2017年01月16日

【数U】センター数UBのU(2017年)

第1問
[1]三角関数
使う公式はcosの半角の公式のみ!
の基本対称式がわかったところで、連立して解いてもいいけど、できれば二次方程式の解と係数の関係を使った方がスマート。絶対値の大小関係と2乗の大小関係は同じなので異なる2つの解のうちどちらがαのものかもわかる。あとはAからcosαとcosβが異符号でαとβの範囲とα<βよりcosαは正、cosβは負とわかる。

[2]指数・対数関数、図形と方程式
最初は真数条件。次は内分の公式。そしてDを整理する対数の性質など基本問題を誘導に従って解いていくとp、qまで求まる。最後は常用対数から小数にする計算問題だが、分母に小数が来るので計算が面倒。まずは底を10に変換。そして式を整理してから小数にして、小数第2位まで計算したらあとは四捨五入で終わり。

第1問は標準からやや難といったレベル。


第2問 微積分
(1)は基本的な接線の問題。定数aを含んだ状態での立式になるが誘導に従って解いていこう。
(2)は面積の問題だが、三角形なので積分を使うまでもなくRのy座標とPのx座標を利用して底辺×高さ÷2で計算しよう。Sはaの3次関数になるので微分して増減表を書いて最大値を求めよう。
(3)Tは図を描くと上が曲線Cで下が接線l、左はx=0、右はx=aに囲まれているので簡単な公式は使えず、地道に積分して計算するのみ。最後の指定範囲においてTの増減を知りたいときはS'の値が正か負かをチェックすればいい。S'は2次関数なので平方完成すれば軸が3/7でaの範囲は2/3から1なので2/3で最小。そしてそのS'の最小値が正なので、指定範囲内では常にS'>0となるので増加する。

少し計算は多いが難易度的には標準。



【数T】センター数TAのT(2017年)
【数A】センター数TAのA(2017年)
【数U】センター数UBのU(2017年)
【数B】センター数UBのB(2017年)
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2016年01月18日

【数U】センター数UBのU(2016年)

数UBは例年通りの構成での出題。
ただここ数年続いた図形と方程式に関する問題はなかった。


第1問
[1]
指数・対数関数からの出題。
(1)はそれぞれ基本問題。
(2)は珍しくグラフの位置関係に関する問題。
式を整理して元になるグラフとxやyがどう変わったかを調べると良い。
xが-xになったのならy軸に関して対称移動
yが-yになったのならx軸に関して対称移動
xとyが入れ替わったらy=xに関して対称移動
が知識として必要。
それが無理なら実際に簡単にグラフを描いて調べる方法でも良い。
(3)も頻出問題の一つ、2次式タイプの対数関数。
難易度はやや易

[2]
三角関数の問題。
まずは誘導に従ってAの形に整理しよう。
Aは右辺が0で左辺は因数分解されているので
または
を解けばという解を得る。
一方
となり
単位円の上半分とy=4kの共有点の個数を考えることになる。
4k>1のときは解なし
0<4k<1のときは解は2個
だがを合わせると
4k>1のときは解は1個
0<4k<1のときは解は3個
となる。
また4k=1のときはsinの方から出てくる解が1個あるが
それがcosから出てくる解のと一致するので
重解となり解の個数は1個となる。
(2)はk=4/25をAに代入しsin2xを求めればよい。
あとは相互関係式の利用、2倍角の公式の利用。
ここはやや難

第1問全体としては標準


第2問
微積分の問題。
(1)の定積分は基本問題。
積分範囲が書いてあるのであとはC1-C2の式を積分しよう。
その直後にSの最小値の問題があるが
Sは2次関数なので微分は不要。
平方完成で事足りる。
数学TAで出題されなかった代わりだろうか(^^;
(2)は図やグラフを描くのが苦手な人や
「共通部分が空集合」という表現に戸惑う人は
つまづいたかもしれないが、
そこが大丈夫なら特に難しい問題はなかった。
最後はTの最大値に関する問題だが
今度は3次式なので微分が必要。
今回は積分の面積の公式を使う機会がなかったので
実際に定積分の計算が必要になる。
難易度は標準



【数T】センター数TAのT(2016年)
【数A】センター数TAのA(2016年)
【数U】センター数UBのU(2016年)
【数B】センター数UBのB(2016年)
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2015年01月19日

【数U】センター数UBのU(2015年)

それでは数UBの数U行きたいと思います。

第1問
[1]は3年ぶりに出題された三角関数。
座標に三角関数が使われていたことで
抵抗があった人も多かったと思う。
というのも実際に式を立てる時に必要な知識は
三角関数ではなく図形と方程式の単元の方だからだ。
式を立てた後の計算が三角関数の分野になっていた。
(1)のOP、PQ、OQに関してはすべて2点間の距離の
公式を使えばよい。
その後は三角関数の相互関係式を使って整理。
OQについては加法定理を普段とは逆に使って合成する。
OQの最大値に関しては頻出問題と言えるだろう。
(2)は直線OPの式を選択肢から選ぶ問題だが
OPは原点を通る直線なのであとは傾きを求めればよい。
そこに三角関数が出てくるが気にせずにいつも通りやればOK。
3点O、P、Qが一直線上ならばどちらも原点を通るので
OPとOQの傾きが等しいという式を立てても良いが
「このことにより」ということから
先ほどの式を利用することを考えると
点Qは直線OP上にあるので点Qの座標をxとyに代入すればよい。
(3)の∠OQPが直角になるときはOP=2、PQ=1であることを
見落とさなければその図より1:2:√3でOQ=√3であることが容易にわかる。
それがわかればOQ^2=5+4cos6θにOQの値を代入して解けばθが求まる。
またOQとPQが直角なので傾きの積=-1としても解ける。

[2]は指数関数の問題。
平方根や3乗根などのルートを指数で表してから
連立方程式を解くといいだろう。
(2)の最小値の問題は相加平均・相乗平均を
使うことまでも誘導されているので
そこに苦労はしなかっただろう。
それよりもここは指数法則をきちんと
理解できているかが分かれ道だろう。

第1問はやや難


第2問
例年通り微積分の問題。
珍しいのは微分係数を定義に従って求める問題があったこと。
最初に習ったあとは公式ばかりになってしまうので
もしかしたら最初だけできなかった人もいるかもしれない。
ただ公式で微分して求めることもできるので
(2)からの問題に特に影響はしないだろう。
後半の面積Sや面積Tを求める問題は
少し計算が面倒ではあるが難しくはない。
S-T>0という3次不等式は因数分解してやれば
なんとなく解答欄に合う値は1つしか出てこないが、
大体のグラフは書いてもらいたいところである(笑)
ただ今回はa>0ということから両辺をaで割ることができ
そうすれば二次不等式になるので簡単に解ける。
最後のS-Tの最小値も「増減を調べると」と
増減表を書くようにヒントが書かれている。
ここは標準。


【追記】第2問の解説を追記しました。2015.1.21



【数T】センター数TAのT(2015年)
【数A】センター数TAのA(2015年)
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2014年09月11日

【数U】グラフの通過領域

ゆーさんより質問いただきました
グラフの通過領域の問題です。

 
 mが実数全体を動くときの存在する範囲を求めよ。


問題文の解釈としてはmがある値のときの
のグラフ、つまり
中心が、半径の円が
通るところを集めたらどんな範囲になるか。
ということです。

適当にmを決めて、円をいくつか描いていくと
なんとなくこうなりそうだ
ということはわかりますが、
はっきりとこの範囲だというには
いささか説得力が足りませんし
mはすべての実数なのだから
無限個の円を描き切ることは無理です(^^;


そこで考え方を変えてみましょう。
mを決めて図形を確認するのではなく
逆にxy平面上の点を決めて、
それが等式の解になりうるかどうかを確認するのです。
xとyを決めてもmが等式に残ってしまいますが
そのmを調整して等式が成り立つことがあれば
その点(x,y)はグラフの通過点である
ということになります。
グラフや領域は方程式の解を集めたものですからね(^^)

ただこの方法でもxy平面上の点は無限個あるので
全ての点について等式が成り立つmがあるかどうかを
調べることはできませんが、
その辺はうまくできるようになっている
ものだろうと思って話を進めていきます(笑)


まずはやはり具体例で考えていきましょう。

例1 点(1,0)は円の通過領域かどうか。
これを考えるにはまずの式にx=1、y=0を代入します。

 x=1、y=0のとき

 

今のxとyの値で、この等式が成り立つかどうかは
この等式を成り立たせるmが存在するかどうか。
実際にこのmの二次方程式を解いてみましょう。

 

よってx=1、y=0のときはmがこの値のときに等式が成り立つ。
言い方を少し変えると
x=1、y=0のとき等式を成り立たせる実数mは存在するので
(1,0)はこの方程式の解となりうる。
つまりは点(1,0)はグラフの通過点である。

もう1つやってみましょう。

例1 点(1,2)は円の通過領域かどうか。

 x=1、y=2のとき

 

よってこのmの方程式の実数解はないことになります。
したがってx=1、y=2のとき等式を成り立たせる実数mは存在しないので
(1,2)はこの方程式の解となることはない。
つまりは点(1,2)はグラフの通過点ではない。

このようにx、yを指定して
等式を満たすmがあるかどうかで
その点が通過点かどうかを判断できます。
ここで大事なのはmがいくらでもかまわず
とにかく指定されたx、yに対して
等式が成り立つことがあればいいということです。
つまり先ほど作ったmの二次方程式でmを求める必要はなく
mが実数解を持てばよいというだけのことなので
判別式Dを考えて、
D≧0であれば指定された(x、y)は
通過点であると言えます。

そしてx、yの値の指定はなにも最初にする必要はなく
判別式にしてからでも構いません。
そこで最初にx、yを指定せずに
先にをmの二次方程式として見て、
判別式を立ててみましょう。

まずはをmについて降べきの順に整理。

 

これをmについての二次方程式として見て
その判別式Dを式にする。



ここでx、yを指定して、このDが0以上であれば
その点(x、y)は通過点であるということですが、
ここでもx、yを指定せず、このDが0以上になるという
条件を与えて、それを満たすx、yの関係式を作ります。



ここまで整理したら判断は簡単ですね。
x、yを掛けて1以上の点なら通過点です。

この不等式を満たすx、yが
通過点の集合でそれはもともと求めたかった
の存在する範囲
の領域を表す不等式に他ならないのです。
ということでこの不等式の左辺をyのみにして
グラフを描けば領域も図示できますが
両辺をxで割る計算が必要なので
xが正、0、負の場合に分けないといけません。

x>0のとき

 

よってx>0ではグラフの下側が通過点。


x=0のとき

 

よってx=0では全てのyが通過点。


x<0のとき

 

よってx<0ではグラフの上側が通過点。


あとは図示してもらえばいいのですが、
簡単に言っておくと
双曲線に挟まれたところ(境界線を含む)が
の存在範囲です(^^)
posted by ジュンジ at 01:22 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U

2014年05月08日

【数U】恒等式(三角関数との融合問題)

やっくんさんより質問いただきました。
ありがとうございます。

3つのうちの1つ目を投稿します。
あと2つはもうしばらくお待ちください。

=======================================

k、α、βは実数の定数とする。すべての実数θに対して等式
cosθ+cos(θ+α)+cos(θ+β)=k が成り立つような
k、α、βの値をそれぞれ求めよ。ただし0≦α≦β<2πとする。

=======================================

「すべての実数θに対して成り立つ」ということで
これは「θについての恒等式」という意味ですね。
恒等式になるように他のk、α、βという3つの定数を
係数比較法か数値代入法で求めればOKです。

しかし今回θについて式をまとめるのが難しいので
数値代入法の方が良いでしょう。

ということで
θに好きな値を代入して式を作っていきましょう。
今回求めるのはk、α、βの3文字なので
式も3つ作る必要があります。


まずは  のとき

 
 … @


次は  のとき

 
 … A


最後は  のとき

 
 … B


A+Bより

 

これを@とBに代入すると


 

 … C
 … D


これを普通に解いてもいいのですが
Dの式に注目してαとβの関係を考えてみたいと思います。

 

この関係を単位円で考えると角αとβは原点対称か
x軸に関して対称の位置関係であることがわかります。

原点対称のときは

 

このとき α≦β より 0≦α<π、π≦β<2π である。
これをCに代入すると

 

となり不適。


x軸に関して対称のときは

 

このとき α≦β より 0≦α<π、π≦β<2π である。
これをCに代入すると

 

0≦α<πより

 

またこのとき

 

したがって

 
posted by ジュンジ at 13:25 | Comment(1) | TrackBack(0) | 数学U

2014年02月04日

【数U】指数関数を二次関数に帰着する

受験生さんより質問いただきました。
ありがとうございます。

===========================================

f(x)=2^2x-2^x+2-1の最小値は
2^xでまとめて平方完成ではないんですか?
因みにx+2の部分は指数です。
見にくくすみません。
よろしくお願いします

===========================================


の最小値を求めるなら平方完成でいいと思います。

2の指数部分のxの項を見ると、
は2で は1です。
この2つが2:1の関係なら比が1の方を基準にして
置き換えると2次式に帰着できます。
つまり二次関数の最小値を求める問題なので
平方完成すればよいということになります。

今回は

  を t とおく

のようにすれば

 

と置けます。
の方は

 

と置き換えられます。
これでもとの式は

 

と置き換えられたので平方完成すれば
いいのですが、最大・最小値を求めるには
変数の定義域が決まらないと
最大・最小値も決まりません。
今回変数はtなのでtの変域が必要ですが
これは置き換えた時に一緒に考えておく方が
無駄がないでしょう。
ということで

   を t とおく(t>0)

としておけばOKです。
posted by ジュンジ at 11:15 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U

2014年01月28日

【数U】【旧数A】二項定理を因数分解に利用する

ひろさんより質問いただきました。
ありがとうございます。


========================================================================

S=(1-p)^9+36p^2(1-p)^7+126p^4(1-p)^5+84p^6(1-p)^3+9p^8(1-p)

T=9p(1-p)^8+84p^3(1-p)^6+126p^5(1-p)^4+36p^7(1-p)^2+p^9

この時
S-Tを因数分解した形で求めよ。

という問題なのですが、全然わからなかったので、解説付きでお願いします!!

(問題の式が読みにくいのはすみません。)

========================================================================

まずは問題で言われてる式を書いてみます。
とりあえず(1-p)の次数に注目して項べきの順に整理しながら。




(1-p)は1次ずつ下がるのに対し、pは1次ずつ上がってます。
さらには係数が左右対称になっていることに気付きます。
ここで疑うのは二項定理に当てはまっていないか?ということ。
そこで各係数をnCrを使って表せないか確かめます。



なのでこれを使って先ほどの式を書き換えると



係数に交互に出てくる「-(マイナス)」をpにくっつけて考えつつ
規則が見やすいように1項ずつで改行すると



規則を考えると次のように書いた方がわかりやすい



ということでわかりやすくΣを使ってまとめると



よって



posted by ジュンジ at 13:59 | Comment(3) | TrackBack(0) | 数学U

2014年01月20日

【数U】センター数UBのU(2014年)

次は数UBのU。


第1問
去年に続き、またしても三角関数が出題されなかった。
これはかなり予想外であった。
[1]図形と方程式
(1)はp、qが具体的にはならないままだが
・2直線の垂直条件
・傾きと通る点の座標から直線の式を立てる
・グラフの交点の座標
・点と直線の距離
の基本問題。
(2)は与えられた条件からp、qが具体的に求まり、
円の式を立てる問題と
内分・外分の様子を答えさせる問題。
公式をしっかり覚えていれば難しいところはない。

[2]対数関数
対数不等式を満たす自然数解に関する問題で
珍しい問題ではあるが誘導にしたがっていけば
これも難しいところはなかった。

第1問はやや易。


第2問
前半の「エ」のところで
pについての条件を問う問題があったが
式中では f'(x)=3x^2−p とpの係数が−1
なので不等号の向きには注意したい。
問題の条件を満たすにはf'(x)のグラフが
x軸と異なる2点で交わればいいので
f'(x)の頂点−p<0であればよい。
「カ」はf'(p/3)=0からpを求めればよい。
極値については増減表を書こう。
後半は接線、高次方程式、積分で面積
といった定番の問題。
最後の面積は特に何の工夫もなく
積分計算すればいいだろう。

第2問は標準。




【数T】センター数TAのT(2014年)
【数A】センター数TAのA(2014年)
【数U】センター数UBのU(2014年)
【数B】センター数UBのB(2014年)
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2013年10月05日

【数U】正領域と負領域

そらさんより質問いただきました(^^)

==================================

正領域と負領域

というのが分かりません…
何度か授業で説明を受けたのですが
いまいちよくつかめません>_<
下の問題の(2)はそれを使わないと
解けないそうなのですが…
他の解法はないのでしょうか?

以下、問題文です
宜しくお願い致しますm(_ _)m


A(3,0),B(0,3)とし,直線L:2ax+(a-2)y+b=0 とする。

(1)直線Lと直線ABが共有点をもつa,bの
条件を求めて,ab平面に図示せよ。

(2)直線Lと線分AB(両端も含む)が共有点を
もつa,bの条件を求めて,ab平面に図示せよ。

==================================

(2)について
他の方法はないかとのことですが、
あります。
それは後で【別解】として書いておきます。

(1)についてはこちらを参照
【数U】二直線が共有点を持つための条件


それでは正領域と負領域を利用した
解法を説明していきましょう。




問題で与えられた直線Lの式に注目。

 

これは方程式ですが、これを二つのグラフを
連立した結果として扱います。
どんなグラフかというと

 

このようにおいたとき、
このzの値が正になるのが「正領域」
このzの値が負になるのが「負領域」
ということです。
x、y、zの3次元空間において
これらの式は平面を表します。

例としてa=1、b=2のとき

 

のグラフが赤い面です。
黄色い面がz=0のグラフです。

20131005_3d_graph_01.gif

赤い面でz=0のときがもともとの式の直線Lを表します。
図では赤い面と黄色い面が交わっているところです。
今、その直線Lと線分ABは共有点を持っています。
この図のように赤い面が
点Aのところでは上側にあり、
点Bのところでは下側にある
ならば直線Lは線分ABと共有点を持つといえます。

逆に赤い面が
点Aのところでは下側、
点Bのところでは上側でも
直線Lは線分ABと共有点を持ちます。

またこの問題では線分ABの両端も含むので
赤い面が点Aか点Bのところで
ちょうど0の高さにあるときも
直線Lは線分ABと共有点を持つといえます。

ここで

 

とおくと、赤い面が点A(3,0)で上側(0以上)にあり
赤い面が点B(0,3)で下側(0以下)にあるというのは

 

と書けます。
これとは逆もOKなので

 

これらはひと言で言い換えると

 「f(3,0)とf(0,3)が逆符号」

ということなので積が負になるということです。
またどちらかが0のときもOKなので、まとめると

 

したがって

 

この不等式が表す領域を
図示すればOKです。






■■■【別解】■■■■■■■■■■■■■

グラフの共有点の話なので
グラフの式同士を連立しましょう。
そしてその解が点Aと点Bの間に
あれば良いというように
条件式をつければOKです。



まずは連立。
直線ABは

 

なので
これを問題の式

 

に代入して
xの解を求めます。
その出てきた解が
点Aと点Bの間、つまり

 0≦x≦3

であればよいのです。

実際に連立させると

 

この後、両辺をa+2で割りたいので
a≠−2のときと
a=−2のときで
場合分けが必要です。

a≠−2のときは解が

  

 になるのでこれを0≦x≦3に当てはめて

  

 とします。この不等式を整理するときに
 すべての辺にa+2をかけるので
 今度はa>−2のときとa<−2のとき
 に場合分けが必要ですがそれで
 aとbに関する不等式が得られ領域を図示できます。

 a>-2のとき

   

  これを整理して

   

 a<-2のとき

   

  これを整理して

   


またa=−2のときは

  

 という式に代入すると

  

 よってa=−2、b=12という点も
 図示すべき領域に含むことになります。
 (実際a=−2、b=12のとき
 問題で与えられた直線は
 直線ABと一致するみたいなので
 線分AB上のすべての点が共有点になります。)


したがって示すべき領域は

 

となります。
結果的に(a,b)=(-2,12)という点は
不等式が示す領域に含まれますね。
posted by ジュンジ at 13:53 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U

2013年10月02日

【数U】二直線が共有点を持つための条件

そらさんより質問いただきました(^^)

==================================

正領域と負領域

というのが分かりません…
何度か授業で説明を受けたのですが
いまいちよくつかめません>_<
下の問題の(2)はそれを使わないと
解けないそうなのですが…
他の解法はないのでしょうか?

以下、問題文です
宜しくお願い致しますm(_ _)m


A(3,0),B(0,3)とし,直線L:2ax+(a-2)y+b=0 とする。

(1)直線Lと直線ABが共有点をもつa,bの
条件を求めて,ab平面に図示せよ。

(2)直線Lと線分AB(両端も含む)が共有点を
もつa,bの条件を求めて,ab平面に図示せよ。

==================================

少し長くなりそうだったので
(1)と(2)を別々に分けて
記事を二つ投稿しますね(^^)



まず(1)について。

(2)についてはこちらを参照
【数U】正領域と負領域




二直線が共有点を持つのは2パターンあって

 その1:二直線が平行でない

直線はどこまででも伸びているので
傾きが異なっていればどこかで交わります。
では、平行なときは共有点がないのか?
そうではありません。

 その2:二直線が一致する

このときは直線上のすべての点が
共有点になります。

ということで二直線の式から見ていきましょう。
直線Lは問題で与えられたとおり

 

直線ABはA(3,0)とB(0,3)を通るので

 

直線Lの傾きを求めましょう。

 

ここで両辺を a-2 で割りたいので a-2=0 のときと
a-2≠0 のときに場合分けします。

■a-2=0 つまり a=2 のとき

  

 このときこの直線Lは傾きなしの真っ縦の直線で
 傾き-1の直線ABとは並行ではないので
 共有点を持つ。
 つまりa=2のときは共有点を持つ。

■a-2≠0 つまり a≠2 のとき

  

 この傾きが直線ABの直線と異なるとき
 共有点を持つので

  
 (※この中に先ほどのa=2も含まれる)

 また直線Lの傾きが直線ABに等しいときは
 切片も等しければ二直線は一致し共有点を持つ。
 傾きが等しいのは

  

 切片が等しいのは

  


したがって、まとめると
直線Lが直線ABと共有点を持つのは
a≠-2 または a=-2 かつ b=12
つまり
a<-2,-2<a と 点(-2,12)




図示しないといけないのですが
省略させていただきます。
でもほぼ一面がOKな領域ですね(^^;
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2013年01月21日

【数U】センター数UBのU(2013年)

数UB
第1問
例年どおりだと三角関数、指数・対数関数なのだが
今年は図形と方程式、指数・対数関数。
今のカリキュラムでのセンター試験も来年まで
というこのタイミングでまさかの変更!

[1]
2006年以降の数UBではおそらく初めて
出題された図形と方程式。
予想外の出題だが
内容は内分・外分点や
直線の垂直条件、
円の方程式などどれも基本問題ばかり。
過去問には出てこなかったであろう問題とはいえ、
数Uをやっているならこれくらいはできるはず。
レベル的には基本レベル。
[2]
連立の指数方程式。
与えられた方程式は見た目にやられそうになるが
置き換えや展開などは誘導があり、
自分で式を立てることは不要で
計算だけすればいいようになっているので
ここも解きやすかったと思います。

第1問は易。



第2問
まずは極値を求めるために微分して増減表。
ここでa>0という条件を忘れないように。
無意識にやってても-a<aとする人は多いので
きっと難なくクリアできたと思います。
極値の2点と原点を通る放物線は
y=px^2+qx+r
とおいて座標を代入して連立。
続く原点における接線lと法線mは
頻出問題ですね。
後半、放物線Dの式はすでにわかっているので
放物線Dと直線lの交点を求め
S=a/6(4a-0)^3
と、公式を使えば早く出せます。
Tの方も同様です。
S=T
のaについての方程式は
次数が高くなって少し大変ですが
(4a^3+1)^3=2^9・a^12
と整理して3乗根を取るとよい。

問題の内容や図の描きやすさは
少し易しめのような気もするが
そこそこの計算量なので
ここは標準レベル。




【数T】センター数TAのT(2013年)
【数A】センター数TAのA(2013年)
【数U】センター数UBのU(2013年)
【数B】センター数UBのB(2013年)
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2012年12月18日

【数U】【旧数A】二項定理の例題 その3

いきなりこの記事に来てしまって「???」な人は
まずはこちらをご覧ください(^^;

 【数U】【旧数A】二項定理をマスターしよう





問題

  
  の展開のの項の係数を求めよ


これは先の2問とは違って3項とも分母にxを持っておらず
xが減ることはないので何回ずつ取ればいいかは
比較的簡単に求まる。
10回取る中でxを全部で3個にすればいいので

  を1回

  を1回

とすれば残り8回は1項目の1を取ればいい。
しかし今回はxが3個になるのはこの場合だけではない。

  を0回

  を3回

とすれば残り7回は1を取れば、
やはりこれもxが3個になる。
よってどちらも出来上がるのは
の同類項なので、
係数を求める時はそれらを足したものを答えなければいけない。

先に書いた取り方を《パターン1》、
次に書いた取り方を《パターン2》と名付けよう。



まず《パターン1》から考えよう。
これは

  を1回

  を1回

  を8回

のことなので

  



次に同様に《パターン2》を考える。
こちらは

  を0回

  を3回

  を7回

のことなので

  



《パターン1》と《パターン2》を合わせると

  

したがって求める係数は780。




【数U】【旧数A】二項定理をマスターしよう
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その1
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その2
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その3
【数U】【旧数A】二項定理の一般項
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【数U】【旧数A】二項定理の例題 その2

いきなりこの記事に来てしまって「???」な人は
まずはこちらをご覧ください(^^;

 【数U】【旧数A】二項定理をマスターしよう





問題

  
  の展開の定数項の係数を求めよ



  をp回

  を5-p回

と置く。定数項とは0次式のxの項のことなので

  

よってそれぞれ2回、3回取ればいいので

  

したがって
  
  の展開の定数項は
  




【数U】【旧数A】二項定理をマスターしよう
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その1
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【数U】【旧数A】二項定理の例題 その3
【数U】【旧数A】二項定理の一般項
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【数U】【旧数A】二項定理の例題 その1

あたえちあきさんから質問いただきました。
ありがとうございます(^o^)


=========================================

@ (x^3-2x+2/x)^5の展開のx^3の項の係数
A (4x^3-1/3x^2)^5の展開の定数項の係数
B (1+2x-x^2)^10の展開のx^3の項の係数

この3問がよく分かりません
教えてください(;_;)

=========================================

二項定理の基本的な考え方については

【数U】【旧数A】二項定理をマスターしよう」

に書いていますので、そちらを参考にしてください。
ここでは@の問題を上記リンク先の説明に沿って説明していきます。

ABはそれぞれこちらにあります。

A【数U】【旧数A】二項定理の例題 その2
B【数U】【旧数A】二項定理の例題 その3





@の問題

  
  の の項の係数。

3項の多項式を5乗するという問題なので、
全部で5回取るチャンスがある時に
の3種類のものを
それぞれ何回ずつ取れば、最終的にxが3個になるのか?
と考え、それぞれの個数を決めるところから始めましょう。

ここで先ほどの3種類の項のxのみに注意すると

  は+3個

  は+1個

  は分母にあるxだから−1個

と考えることにします。

具体的に考えてちょうど3個になる組み合わせが

  を1回

  を2回

  を2回

と見つけられたらそれでOKです。
ただし組み合わせは1つとは限らないし
見つけ難い時もあるので、式を立てて求める方法を説明します。

いくらかわからないものを文字で置くのは数学の常套手段。
なので

  をp回

  をq回

と置くと、全部で5回なので

  は(5-p-q)回

となります。

よってその回数だけそれぞれのものを取るとxの個数は

 

となり、今回はそれが3個になる場合を考えているので

  

ここに使っているpとqは5回中何回という回数なので
0以上の整数であるという条件がついています。
なので

  

を満たすp、qの解は

  
  
  

の3通りしかありえないことがわかります。
このうちp=1、q=2の場合を例にとって説明すると

  をp回

  をq回

  を(5-p-q)回

と置いていたので、それぞれ

  を1回

  を2回

  を2回

ずつ取ればいいということになります。


これがわかったら取る予定のものを書き上げておきましょう。

 

次はこれらの並べ方を考えればいいので
5つ中、同じものを1個、2個、2個だけ含む順列と考え

   通り

よって、求めたかったの係数は

  

あとはこれを計算して係数を求めます。

  


これがp=1、q=2の場合なので、他の場合も同様に考えると
p=2、q=0の場合

  

p=0、q=4の場合

  



ということで、この3つを合わせて

  


よって
  
  の の項の係数は720。






さて、ひとつできたら他のも同様に考えてみましょう。

※記事に間違いがあったので訂正しました。(2013.11.7)


【数U】【旧数A】二項定理をマスターしよう
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その1
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その2
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【数U】【旧数A】二項定理の一般項
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2012年11月18日

【数U】三角関数の角度変換

りのさんから質問いただきました。
ありがとうございます(^o^)

======================================================

sin21π/4
=sin(5π/4+4π)
=sin5π/4
=sin(π/4+π)
=−sinπ/4
=−1/√2
=−√2/2

この問題をどうやって解いているのか分かりません。
明後日からテストなので、教えてもらいたいです。
よろしくお願いします。

======================================================
※質問の式の書き方をこちらで修正させていただきました。



三角関数の値を求める問題ですね。
この問題では

  

  

の公式を使っていますが、
値を求めるだけなら
最初の式の という角度が
単位円周上のどの位置にあるかがわかれば
答えられます。

ここでまず必要な知識は

  1周=360度
  そして360度を弧度法でいうと2π

ということです。

2πで1周なので
例えば を考える時は
まず が2以上の数であることを確認。
2以上なら「2」と「残りいくら」のように分けます。
なので

  

実際はπがついているので

  

ということになります。
これは という角度は


  1周と いったところ


にあることを意味します。
つまり は同じ場所ということです。
だから の値を答える時は
の値を答えればいいということです。
これを式で書いていくと次のようになります。

  







では質問の ですが、

  

とできます。
これは2周と のところということです。
先ほどは1周といくらかでしたが、
ぐるっと回ってくるのは1周でも2周でも3周でも何周しても
最終的にいる場所が同じなら同じと考えてOKです。

なので最終的な場所は与えられた角度を
2で割った余りに注目するなります。

だから「いくつかの 2π」と「残り」に分けるのですね(^^)
これが最初に書いた

  

の公式の意味です。
後ろの「2πn」の部分が「いくつかの『2π』」という部分で
これはn個の2πという意味で「残り」が「θ」の部分です。

ということでこの公式を使うと

  

ここで の値が答えられるなら

  

としてしまえば終了です(^^)

これをあえて180度つまりπまでの角度に変換して考えるなら
さらに続けます。



今度は

  

の方の公式を使います。
左辺の角度の部分について、単位円をイメージしてもらうと
これは

  θからπ進めたり、θからπ戻した場所

を示すことになります。
πは半周を意味する角度なので、少し考えると
θ+π も θ−π も同じ場所を表すことがわかると思います。
そしてその場所はθから見るとちょうど間逆、
きちんと言うと原点に関して対称な位置
であることもわかると思います。

sinの値は単位円周上の点のy座標のことなので
場所が間逆になるとy座標の値も正負が逆になります。
なので θ±π の場所のy座標は
θ の場所のy座標と逆符号の関係になります。
つまり

  (θ±π の場所のy座標)=−(θ の場所のy座標)

でありこれを式で表したのが

  

です。

では先ほどの続きに戻りましょう。

  

の角度は

  

と分解できるので

  

のようにできます。



このような公式はsinだけでなくcos、tanにもありますが、
式を文字列として暗記するのではなく
単位円を使った図で理解しておくことが重要です。

もう少し先で加法定理という公式を習えば
それを利用することも可能です。
posted by ジュンジ at 00:40 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U

2012年01月16日

【数U】センター数UBのU(2012年)

第1問
[1]
まずは標準的な対数関数の問題。
真数条件や底に気をつけて解けばいいだけでここは
つまずくことなくいけた人は多かっただろう。
ここはやや易。
[2]
最初に条件式が与えられ、
具体例としてα=π/6のときのβを求める。
ここまでは問題ないが、ここで止まってしまった人も多いと思う。
問題文と解答欄から
β1とβ2をαで表すことで
yをαの関数として扱えるようにしてその最大値を求める
と推測できるがβ1、β2をαで表す方法に困っただろう。
そういうときこそ最初の具体例に戻るべきで、
そこでやったことを一般化する。
α=π/6の時、2βはπ/3、5π/3の位置になる。
5π/3はx軸を中心にπ/3と対称な位置である。
そのπ/3はπ/2−αの位置になる。
これを一般化すると
2β1=π/2−α
2β2=2π−β1
ということになる。
ただしこれはα=π/6のときなので
これで求まるのは0≦α<π/2のときの方だけである。
ではαが鈍角の時はどうなるか。
αのsinと2βのcosが等しい関係なので
角αの動径と単位円の交点のy座標を
そのままx座標にうち、そこから真上に伸ばして単位円と交わるところに
動径を書くとその動径までの角度が2β1ということになる。
この2つの動径の関係を観察するとその間の角の大きさは90°になっている。
よってπ/2≦α≦πのときは
2β1=α−π/2
2β2=2π−2β1
となる。
あとはそれぞれの場合でα+β1/2+β2/3をαのみで表し、
その範囲を求めれば、最大値とその時のαを求めることができる。
加法定理、2倍角、半角、合成などの公式は一切不要だったが
誘導もなしに等しく、文字も多くわかりにくかったので
ここは難。
ここで時間を使ってしまうと焦りに繋がるので
飛ばしてしまうのが無難だろう。
第1問全体としてはやや難。

第2問
点Pが曲線C上のどこにあるか不定なので図が定まらないが、
まずは接線を求めるのは微分係数と接点があれば大丈夫。
次の点Pにおける共通接線の問題は
点Pにおけるy座標が等しいこと
点Pにおける微分係数が等しいこと
を知っていれば図がなくてもp、qの式は求まっただろう。
(2)は3次方程式の解の個数に関する問題。
ここは丁寧な誘導があるのでそれにしたがってグラフを描けばわかる。
(3)の面積を求める問題は計算量が多く大変だっただろう。
先に解答欄を見ておくと9や16などという数字を
実際に掛け算しなくてもいいことに気付ける。
さらに |a|/12×(βーα)^3 を使える人はだいぶ楽ができたはず。
ここは標準。




【数T】センター数TAのT(2012年)
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2011年06月15日

【数U】三角関数の周期の求め方

しゅうき(シウキ)【周期】
〔一回りする期間の意〕 ほぼ等間隔を置いて繰り返し同じ△現象が見られる(運動が行われる)時の、その時間的間隔。

Shin Meikai Kokugo Dictionary, 5th edition (C) Sanseido Co., Ltd. 1972,1974,1981,1989,1997


まぁ砕いて言うと、
繰り返しになってる部分から取り出した
その1パターンの幅って感じですかね。


単位円を使ってsinの値を考えると
まずは0から徐々に増えていき、
1までいったら今度は徐々に減っていく。
そして-1まで減ったらまた増えてくる。
単位円周上を1周すると元の位置に戻り
そこからはこれの繰り返しで値が変化する。

単位円をぐるっと1周する間にsinの値が変化するが
そこから先はそれの繰り返し。
つまりはsinθのθが0から2πまで1周するのが1周期
ということになる。

そこでθ=3xの場合

 sin3x

となるとこの3xの部分が2πになった時が1周したとき
なので

 3x=2π より
 x=2π/3

よってxが2π/3の時にsinの値が1周するので
周期は2π/3である。




cosも同様に周期を求められる。
cosも単位円を1周するとあとは繰り返しだから。
cosθならθが0から2πまで1周するのが1周期。
なので例えばcos2xなら

 2x=2π より
 x=π

よって周期はπ。



ただしtanは要注意。
tanは単位円を1周ではなく半周するとそこからが繰り返しになる。
具体的にはtanθはθが0からスタートするとπまでの値を繰り返す。
よってtanθはθの部分が0からπになるまでが1周期。

そこでθ=x/3の場合

 tan x/3

となるとこのx/3の部分が2πではなくπになった時が1周期
なので

 x/3=π より
 x=3π

よって周期は3πである。



まとめておくと
sin ax、cos ax は ax=2π
tan ax はax=π
という式を立ててxについて解けばそれが周期である。





ちなみに sin(3x+π/2) の場合はxの項だけに注目して

 3x=2π

を解けばよい。
そしてもうひとつ、こちらは要注意。
sin3(x+π/2) の場合は
=sin(3x+3π/2)
なので

 3x=2π

を解けばよい。
つまりは


【まとめ】
『角度のところの式を展開した時のxの項』=2πをxについて解けばよい。
ただしtanの場合は『角度のところの式を展開した時のxの項』=πを解く。
posted by ジュンジ at 01:54 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学U

2011年03月19日

【数U】【旧数A】二項定理の一般項

守谷さんから質問いただきました。

==============================================
はじめまして、こんにちは。
いつも楽しみながら見ています。
二項定理のところで質問します。

参考書を開くとこのように書かれていました。

(a+b)^nの一般項(第r+1項)はnCra^n-rb^rである。

この文の意味ですが、
分かるような分からないような、
理解しようとしても、雲をつかむ感じです。
・・・(r+1)ってなんだー!?


教えていただけないでしょうか?
(あやふやな質問で申し訳ありません)
==============================================



いつも数学のコツをご覧いただきありがとうございます。
質問の二項定理の一般項について説明させていただきますね。





まずは具体的なイメージをつかむために
n=100としていくつか実際の項を書いてみましょう。

(a+b)^100
=100C0・a^100・b^0
+100C1・a^99・b^1
+100C2・a^98・b^2
+100C3・a^97・b^3
+100C4・a^96・b^4
+100C5・a^95・b^5
+100C6・a^94・b^6
+100C7・a^93・b^7

+100C98・a^2・b^98
+100C99・a^1・b^99
+100C100・a^0・b^100

この式を眺めてみると
数字が変化するところが3ヶ所あります。

「Cの後ろ」と「bの指数部分」は0から1ずつ増えていくカウントアップ
「aの指数部分」は100から1ずつ減っていくカウントダウンになっています。

それぞれの数字と何番目(第何項)かの数字を比べると

 1番目では「0」と「100」
 2番目では「1」と「99」
 3番目では「2」と「98」

このように具体的にその関係性をみると

 ○番目では「○より1小さい数」と「100−(○より1小さい数)」

というような関係が見えてきます。
これがいわば公式みたいなもので
例えば50番目の項を知りたければ
この「○」に50を代入すればいいのです。
実際には

 50番目では「50-1、つまり49」と「100-(50-1)、つまり51」

となり実際の式で書くと

 100C49・a^51・b^49

という項が求まります。


数学の公式ではこのような「○」という記号ではなく
その代わりに文字を使うのでその文字を「r」とすると

 r番目では「r-1」と「100-(r-1)」

ということになり、r番目の項、つまり第r項は

 100C(r-1)・a^{100-(r-1)}・b^(r-1)

となります。
これで第1項から順番に書いていかなくても
rに値を代入することで
1〜101項までの好きな項を即座に求めることが出来ます。
これが「一般項」と呼ばれる式です。

数Bの数列で出てくる一般項と同じ意味です。

よって

 第r項は 100C(r-1)・a^{100-(r-1)}・b^(r-1)

と書けます。
そしてこの次の第r+1は

 第r+1項は 100C(r+1-1)・a^{100-(r+1-1)}・b^(r+1-1)
 つまり 100Cr・a^(100-r)・b^r

と書けます。
見た目、こっちの方がすっきりしてますよね?

公式というのはどんな場合にも使える汎用性と
きちんと整理された美しさ(その方が覚えやすいから)
が要求されます。

なので二項定理の場合、一般項は第r項とするよりも
第r+1項とした方がベターということだと思います。


で、話を一番初めに戻しましょう。
今は具体的に(a+b)^100というように
n=100としていましたがこれをnに戻すと
先ほどの

 100Cr・a^(100-r)・b^r

という一般項は

 nCr・a^(n-r)・b^r

となります。



この一般項のrを0からnまで変化させ
それらの和が(a+b)^nの展開公式ということになります。


また二項定理を使って展開した式は
「式の一部分を1つずつ変化させたものの和」なので
総和記号Σを使うと
二項定理は簡潔になります。


       n
 (a+b)^n = Σ nCr・a^(n-r)・b^r
       r=0




2011.4.20 n=100の時の具体例におけるbの指数部分を訂正しました。
2013.4.25 記事カテゴリを【質問の返事】→【数U】に変更しました。
posted by ジュンジ at 23:18 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学U

2011年01月16日

【数U】センター数UBのU(2011年)

第1問
[1]
ここ最近は、指数・対数関数より先に出題されることのなかった三角関数。
問題レベルは標準。
最初のyをtで表す問題ができれば
後は誘導に従って解くだけ。
[2]
Xの解を求めるところまでは簡単。
そこから先は難しかったと思う。
X=log2 x
という式を
 x=2^X
に変えて、横軸にX、縦軸にxをとって考えるとわかりやすい。
xが自然数になるのはXが0以上なので
 5/2<X
X=5/2の時のxを考えると
x=4√2より約5.6とすれば
それより大きな最初の自然数は6となる。
最後の問題はこのブログでも書いていたように
普通のn次関数と指数・対数関数が混ざった方程式・不等式は
解くのではなく解を探しましょう。

(参考:2010年12月03日【数U】センター指数・対数関数のコツ

答えが2桁で、x と log3 x を足して14未満なので
10か11か12か13が答えです。
その全てで不等式が成り立つかどうかを考えなくても
log3 10、log3 11、log3 12、log3 13 のいずれも
2〜3の間の値だということに気付けばx=11だとすぐにわかります。

第1問全体としては標準。



第2問
ここは最初から最後まで教科書レベル。
基本がわかっていて計算さえ間違わなければ大丈夫だったはず。
内容的には
・接線を求める
・積分で面積を求める
・微分を利用して3次関数の最大・最小値を求める
ここは易。


【数T】センター数TAのT(2011年)
【数A】センター数TAのA(2011年)
【数U】センター数UBのU(2011年)
【数B】センター数UBのB(2011年)
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2010年12月03日

【数U】センター指数・対数関数のコツ

指数方程式や対数方程式は
底をそろえて解くことが多く、
それが基本だと言っても過言ではありません。

例えば

 2^x=4^5

であれば底を2にそろえて

 2^x=2^10
  x=10


 log2 x+log4 (x+1)=1/2

であれば真数条件x>0かつx>-1、つまりx>0の下で

 log2 x+log2 (x+1)/log2 4=1/2log2 2
 log2 x+log2 (x+1)/2=1/2log2 2
 2log2 x+log2 (x+1)=log2 2
 log2 x^2+log2 (x+1)=log2 2
 log2 x^2(x+1)=log2 2
 x^2(x+1)=2
 x^3+x^2−2=0
 (x-1)(x^2+2x+2)=0
 x=1 
 これはx>0を満たす
 よってx=1



しかしこれらが混ざった

 log2 (x+5)=2^x−5

のような方程式は簡単に解けません。


ただ!
センター試験は穴埋めでの解答なので
「方程式を解く」ことができなくても
「解を探し当てる」ことができます。

上の例題で解答欄が1桁の場合、
真数条件x>-5の下で
整数を順番に方程式に当てはめていき、
等式が成り立ったものが解である。

ということで x=3

もちろん、「方程式が成り立つのはまだまだ先だなー」と思ったら
「だいたいこんな数かな?」ってところまで飛んでください(^^)
posted by ジュンジ at 00:50 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U