等式は
xの値に関係なく常に 0>6 となる。
0と6だったら6の方が大きいので
この不等式は常に成り立たない。
つまりxをどんな数にしても成り立つことがないということなので
この不等式を成り立たせるxの解はないということになる。

 (B)a=0のとき
  ax>6
  0>6
  これは成り立たない。よって解なし。

 (@)(A)(B)より
  a>0 のとき x>6/a
  a=0 のとき 解なし
  a<0 のとき x<6/a

となる。



ちなみにこれは不等式だけで出くわす問題ではなく
方程式でも同じようなことが言える。

例えば

 ax=2

これは両辺をaで割ればいいが、aが0ならばそれはできない。
よってaが0のときとそうでないときで場合分けが必要。

(@)a≠0のとき
 x=2/a

(A)a=0のとき
 0=2
 これは成り立たない。よって解なし。

ちなみにx^2=3xという方程式は
x^2−3x=0
x(x−3)=0
x=0、3
として解くが、「なぜ最初に両辺をxで割らないのか?」
と思ったことはありませんか?
これも同じこと。
今xはどんな数かわからなくて、もしかしたら0の可能性もある。
だから「割らない」のではなく「割れない」のだ。
割りたければ「x≠0」という条件を付けてやればいい。
ただxが0の時を別で考える必要がある。
実際にその考えで解くと

(@)x≠0のとき
 両辺をxで割って
 x=3
(A)x=0のとき
 0=0
 これは成り立つ。よってx=0はこの方程式の解である。
(@)(A)よりx=3、0

めんどくさいですね。
だから割らずに移項してxでくくって解く方法
を選ぶ方がbetterです。
posted by ジュンジ at 05:58 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2009年07月20日

【数T】文字係数を含む二次関数の最大・最小値

「y=x^2+2x+3の最大・最小値を求めよ」
は問題なく解けるし、
これにxの定義域が(-2≦x≦3)のように指定されても解けるけど
次のようになるとグンと難易度が上がって解けない人は多いのではないでしょうか?

@ y=x^2-ax+3 (0≦x≦2)
A y=x^2+2x+3 (a≦x≦a+1)

のような場合です。
大きな違いは「a」という定数が入っていること。
この「a」が具体的に決まっていないので
グラフや定義域が固定されず「移動可能」になっています。
グラフや定義域が変われば
「最大値」「最小値」は当然変わりますが、
重要なのはこれ。


 xがいくらのところで「最大」「最小」になるのか


文字定数「a」がない場合はグラフも定義域も固定されているので
「最大」「最小」になる場所も1ヶ所に固定されていて
調べやすいのですが、
文字定数「a」がある場合はその場所が変わってしまうのです。
だからその場所が変わるポイントで
「場合分け」をすることになるのです。

そしてこの問題を考える時は必ず図を描くようにしましょう。
ただし「グラフを描け」という問題の時みたいに
丁寧に描く必要はありません。
必要なのは
・「定義域の境界線(とそのど真ん中に点線)」
・「グラフの軸」
・「グラフの向き」
それだけです。x軸やy軸は特に必要ありません。
「最大」「最小」になる場所を特定するだけなら
「頂点のy座標」すら必要ありません。

@ y=x^2-ax+3 (0≦x≦2)
を例に説明すると、まずはグラフの軸を求めるために
平方完成します。

y=(x-a/2)^2-a^2/4+3
よって軸はx=a/2

ここからは図を描いていきます。
まずは固定されている「定義域」から。
定義域は0≦x≦2なので
縦線を2本引いて左側を0右側を2とします。

そしてグラフの軸がa/2なので
これはaの値が変われば軸の場所が変わる。
つまりグラフは移動可能で固定ではないと考えます。
なので今書いた2本の線に
とりあえず左側からグラフを近づけていくことを想像します。

ここでグラフが下に凸になっていることも忘れないように!

ここからはまずは場合分けのポイントを説明していきます。

最初グラフの軸が左側の0の線よりも左にある場合は
(@)
・x=0のところで最小
・x=2のところで最大
になっていることがわかります。

グラフを徐々に右にずらしていくと
軸が左側の0の線を越えて、定義域内に入った瞬間に
最小値の場所が変わることに気付くと思います。
ここでは
(A)
・軸のところで最小
・x=2のところで最大
になります。

さらにグラフを右にずらすと
軸が定義域のど真ん中、つまりx=1のところまでくると
また状況が変わります。
最小の場所は変わりませんが、最大の場所に変化が出てきます。
ここでは
(B)
・軸のところで最小
・x=0とx=2のところで最大
となります。描いた図を見れば左右対称になってるので
すぐに納得できるはずです。
このように左右対称になるのはこの瞬間だけなので
ここから少しでもグラフを動かせばまた状況が変わります。

定義域のど真ん中を少し過ぎると今度は
最大の場所が完全に移り変わることになります。
でも最小の場所はまだ変わりませんね。
(C)
・軸のところで最小
・x=0のところで最大

そしてさらにさらにグラフを右にずらしていくと
軸が定義域を脱出したときに状況が変わります。
ついに最小の場所が変わります。
軸が定義域の外に出てしまったからですね。
一方、今度は最大の場所は変わりません。
(D)
・x=2のところで最小
・x=0のところで最大
ここから先はいくらグラフを右に持っていっても
最大・最小の「値」は変わっても「場所」は変わりません。
最大値・最小値はyの値のことでグラフでは
一番高いところ・一番低いところ
と読み取ってもらったらOKです。

場合わけのポイントはわかりましたか?

今は「(グラフの)軸が定義域の線を越える」のような表現を
しましたが、これをちゃんと数式で書いてみましょう。

再度問題の式を書いておきます。
y=x^2-ax+3 (0≦x≦2)

まず(@)は
「軸が左側の線(x=0)よりも左」
なので

 軸<0

軸はa/2なので数式で書くと

 a/2<0

これをaについて整理しておきましょう。

 a<0

よってノートに書くのはこんな感じになります。
=================================
a/2<0 つまり a<0 のとき
x=0で 最小値3
x=2で 最大値-2a+7
=================================
最大・最小の値をいきなり書いてしまいましたが、
これは簡単な計算で求めるものです。
具体的に「最小値を求めること」は
「x=0の時のyの値を求めること」
なのでグラフの式にx=0を代入して右辺を計算するだけです。
最大値も同様にして求められます。
答えにaが入っててもいいのはaが
xやyのように「変数」ではなく「定数」だからです。
もちろんaの値が変われば最大値は変わりますが、
aの値がa<0の範囲で変わる場合は
x=2のところで最大になることは変わりません。
このようにいろんな値をとる最大値をまとめたものが
-2a+7という文字式だと思ってもらえればいいかと思います。

(A)は
「軸が左側の線(x=0)よりも右で定義域のど真ん中(x=1)よりも左」
なので

 0≦軸<1

つまり

 0≦a/2<1

辺々2倍して

 0≦a<2

ここで0の方は「<」でなく「≦」になっているのは
先ほどの(@)の場合に「軸<0」として「軸=0」の時を
含めてなかったのでここに含めました。
基本的にはどちらかの場合に含めればOKです。
どちらにも含んでも間違いではありませんが
二重に扱うことになるのでそれはあまり好まれません。
軸=0の時の答えを2通りで計算できるように
許可してしまうからです。
答えは1つに決まる方が数学的にもプログラミング的にも
都合がいいのです。

よってノートに書くのはこんな感じ。
=================================
0≦a/2<1 つまり 0≦a<2 のとき
x=a/2で 最小値-a^2/4+3
x=2で 最大値-2a+7
=================================

(B)は最大になる場所が2ケ所になる特殊な場合です。
「軸が定義域のど真ん中(x=1)」
なので

 軸=1

つまり

 a/2=1

両辺2倍して

 a=2

よってノートに書くのはこんな感じ。
=================================
a/2=1 つまり a=2 のとき
x=1で 最小値2
x=0、2で 最大値3
=================================

もともとは
x=a/2で 最小値-a^2/4+3
x=2で 最大値-2a+7
ですが、今回は「a=2のとき」と宣言したとおり
aが具体的な値の場合を考えているので
普通に求めたこの式の「a」にさらに「a=2」を代入します。


(C)は
「軸が定義域のど真ん中(x=1)よりも右で右側の線(x=2)よりも左」
なので

 1<軸≦2

つまり

 1<a/2≦2

辺々2倍して

 2<a≦4

ここで軸=1の場合について。
(A)(C)で1の方が「≦」ではなく「<」になっているのは
軸=1の場合は(B)で「特殊な場合」として別扱いしたので
(A)(C)には含めないということです。
よってノートに書くのはこんな感じ。
=================================
1<a/2≦2 つまり 2<a≦4 のとき
x=a/2で 最小値-a^2/4+3
x=0で 最大値3
=================================

(D)は
「軸が右側の線(x=2)よりも右」
なので

 2<軸

つまり

 2<a/2

両辺2倍して

 4<a

よってノートに書くのはこんな感じになります。
=================================
2<a/2 つまり 4<a のとき
x=2で 最小値-2a+7
x=0で 最大値3
=================================


(@)〜(D)をまとめて
=================================
a<0 のとき
最小値3(x=0)
最大値-2a+7(x=2)

0≦a<2 のとき
最小値-a^2/4+3(x=a/2)
最大値-2a+7(x=2)

a=2 のとき
最小値2(x=1)
最大値3(x=0、2)

2<a≦4 のとき
最小値-a^2/4+3(x=a/2)
最大値3(x=0)

4<a のとき
最小値-2a+7(x=2)
最大値3(x=0)
=================================

というように長い答えになります(^^;



【訂正】2014.1.11 
@の式を訂正
正:@ y=x^2-ax+3 (0≦x≦2)
誤:@ y=x^2+ax+3 (0≦x≦2)

x=2のときの値を訂正
正:-2a+7
誤:2a+7

a=2のときの最大値を訂正
正:3
誤:11
posted by ジュンジ at 14:48 | Comment(8) | TrackBack(0) | 数学T

2009年05月02日

【数T】展開と因数分解 その4

それでは「最低次数が2次のとき」の流れ。
@〜Bまでは一緒です。
例として
2x^2 + 3xy - 2y^2 + x + 7y - 3
を解いてみましょう。

@共通因数でくくる
 2x^2 + 3xy - 2y^2 + x + 7y - 3
 共通因数は無いのでスルー

A次数をチェック。
 x⇒2次
 y⇒2次

B最低次数の文字について降べきの順に整理。
 xもyも2次なのでどちらでもよい。
 ここではxについて整理して話を進める。
 降べきの順なので
 (2次の項)+(1次の項)+(定数項)
 というふうにまとめる。
 2x^2 + 3xy - 2y^2 + x + 7y - 3
 =2x^2 + 3xy + x - 2y^2 + 7y - 3
 =2x^2 + (3y + 1)x - 2y^2 + 7y - 3

C共通因数があればくくる
 ないのでスルー
 2次の項、1次の項、定数項それぞれで因数分解しても
 共通因数はないので完璧スルー


ここからが「最低次数が1次」とは違ってくる。
この式はxに関してみると2次式である。
だから「たすきがけ」で解くことができる。
2次の項の係数2は 1と2 の掛け算。
それじゃあ定数項は何と何の掛け算か?
ということでそこを掛け算の形にすることが必要。
「掛け算の形にすること」=「因数分解」である。


D2次の項の係数、定数項をそれぞれで因数分解する。
2次の項の係数
 2 = 1 × 2
定数項
 - 2y^2 + 7y - 3
 = -(2y^2 - 7y + 3) ←たすきがけを使う
 = -(2y - 1)(y - 3)
つまり
 2x^2 + (3y + 1)x - 2y^2 + 7y - 3
 =2x^2 + (3y + 1)x - (2y - 1)(y - 3)

Exについてたすきがけ

 1 \/ 2y - 1   ─ 4y - 2
 2 /\ - (y - 3) ─ -y + 3
              3y + 1
よって
 2x^2 + (3y + 1)x - (2y - 1)(y - 3)
 =(x + 2y - 1){2x - (y - 3)}
 =(x + 2y - 1)(2x - y + 3)

F見た目をきれいに整理する
 今回はすでに見た目の順番がきれいなのでスルー

これで終了。

この方法に従えば
a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)
のような問題も必ず解ける。

最低次数が3次以上でもとりあえずは降べきの順に整理してみる。
そこで共通因数があればくくってやることで、
くくり出した文字については残ったカッコの中で
次数が下がっているのでカッコの中での最低次数は
最初より下がっている。
そうやって次数が2次以下まで下がれば解ける!


「最低次数文字」について降べきの順にまとめる

このことを忘れないように。
これを知ってるか知っていないかの差はかなり大きい。
posted by ジュンジ at 02:42 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学T

【数T】展開と因数分解 その3

因数分解するための工夫として「置換」するために
くくり方をいろいろと考え、
中にはうまく解けるものもあります。
例えば

a^2 - 2a + 1 - b^2

これなんかは前の3項をまとめるとうまくいきます。

a^2 - 2a + 1 - b^2
=(a - 1)^2 - b^2
={(a - 1) + b}{(a - 1) - b}
=(a - 1 + b)(a - 1 - b)
=(a + b - 1)(a - b - 1)

中学の x^2 - y^2 の公式を利用してうまく解けましたね。
でもこうする人もいると思います。

a^2 - 2a + 1 - b^2
=a^2 - b^2 - 2a + 1
=(a + b)(a - b) - 2a + 1

確かに間違ったことはしていませんが、
これ以上どうしようもなくなってしまいました。

このように思いつきでやるとうまくいったり
いかなかったりするのでそこでつまずいてしまうのです。

そこでどんな問題でも
とりあえずは解ける方法というのがあるわけです。
正確には「どんな問題でも」というわけではありませんが…


ではその基本的な解法の流れをまとめておきます。

@まずは共通因数があればそれでくくる

A文字が複数ある場合はそれぞれの文字の次数をチェック

Bいちばん次数が低い文字について「降べきの順」に整理

第1段階はここまで。
ここまでの手順はどんな因数分解の問題でもやってやると良い。

ここで「最低次数」が「1次」の場合はその式を
1次式として見ることができます。
1次式の因数分解は「共通因数でくくる」ことしかできません。
なのであとは共通因数を見つければほぼ終了です。
具体的に

 a^2・m - abm + bm - am

を例に見てみましょう。
@共通因数でくくる
 m(a^2 - ab + b - a)

A次数をチェック。
具体的にはくくったカッコの中の文字についてのみ。
 a⇒2次
 b⇒1次

B最低次数の文字(ここではb)について項べきの順に整理。
 m{b(-a + 1) + a^2 - a}

C共通因数があればくくる
 今のところはないのでスルー

D共通因数を見つけるためにbが1次の項、定数項それぞれで因数分解する。
 1次の項 b(-a + 1) = -b(a - 1) 
 定数項  a^2 - a = a(a - 1)
つまり
 m{b(-a + 1) + a^2 - a} = m{-b(a - 1) + a(a - 1)}

E共通因数でくくる
 ここでは(a - 1)が共通因数
 m(a - 1){-b + a}

F見た目をきれいに整理する
 m(a - 1)(a - b)


以上が「最低次数が1次のとき」の基本的な解法の流れ。
つづく。
posted by ジュンジ at 02:14 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T