2017年01月16日

【数B】センター数UBのB(2017年)

第3問 数列
(1)は数列の名前がaではなくsなのが無駄に和を想像させてくる(笑) が、そんなものにとらわれないように!
初項と公比が与えられているので最初の3項は1、2、4であることがすぐにわかる。あとは計算するだけ。
(2)は初項と公比がそれぞれxとrという文字になったが、これは(1)を一般化したものでこれも同様に最初の3項を考えるとである。これらをやはり同様に@Aの式に代入する。@の方を計算するとxr=aとなる。これをAを連立してxを消去するとCが埋まり、rの二次方程式の実数解が存在するためには判別式D≧0を整理すればDが埋まる。
(3)はaとbが与えられたのでCに代入してrを求め、次にBに代入してxを求める。ここでxとrは数列の初項と公比なので一般項が求められる。それがわかればの式に代入して対数の計算を進めればと求まり、これは等差数列と等比数列の積の形になっているのでその数列の和は誘導に従って計算すればよい。公比倍して1個ずらして引くやつと言えばピンとくるかな?(^^;

後半の計算がややこしかったが難易度はこれも標準。


第4問 ベクトル
座標の設定があるベクトルの問題。平面なので実際に座標平面に点を打って考えていくとよいだろう。
6点とも半径2の円周上の点なのでその座標はであることを利用するとBの座標が速く求まる。
(2)はベクトルONを誘導に従って求めていく問題。重要な立式はしてあるので自分で考えることはあまりない。やらなければいけないのは今回は座標が与えられているのでそれらをそのままベクトル成分として使うには始点を原点Oにする必要があるのでベクトルAMをベクトルOM−ベクトルOAのようにして計算する。それでベクトルAMとベクトルDCがわかったら、立ててあった式に代入してあとは成分比較の連立方程式を解いてs、tが求まる。それがわかればベクトルONもわかる。
(3)点Pの座標は(1、a)なのでこれとEの座標からベクトルEP=ベクトルOP−ベクトルOEでベクトルOEの成分がわかる。そして「このことにより」Hの座標がわかるという誘導だが、個人的にはここがわかりづらかった。求める点Hのx座標をxと置いてEP⊥CHよりベクトルEP・ベクトルCH=0から点Hのxを求めればよい。最後はベクトルでcos絡みは内積である。OPとOHの大きさはaを含む式でしか表せず少し複雑になるが、うまく計算できるようになっている。

第4問はやや難。


数UB全体としては標準。例年から比べると奇問がなかった。
個人的予想平均点は50点台前半。



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2016年01月18日

【数B】センター数UBのB(2016年)

第3問
今年は群数列の問題。
「真分数」という言葉を聞いたのは小学生以来
または覚えがないという人も多かったのでは?
でも丁寧に説明がありました(笑)
(1)に関しては実際にそこまで書き続けるのが早いです!
(2)は群数列としてはよくある問題ですが
1/kが初めて現れる群は第k群ではなく第k-1群であることに注意。
は1/kが第何項かを答える問題。
第k-1群の最初なので第k-2群の最後までの項数+1より
1+2+3+…+(k-2)+1
を計算すればよい。
が第何項かを答える問題。
第k-1群の最後なので第k-1群の最後までの項数より
1+2+3+…+(k-1)
を計算すればよい。
については
第何群の何番目かを考えれば良い。
もちろん今求めたものを利用して不等式を立てる。
ただしここで群の番号と分母の数のずれに注意。
(3)も群数列では頻出問題だがここでも軍の番号と分母の数のずれに注意。
kの値をどこからどこまで変えて、何群から何群までなのかをしっかり把握しよう。
(3)の1問目、群の中では等差数列なのでその和を計算すればよい。
2問目は1問目の答えを2からkまで変えて足すという



という式になるがm=1のとき



だから



としても支障ない。
第103項までの和は今の答えにk=14を代入し、第14群の中の残りは



としてこれを加えれば良い。
群数列が苦手な人にとってはここは難しかっただろう。
難易度はやや難


第4問
空間ベクトルの問題。
(1)は内積を計算した後、ベクトルPQを求め、
その絶対値の2乗を計算する。
それ自体は珍しくないが
s、tの2文字を含む式での最小値
というのは少し珍しい。
2次式なので平方完成するのだが
解答欄に合うように考えて行けば大丈夫。
(2)はベクトルOAとベクトルPQの内積の後に
∠APQの大きさなので計算も必要なく
内積0で90°である(笑)
もちろん実際にs、tを代入してベクトルPQを定めて
ベクトルOAとの内積を計算しても良い。
したがって△APQは直角三角形なので面積は底辺×高さ÷2で出せばよい。
ベクトルOGに関してGは△ABCの重心ということで式を立てる。
AG:GQ=2:1なので内分公式でベクトルOGの式を立てればよい。
最後は△GPQは△APQと底辺を比較すると
△GPQは△APQの1/3である。
難易度はやや易


去年の数UBは平均が低かったので今年は簡単になるだろうと思っていました。
確かに簡単になったと思いますが、できた人とできなかった人と
割と別れるような気がします。
特に三角関数、数列、ベクトルは差があると思います。
数UBの全体平均としては個人的に44点と予想します。



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2015年04月21日

【数B】漸化式 a_(n+1)=pa_n+q^(n+k)タイプ

 

このタイプの漸化式の解き方を2通り紹介したいと思います。



【解法1】 で割る

  

 ここでとおく

  

 ここからはタイプとしてを求めます。
 それが求まったらに戻して、両辺を倍すればOKです。
 あとで実際にやってみたいと思います。

-------------------------------------

【解法2】 で割る

  

 ここでとおく

  

 ここからはタイプと見れるので、
 階差数列の一般項がの数列として一般項を求められる。

-------------------------------------




例題
 で与えられる数列の一般項を求めよ



【解法1】 で割る
 
  
 
 ここでとおく

  

 特定方程式を作る

  

 次の2式で引き算する

  

  

 求めたを代入

  

 とおく

  

 これは公比がの等比数列である。
 初項を求める。

  

 したがって

  

-------------------------------------


【解法2】 で割る

  

 ここでとおく

  

 階差数列を利用して解く前にを求めておく。

  

  のとき

  

 この式に対してのとき

  

 先に求めておいたに一致しました。
 よってのときも

  

 が成り立つ。

  
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2015年01月19日

【数B】センター数UBのB(2015年)

第3問
数列{an}は周期的変化の数列、
数列{bn}は漸化式で定義されている。
それだけだと難しいが誘導に乗って行けば
序盤は問題なく進んでいけただろう。
問題は解答欄コの辺りから。
周期的変化の数列ではよくやることだが
anの4種類の値によって数列を4つに分けるのである。
b1、b2、b3、b4までを具体的に求めておいて
b1、b5、b9、…
b2、b6、b10、…
b3、b7、b11、…
b4、b8、b12、…
のように4つの数列に分けると
初項はそれぞれb1、b2、b3、b4だが
公比はどれも3/2となる。
そしてこの後のを求める時も
この4つの数列の第1項から第m項までの和の合計として考える。
(4)の積に関してはとくに公式を習ったわけではないので
実際に掛けて行くとどうなるかを観察してみると良いが
今度はb1〜b4の積、b5〜b8の積のように連続する4つの項ごとに
まとめていくように誘導されている。
は直前に求めた式のkに
k=1、2、3、…、mを代入して計算すればよい。
この時、積は指数法則により指数の和で計算できるようになる。
最後のにb9とb10をかければよい。
ここは難。

第4問
平面ベクトルの問題。
基底ベクトルがベクトルOAとベクトルOBとわかりやすく書いてある。
最初はPやQを内分公式を使って表す問題。
Qの方はベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBに変換する必要がある。
ベクトルOC=ベクトルABなのであとは始点をOにすればよい。
OPやOQの長さは定番の2乗して求める方法で。
(1)最後の問題は三角形の面積だが、
直角三角形なので求めたOP、OQを使って底辺×高さ×1/2で求まる。
(2)は最頻出問題の交点を指すベクトル。
ベクトルOTを2通りで表して、一次独立より係数比較。
最後の面積比の問題はPT:TQとAT:TRの比を
求めたs、tから求めれば、底辺と高さの比がわかるので解ける。
ここは標準。

第5問
(1)は袋から球を取り出すときの
白球の個数に関する確率の問題。
それぞれ組合せの考えで求めよう。
期待値は 個数×確率 の合計で
分散は 平均の2乗−2乗の平均 で求める。
(2)は標準正規分布に関する問題。
正規分布表の使い方がわかっているかを問われた。
正規分布表には図の斜線部の面積、
つまり確率が書かれているが、
左右対称の図形の右半分の部分のみなので
確率が0.99になるのは右半分では0.495になるときである。
表からそれに近い値を探すと0.4949と0.4951があるが
0.4950はないのでその判断に困るが
0.4949のときのz0=2.57
0.4951のときのz0=2.58
で、解答の選択肢に2.57はないので2.58と決まる。
(3)も正規分布表に関する問題。
(2)より信頼度99%の信頼区間は

 標本平均−2.58≦m≦標本平均+2.58

なので、L2=(標本平均+2.58)−(標本平均−2.58)より
L2=2.58×2
同様に、95%の信頼区間は0.95の半分の0.475のときのz0を
正規分布表から読み取ると1.96だから
そのときのL1=(標本平均+1.96)−(標本平均−1.96)より
L1=1.96×2
したがってL2/L1を計算すると約1.3となる。
最後に

 標本平均−z0×σ/√n ≦ m ≦ 標本平均−z0×σ/√n

で求まることから、標本数を4倍にしたときの
信頼区間は L=2・z0・σ/√n となるので
標本数を4倍にすると1/√4倍、つまり0.5倍になるので
L3=0.5・L1となり
L3/L1=0.5となる。
ここは標準。



こちらも個人的に解いた感覚から予想すると
平均点は50〜55点くらいかと思います。

※ 大手予備校の予想はこれより10点くらい下です。
大外しになってすいません…
また第3問の難易度評価をやや難から難に変更しました。
(2015.1.21)

【追記】
第5問の記事を追記しました。 2015.1.21


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2014年09月09日

【数B】直線のベクトル方程式の考え方

数Bのベクトル方程式で扱うのは
直線と円ですが今回は
直線のベクトル方程式について。


●直線のベクトル方程式
最初に
よくある勘違いが
表したい直線をベクトルの矢印そのもので考える
という間違い。
これは違います。気を付けてください。
ベクトル方程式で直線を表す時のイメージは
始点から伸びる無数のベクトルで直線を指します。
ベクトルの終点の集合で直線を描くイメージです。

vector1.jpg

つまりベクトル方程式とは
ベクトルの終点が描く軌跡
と考えると理解しやすいと思います。


では直線を決定するために必要な
「直線の傾き」「直線が通る点」
を考えていきましょう。

直線の傾きは右にいくら進んだら上にいくら進むか
つまりはxの増加量とyの増加量で決まってきますが
この2つ増加量を表すのが
方向ベクトルのx成分とy成分です。

直線が通る点は点Aとします。

表したい直線lを点Pの軌跡と考え
原点Oから点Pまで
点O⇒点A⇒点P
とベクトルで辿って行くと

 

と表せます。
下の図では点Aと3つの点Pがあり(t=1,t=2,t=-1のときのもの)
赤いベクトルで示してあるのが点Pまでの経路です。

vector2.jpg

ここで考え方としては
表したい直線lまでで移動して
直線lというレールに乗った後は
というベクトルが指す方向へ好きな距離だけ進む
といった感じです。
この「好きな距離だけ」というのを
を何倍かする」として考えます。
掛ける数は図の中にあるように1でも2でも-1でも
100でも−0.3でもでも
実数なら何でもいいので実数tを使って

 

と表します。よって点Pを表す

  (tは実数)

となります。

 
2点A、Bを通る直線は方向ベクトルが2点をつなぐ方向だと考えればOKです。
つまりは

 

とすればいいのです。
これでを整理すると

 

このようになります。
この式を見ると単純にこうも考えられますね。

 2点ABを通る直線は
 線分ABをt:1-tに内分・外分する点Pが描く軌跡
 (tは全実数)

tを0≦t≦1に限定するとtも1-tも常に0以上になり
点Pは内分しか表さないので直線ABではなく
線分ABを表すことになります。

posted by ジュンジ at 13:43 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

2014年01月20日

【数B】センター数UBのB(2014年)

第3問
(1)
まずはa2、a3を求める問題は数列の構成を
理解していれば簡単な問題である。
そして階差数列を利用してanの一般項を求める問題。
これは公式を覚えていれば問題ない。
(2)
少し複雑な漸化式の問題。
お決まりのパターンではないので
この問題の誘導に乗れるかどうかで
明暗が分かれたかと思う。
cn=(2n+1)bnと置かれたが、これを
bn=cn/(2n+1)として
bn+1=cn+1/(2n+3)をつくり
Bの式に代入すれば先に進めるだろう。
最後は部分分数に分けて和を求める問題であった。

ここはやや難。


第4問
立方体の各頂点の座標が与えられている問題なので
ベクトルの始点を原点Oにそろえることがポイント。
また空間座標は図に表しにくいのが普通だが
今回は立方体を描けばそれでOKなので
ぜひ図も描いて考えると良いだろう。
(1)
図があれば点Nを実際に打つことで
FGを1:2に内分することはすぐにわかる。
|LK|=√5、|LM|=√14はそれぞれベクトル成分から求める。
四角形KLMNの面積を求めるには
LK・LM=0より四角形KLMNは∠Lが90°の平行四辺形
つまり長方形だから縦×横で面積を求められるので
√5×√14でOK。
(2)
直線と平面が垂直になる条件をベクトルの式で
表して解いていく問題だが、
その条件も式も問題文に書いてあるので
ほとんど計算してくだけである。
OPとPLが垂直であることから
OP・PL=0
という内積の式を立てるがこれも
始点を原点にそろえて、成分で計算すればいい。
三角形LMNは(1)の最後で求めた四角形KLMNの半分なので
最後の三角錐OLMNの体積も|OP|さえ求められれば
後は時間はかからなかっただろう。

ここはやや易。


数UB全体としては例年より簡単であったと言える。
平均点は60点前後と予想する。


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2013年03月11日

【数B】一般項が数列の和になっている数列

五月雨さんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

==========================================
A.
こんにちは。また自力では解けない問題が
ありましたので、質問させていただきます。

次の数列の初項から第n項までの和を求めよ。
1, 1+5, 1+5+9, 1+5+9+13,…

答え S=1/6n(n+1)(4n−1)

==========================================

Q.
まずは求めるものが数列の和なので
基本的にはその数列の一般項を求め、
Σで和を求めるという方針になります。

そこでとりあえずどういう項が並んでる
数列なのかをはっきり捉えておきましょう。

 

数列
第1項は1で数字が1つだけ。
第2項は1+5で数字が2つ。
第3項は1+5+9で数字が3つ。
第4項は1+5+9+13で数字が4つ。

ここまでで数列の規則は
項が1つ先に行くにつれて足していく数字が1つ増える
ということがわかります。

では次にどんな数字が増えていくのか?を考えましょう。
第4項を見ると

 1+5+9+13

という足し算の式に並んでる数字にも規則があり、
これは初項1、公差4の等差数列になっています。
今、この規則を数列とは別の数列とすると

 

となります。また元の数列を数列で表すと

 

のように書けるわけです。
aやbの右下にある第何項かを表す小さな数字を
「添え字」と言いますが、この言葉を使うと
先ほど書いた数列の規則


 項が1つ先に行くにつれて足していく数字が1つ増える


というのは次のように言い換えられます。


 aの「添え字」が1つ増えるとbの「項」が1つ増える


しかも「添え字」=「項」の個数
になっているので

 

となり、数列の第n項は上のようになっていることが分かります。
これらの式は式中に「+…+」を含んでいるので
それを使わずに表現すると次のようになります。

 

よって数列の第n項、つまり一般項は上のように

 

となります。また

 

より

 

これを計算すると当初の目的の「数列の和」
ではなく「一般項」が求まることに注意。
Σを使ってるからといって計算で出てくるのが
必ずしも数列の和とは限りません。
それでは実際に計算して一般項を求めましょう。

 

これでやっと和を求めたかった数列
一般項が求まりました。
なのでこれをΣして数列の和を求めましょう。

 


数列の和を求めるにはまず
その数列の一般項を求めることが
最初の目標になると思っていいと思います。
今回はその一般項を求めるところで
Σを使っているのがこの問題で
混乱してしまうところですので
何を求めているのかを
きちんと意識すれば大丈夫です(^^)




ちなみに一般項を求める時に
階差数列を利用しても求められます。

 階差数列は初項5、公差4の等差数列なので
 一般項は 4n+1 となる。

 n≧2のとき
 

 この式でn=1のとき
 

 よってn=1の時も成り立つので
 
posted by ジュンジ at 02:20 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

2013年01月21日

【数B】センター数UBのB(2013年)

第3問
(1)は特性方程式を利用して解くパターンの
漸化式からスタート。
式変形、一般項を求める、和の計算
などは普段からやっているはずの問題。

(2)は式だけ見れば隣接4項間の漸化式で
一瞬圧倒されるが
まずは第4項と第6項を求めるだけなので
一般項を考えずに
漸化式を使って順番に求めればOK。
そして次がセンターではおそらく初登場の
数学的帰納法。
初だからかまさかの「数学的帰納法」を
答える選択問題。
他の選択肢、特に「組立除法」「弧度法」
は論外。
その後、実際に数学的帰納法を使って
bn+1とbnが等しいことを証明する。
教科書などの典型的な証明しかやっていない人には
難しかったかもしれない。
逆に数VCまで勉強している人は
きっといろんなところで数学的帰納法を
利用してきたはずなのでできたはず。
式変形は添え字に数式を代入するよう
誘導があり、それほど難しくはない。
最後は問題文で{cn}と{pn}が
等しいと言っているので、
c1=p1であり、特に考えることなく
c1=3であることがわかる。

数学的帰納法という今までに出題されなかったものの
出題ではあったが、誘導が丁寧で
前半の問題レベルも考えると
ここは標準。



第4問
2007年以降空間ベクトルばかりだったが
ここに来て平面ベクトルの問題であった。
(1)は標準的な問題。
OAとOCを基底ベクトルとしているので
DBはまず始点をOに変換することから始めればOK。
(2)は「ク」「ケ」がすでに求まっているので
言われたとおりrについての不等式Aを解けばよい。
その後rをcosθに戻してθについて解こう。
(3)の最初は指定されたcosの値を代入して計算。
その後はFはAEの内分点、FはBDの内分点
と考えて交点の位置ベクトルを求める問題で
落ち着いてやれば解ける教科書レベル問題。
平行四辺形の面積はベクトルでの公式でも良いし、
2辺とその間のsinの値から求めても良い。
最後は△BEFの前に△ABEが平行四辺形の面積の半分。
FはAEを1:2に内分する点なので△BEFはその2/3になる。

ここはやや易。



第5問
まずは与えられたデータの平均、分散、中央値を
求める基本問題。
次に平均と分散から抜けているデータの
C、Dの値を求める問題と、
それらがわかった上での散布図の選択問題。
ここまでは基本的な問題だ。
(4)では2つのデータの合計についての
平均と分散を求める問題。
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
を知っていれば簡単。

「和の期待値は、期待値の和」
という言葉は
「数学ガール 乱択アルゴリズム」
でも出てきていました。
解いてて、これが頭に浮かんできました(^^)

一方、和の分散は期待値のような
線形性はないのでこの問題文の
誘導に従って考えることになる。
誘導自体は丁寧でわかりやすいが
文字が多くてややこしく、
苦労するところかもしれない。
Σをイメージできる人は難なくできたと思います。
「ハ」のところで2と答えそうになるが
ここは選択問題で選択肢は全て分数なので
間違いに気づく。
Tはまだ10で割っていない値であることに注意。

ここは標準。



第6問
10進数の値を3進数に変換するプログラム。
桁数を求めるのが難しそうだが
そこは問題文で説明されている通りなので
気にする必要はない。
最初は3進数を10進数に変換する問題。
プログラム1の「ウ」「エ」「オ」に関しては
(2)の問題文冒頭の説明に従えばいい。
120行でX=3^(P-1)とあるので
問題文の「Nを3^(p-1)で割った商」は
「NをXで割った商」と言える。
商は小数点以下を切捨てなので
「ウ」のところは
「INT(N/X)」をPRINTするが正解。
それを表示したら今度は
その余りを3^(p-1-1)で割れば良いので
「エ」のところは
Nには余りを示す「N-INT(N/X)*X」を代入するのが正解。
そして3の次数をp-1からp-2に1次下げるために
Xを3で割った値を改めてXとするため
「オ」のところは「X/3」が正解である。
「カキクケ」に関しては
プログラムとは関係なく
10進数の77を3進数に変換すればOK。

後半のプログラム3は
与えられたNについて
150〜170行でプログラム1を
180と190行でプログラム2を
実行する形になっている。
それぞれで実行するため
180行と190行で使うMというのは
最初に与えられたNのコピーである必要があるので
130行の「コ」は「LET M=N」が正解。
「サ」は上位側の桁と下位側の数字が
一致するかどうかの判定だが、
ループ内にあることからも
1桁ずつ判定していることになる。
与えられたNが左右対称になるには
上位側と下位側がすべて一致しないといけない。
1つでも不一致になれば不一致である。
選択肢を見ると4つとも
「GOTO」でループを抜け出し、
結論を出すようになっている。
ということは「1つでも不一致なら即結論」
という内容の「IF A<>B」が条件として正しく、
さらにその結論は240行の「一致しない」であるので
「サ」は「IF A<>B THEN GOTO 240」が正解。
最後は436を実際に3進数に変換すると
121011
となるので最上位と最下位は一致するが
次で不一致となり終了という動作になる。
よって200行の判定は2回実行され、
Xは2回3で割られた状態になるので
初期状態の3^5から3^3つまり27になっている。
そして220行の「一致する」は表示されることなく
240行の「一致しない」が表示される。

プログラムそのものと
10進数と3進数の変換の知識が問われる問題で
ここは標準。




数UBとしては図形と方程式や
数学的帰納法、平面ベクトルなど
珍しい問題が多かったが
決してどれも難しいとは言えず
どちらかというと易しい問題が多かった。
全体としてはやや易。



平均は55〜60点と予想。
こちらも経験とカンによる予想で根拠はないです(^^;




【数T】センター数TAのT(2013年)
【数A】センター数TAのA(2013年)
【数U】センター数UBのU(2013年)
【数B】センター数UBのB(2013年)


2013.1.21 12:01 第5問、第6問追記しました。
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2012年09月26日

【数B】n次式をΣするとn+1次式になることの証明

nが自然数のときn次式をΣするとn+1次式になることを証明したいと思いますが
それにあたって次のように記号を取り入れることにします。


 xの関数f(x)がn次式の時、次数を明確にするために

   

 と書くことにする。

これは一般的な書き方かどうかは知りませんが
とりあえず今ここでは「n次式」という意味で書くことにします。


そして今回証明すべき命題は最もシンプルなn次式で考えることにします。
つまりこうです。

   はxのn+1次式である

これを数学的帰納法で証明していきたいと思います。






(@)n=1のとき

  

 これはxの2次式である。よってn=1のとき成り立つ。





(A)n=1、2、…、kのとき
  

 つまり

  
 が成り立つと仮定する。




 n=k+1のとき
  
 であることを証明する。

 二項定理より




 右辺の第一項を左辺に移項する。

  

 この式のmが1のとき、2のとき、…xのときを並べて書くと

  

 これらの式を足すと
  



  ここで、右辺についてもう少し詳しく説明しておこう。
  まずそれぞれの右辺の1番目の項ばかり集めた和は

   

  それぞれの右辺の2番目の項ばかり集めた和は

   

  となる。 はxから見ると定数。そして仮定より
   なので

   

  となる。3番目以降についても同様。




 では本題に戻る。

  

 これを について解く

  

 右辺を見るとxの最高次数はk+2である。

 よって
  
 が成り立つ。





(@)(A)よりすべての自然数nにおいて

   はxのn+1次式である

は成り立つ。
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2012年04月21日

【数B】隣接3項間の漸化式(定数項あり)の解き方

隣接3項間の漸化式というとほとんどが

 

のように隣接する3項の実数倍の和が0になる
という漸化式が多く、
これは普通の教科書にも出てきます。
このブログでも以前書きました。
フィボナッチ数列もこれに当てはまります。

■関連記事
【数B】隣接3項間の漸化式の解き方
【数B】フィボナッチ数列



しかしその和が0ではない漸化式もあります。
今回は和が定数rになる漸化式を考えてみましょう。







 タイプの解き方 ■

例題にそって説明していきます。

=========================================
例題

  
  
  を満たす数列の一般項 を求めよ。

=========================================

まずこの漸化式にある項を係数を省略して書き上げると
 第n+2項の
 第n+1項の
 第n項の
 定数項
の4種類です。
漸化式を上手く解く方法としてよくやるのは

 等比数列の形を作るように式変形する

ことです。
等比数列の形にすれば結果的には
右辺のnが左辺ではn+1になるようになります。
つまり左辺では右辺よりnの値が
1だけ大きくなっている状態になります。

なので先ほど書き上げた4種類の項のうち
第n+2項、第n+1項、第n項の3種類の項も
そうなるように

左辺には
第n+2項、第n+1項

右辺には
第n+1項、第n項

のように分け、対応するそれぞれの係数は
両辺で同じになる必要があります。
定数項が(0で)存在しない場合はこれで

 

と置けます。
左辺の の係数とそれに対応する右辺の の係数はどちらも1
左辺の の係数とそれに対応する右辺の の係数はどちらもα
となっていますよね?
そして  を  とおけば
 となり、公比がβの等比数列になります。
今は勝手に の係数を1にしたように見えますが
もし に係数が付いたとしても
両辺をそれで割れば の係数は必ず1にできます。





しかし今回は定数項が存在しているので

左辺には
第n+2項、第n+1項、定数項

右辺には
第n+1項、第n項、定数項

というように分けなくてはいけません。
よって今回は両辺の先頭以外の2項に
係数をα、βと付け、
公比にあたる右辺の係数をγとし、

 

と置きましょう。
置いたらこれを満たすα、β、γを求めます。

そのためにまずは展開して問題の

と同じ形に整理して係数比較を行います。

展開します。

 

よって問題の式を係数比較すると



 (1)より
 これを(2)に代入

 

 よって(1)(3)より
 γ=−3 のとき、α=−1、β=−1
 γ=1 のとき、α=3、β×0=4となりβは解なしなので不適。

 したがってα=−1、β=−1、γ=−3より
  は

  

 と変形できる。


ここまで来たらあとは漸化式の問題としては
よくあるパターンです。


 ここで

  

 と置くと(4)は

  

 と書き換えられる。
  で より

  

 よって は初項−1、公比−3の等比数列なので
 一般項

  
  

 (5)より

  

 階差数列を考えて、n≧2のとき

 

 n=1のとき、この式で第1項を求めると

 

 よってn=1のときも成り立つ。

 したがって

 


これで
 
タイプへのアプローチがわかったと思います。
これを利用すると
  
タイプにも対応できそうですね。
posted by ジュンジ at 02:31 | Comment(6) | TrackBack(0) | 数学B

2012年01月16日

【数B】センター数UBのB(2012年)

第3問
前半は等差数列の一般項、和を求める問題で標準。
後半は数列bnの与えられ方がΣやSnが入った式なので
それに圧倒されてしまいそうになるが
b1やbn+1の式を求める問題では@を利用することが
明記されているのでなんとかその利用方法に気付いて欲しい。
b1は@にn=1を代入。
bn+1の式は@にn=n+1を代入後、Snの式も利用。
その後の式変形はどうやればその形に変形できるかを考えるのではなく
求める「チ」「ツ」をα、βと置いて、
元の式の形に戻して係数比較することでα、βを求めればよい。
それ以降は漸化式の問題ではよくあるパターン。
ここはやや難。

第4問
問題文での設定が多いが基底ベクトルがOA、OB、OCであることから
与えられるベクトルは全て始点をOに変換するよう心の準備をしておく。
また図を描くにはOA、OB、OCが互いに直交する四面体を書くのが難しいので
x,y,z軸の空間座標を書いて、それぞれの軸上にA、B、Cを置くと良い。
ただしこの時点でまだ図は必要ないので必ずしも書く必要はない。
(1)は内分公式の利用。
(2)は空間中で直線が交わるという状況を図に表すのは難しいので
適当に線分FLと線分MNを紙の上に交わらせて書いて
それを見ながら考えると良い。
まずはPはFLをs:1-sに内分する点と考えて式を立てる。
その後いきなり「s=?のときMP=?MNとなる」と来るが
そんなの急にわかるわけがないのでこれを
MP=kMNとおき、やはりこの式も始点をOに変換する。
問題文からFLとMNはPで交わることになるので
この式をOP=の形に整理して係数比較することでsとkが求まる。
(3)も求めるベクトルや与えられた式に対して、
始点をOに変換することが重要である。
|GF|は二乗を計算することになるが、
a・b、b・c、c・aの内積は全て0なので計算は比較的楽である。
GF・GHの内積の計算も同様。
Bの式は
GF・GH=xGM・GH
とおき、∠FGH=∠MGH、|GF|=3、|GM|=2の条件を使うために
a・b=|a||b|cosθ
の公式で両辺の内積を計算すると
3|GH|cos∠FGH=2x|GH|cos∠MGH
両辺のcosは等しいのでこれを整理すると
3=2x より x=3/2
あとはBに@Aを代入すればtが求まる。
最後まで式変形でなんとかなる問題で図は要らなかった。
ここは標準。

第5問
最初はきちんと表の意味がわかるかどうかの確認問題。
そして平均と分散を求める標準問題。
(3)は問題文の意図が最初はわかりにくいが、
平均値と同じ点なら偏差が0で
分散、共分散の計算には不要になるので
平均値と異なる点の人だけで計算は終わりますよ
ということを示唆しているのだろう。
意味がわからなくても普通に計算するだけである。
後半は人数が増えて少し大変になる。
D、E、Fに関しての3種類の式は
人数
国語の合計点
英語の合計点
に関する式である。
(5)の40人の平均値は
60人の合計点=20×20人の平均点+40×40人の平均点
から求める。
なお40人の中央値は
英語の得点別人数を表の横に書き並べ、
前半に使っていた表の人数を引いて中央の20人目の位置を探る。
(6)は少し問題文での説明がわかりにくいが1問目は
縦一列だけを見たときの平均値と中央値が一致しない列の数
を答える。
縦に並んでいる数字が上下対称になっていなければ
平均値と中央値が異なる。
2問目は列ごとの平均値も中央値も
その列のxよりも小さい列を数えればよい。
表が2次元だったり、計算量が多めだったのでここはやや難。

第6問
「ア」は選択肢を見ると何かの変数を決める行だが、
プログラムの続きを見ていくと140行目に未定義のXがあるので
「ア」はXの初期値の設定である。
140行目によるとそれまでのXに(M+I)をかけたものを新たなXとしている。
またIは0から始まっているので最初にXにかける数はMということになる。
したがってXの初期値は1が正しいのでLET X=1。
「イ」は問題文の(M+0)(M+1)(M+2)…(M+N-1)から
変数Iは0からN-1まで変化するのでN-1。
「ウ」は8で割り切れることの判断方法の選択。
Xが8で割り切れた場合、その商を8倍すればXに戻るが
8で割り切れない場合はINT()によって小数部分が削られるため
INT(X/8)はX/8よりも小さくなるためINT(X/8)を8倍してもXよりも小さくなる。
これを利用して8で割れるかを判断するので
XとINT(X/8)*8が等しいとき、8で割り切れる。
(2)について、8で割り切れるとは「因数に2を3つ持っている」ということである。
それに注目すれば1から4つで素因数2を3つ持つことになるし、
整数は奇数、2の倍数、奇数、4の倍数の繰り返しで並んでいるので
連続4つの積は必ず8で割り切れる。
後半、プログラムに「L」と「C」という変数が加わる。
また「N」は入力値ではなくこれもプログラム中の変数に変わった。
Cは求める個数なので条件に当てはまる場合が来たらカウントを1つ増やす。
また初期値は0でないと正しく個数を答えないので「キ」はLET C=0、
「コ」はC=C+1。
「ク」「ケ」の割り切れるかどうかの判断は前半の8がKに変わっただけ。
「サ」は実際にM=4、L=5とした場合のプログラムを追っていく。
条件を満たすNの値を表示するには
条件を満たすことがわかってからNが次の値に変わるまで
の間にPRINT Nを挿入すればいいので
2つ目の条件を満たしたと判定された直後の
180と182行だけが適している。
ここは標準。



数UB全体としては確かに難問はあるが、
各問で全く手が付けられない問題がないので標準。
平均は50台前半かなあと予想します。
河合塾の予想では54点だそうです。

センターはあくまでも通過点。
ここからが勝負どころですよ!
最後までがんばってくださいo(^O^)o



【数T】センター数TAのT(2012年)
【数A】センター数TAのA(2012年)
【数U】センター数UBのU(2012年)
【数B】センター数UBのB(2012年)
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2011年12月04日

【数B】隣接3項間の漸化式の解き方

chelceさんから質問いただきました(^^)

Q.隣接3項間の漸化式について教えて下さい


ということで、



まず漸化式というのは数列の項同士の関係を式で表したものです。
例えば「第n項に2を足せば第n+1項になるよ」というのを式で表すと

 an+1 = an + 2

です。これは隣接する2つの項の関係式なので
隣接2項間の漸化式と呼ばれます。
隣接3項間の漸化式というのは連続する3つの項における関係を
式で表したものということになります。

よくある問題としては

 an+2 + p・an+1 + q・an = 0

のように3項の実数倍の和が0になるパターンがあげられます。
(右辺が0なので仮にan+2に係数がついていたとしても
両辺をそれで割ってしまえばan+2の係数はいつでも1にでき、
割った後のan+1、anの係数をそれぞれp、qとおきなおせば
いつでも上の式のように表せます。)

この問題は教科書にも載るような有名問題で
解法も「とりあえずこうやったら解ける」的な方法があり、
この場合はx^2+px+q=0とおき、
その解をαとβとすると
与えられた漸化式は

 an+2 - α・an+1=β(an+1 - α・an) …@
  または
 an+2 - β・an+1=α(an+1 - β・an) …A

と変形できるようになっています。
この変形については最後に理由を書いておきます。


この先はα、βの値によって解き方が分かれます。



■α、βが異なる2つの解でどちらも1ではない場合

@の方でan+1 - α・an=bnとおくと
@の式は

 bn+1 = βbn

となりこれは等比数列を表すようになります。
ここまでくれば後はここまでに習ったはずの漸化式の復習です。
a1とa2は問題で与えられるので

 bn = an+1 - α・an

より、b1を求めれば、一般項bnを求めることができます。
Aの方の式でもcn = an+1 - β・anと置いて同様に考えると
cnを求めることができます。

ここで
bn = an+1 - α・an
cn = an+1 - β・an
でbn、cnがわかっているのでanを求めるには
この二つを連立してan+1を消去すればanが求まります。



■α、βが異なる解で、どちらかが1の場合
便宜上αの方を1とすると、この場合は
 an+2 - an+1=β(an+1 - an)
という式1つだけでanまで求まります。
先ほどと同様に
bn = an+1 - an
として一般項bnを求めるところまでは同じです。
その後、

 bn = an+1 - an

となるので、これは数列{an}の階差数列の一般項がbn
という意味なのでan=a1+Σbk <k=1〜n-1>
とすればanが求まります。


■α、βが同じ解(重解)の場合
β=αなので立てられる式は1種類しかなく

 an+2 - α・an+1=α(an+1 - α・an)

のみです。
これも今までと同様に

 bn = an+1 - α・an

と置いて、まずbnを求めます。
これを求めるとbn = b1・α^(n-1)
となり、

 an+1 - α・an = b1・α^(n-1)

のようになります。
これは

 an+1 = p・an + q^n

タイプの漸化式なので
両辺をq^(n+1)かp^(n+1)で割ることで
求められるようになります。






さて、

 an+2 + p・an+1 + q・an = 0

という式をいきなり

 x^2+px+q=0

とおくというのはなぜなのか、疑問に思って当然だと思います。
そこでこの漸化式がなぜ解けたのかを考えてみましょう。

先ほど3つの例をあげました。
α、βの値に限らず、どれもその後はbnへの置き換えをして、
等比数列の形を作るようになっています。

この等比数列の形を作ることを目的としてみましょう。
今、an+2、an+1、anの3項以外に項はないので

 これらを2つに分け、その1つに何かを掛けたら他方になり、
 しかもその2つは添え字が1つずつずれているだけで、
 それ以外は同形でないといけない

(「添え字」とはaの後ろについている小さな数字のことで「第何項」かを表すもの)
ということを考えると

 an+2 - an+1 = ○(an+1 - an)

みたいな形が想像できますが、そんなうまく
an+2とan+1の係数が揃ったり、an+1とanの係数が揃ったりしないのが普通なので
どちらかに係数を付けておきましょう。
どちらにつけてもかまいませんがとりあえず今回は後ろの項に係数をつけて

 an+2 - ●an+1 = ○(an+1 - ●an) …B

という形を作ることを目標とします。
の式を展開して左辺に移項して同類項をまとめると

 an+2 - (○+●)an+1 + ○●an = 0

となります。これを元の漸化式

 an+2 + p・an+1 + q・an = 0

と係数比較すると

 -(○+●)=p
 ○●=q

上の式を整理すると

 ○+●=-p
 ○●=q

ここで○と●に関して
連立方程式で解いてもいいのですが、
ちょっと考えてみるとうまい考え方があります。
足して-p、掛けてq
というのはまるっきり二次方程式の解と係数の関係
に当てはまるので
○と●は

 x^2 + px + q = 0

の解ということになります。
つまり
 an+2 + p・an+1 + q・an = 0…B

 an+2 - ●an+1 = ○(an+1 - ●an)
のように変形するとき、○と●は
 x^2 + px + q = 0…C
の解であるということになります。
BとCを比較するとan+2がx^2に
an+1がxに、anが1に変わっているようにも見えます。

なので
 an+2 + p・an+1 + q・an = 0
という式を
 x^2 + px + q = 0
として考えてもOKということなんですね。


この考え方がわかれば
 an+2 + p・an+1 + q・an = r
のように右辺が0ではないものも解けるようになります。
難しいのであんまり出題されないでしょうけど(^^;

このタイプの解き方はこちら
    ↓↓↓
【数B】隣接3項間の漸化式(定数項あり)の解き方
posted by ジュンジ at 03:08 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

2011年01月17日

【数B】センター数UBのB(2011年)

いつもは第3問と第4問だけですが
今年は第5問もやってみました(^^)

追記 2011/1/17 3:00
さらに第6問もやってみました。



第3問
予想外に隣接三項間の漸化式が出題された。
去年も予想外に群数列だったし、次回以降の出題傾向が予測しにくいな…

導入部分の説明文がすこし理解しにくい。
当然ながら実際に数直線を描いて点の位置関係を確認しよう。

xの式を立てる前にいきなり「yn = xn+1 - xnとする」
なんて書いてあるので戸惑った人も多いのでは?
まずはxで式を立てないとyに置き換えることはできないので
yの式を立てるまでにだいぶ解く過程が省略されている
と推測することが大事。
問題自体は2点間を3:1に内分する点を次の点Pにする
という問題なのでxの式を立てるときは
内分公式に当てはめて式を立てればよい。
(この類の問題は数Vをやっている人なら極限のところで似たような問題に触れたことがあるはず)
そこからは隣接三項間の漸化式の解き方で解ける。

後半は
 (等差数列)×(等比数列)の和
の問題。
 Sn-rSn
という式が書いてあるのでそれがヒントとなった人もいるかもしれませんね。
|yn|の絶対値にびびらないように。

ここはやや難。



第4問
去年と同様、空間ベクトルの問題ではあるが、
今年もあらかじめ問題に図が描いてあるのでわかりやすい。
最初のODは
 OD=OC+CD
  =OC+BA
  =OC+OA−OB
とすればOK。
あとはALもANの式もAM・MNの計算も
全ては始点をOにそろえれば難しくない。
いちばん考える必要がある「立式」が
問題ですでにやってあるからだ。
いちばん自分で考えなければいけなかったのは
終盤に出てきた内積を求める問題だ。
ベクトル成分や点の座標が与えられていないので
大きさとなす角のcosから計算するしかないが
角度が与えられているわけでもないので
3辺の長さから余弦定理を使ってcosの値を求める必要があった。
ここは標準。



第5問
(1)は平均に関する問題。
そのまま足していくと大変なので
適当な基準値をとってその基準値との差で平均を求めよう。
次の問題では10人の平均と5人の平均がそれぞれA1、A2と与えられているので
 10A1+5A2=15人の合計点
とすればOK。

(2)は統計の基本問題。
分散と標準偏差の求め方がわかってれば大丈夫。

(3)は問題に沿っていけば解ける。
ただしx、y、zが点数そのものではないことに注意。

(4)4つの散布図で他と違う点を見つけ、
それが実際に存在するデータかどうかで判断。
相関関係は見た目で。

(5)いかに速くデータ処理の計算ができるかが勝負。
どの階級に属するかがわかる程度の概算でOK。

「統計」の問題はあまり数をこないしてないので
どれくらいのレベルかと聞かれるとよくわかりませんが
ここは標準レベルかと思います(^^;



第6問
(1)はまだプログラム本文が出てきてない段階で、
計算のルールが理解できれば、それに沿ってやってみればOK。
プログラムを書くために具体例でアルゴリズムを考えさせる問題。

(2)は実際にプログラムの理解。
変数Iが(1)で実際に計算するごとに変わっていったものです。
130行ではそれが1ならどの行へ飛べばいいのかを考えます。
当然1になったら終わりなので、
I=1ならば答えを表示して終了する210が正解。
140行は「2で割れるなら」という意味なので
Iを2で割った値を新たなIにする「LET I=I/2」が正解。
190行は「2で割る」か「3倍して1加える」をした後の動作である。
このいずれかを行った回数をカウントしなければいけないので
120行でC=0と初期設定されたCの値を1増やすために「LET C=C+1」。
その後、ここまでの動作を繰り返すことになるが、
ここでIが1になったかどうかを調べるために130行に戻るので
200行は「GOTO 130」が正解。

(3)は「2で割る」か「3倍して1加える」を行った回数が
10回以下の場合のF(N)のみを
出力する問題なので「C<=10」、
そしてNは1から指定したMまでの全てを調べるので
211行ではFOR文にあるNを次の値にすればよいので「NEXT N」。

最後は210行の実行回数だが、
ここの行はF(N)≦10の時にその値を出力する文なので
実際にF(1)からF(10)までの値を求めると
F(7)とF(9)だけが10より多くなるので
8回実行される。

「コンピュータ」の問題は初めてやったので
これもどれくらいのレベルかよくわかりませんが
これも普通なのでは?と思います(^^;


数UB全体としては去年よりもさらに易しくなったのではないでしょうか。



受験生の皆さん、引き続き二次試験もがんばってください!!o(^-^)o


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2010年11月25日

【数B】センターベクトルのコツ

センター向け記事第3弾はベクトルです。

ベクトルの記事を探したら
2年前に基本をまとめた記事があったので
ベクトルが苦手だという人はそちらもどうぞ。

【数B】ベクトルのコツ(2008年12月15日)
http://math.sblo.jp/article/24304846.html





2006年のセンター試験を最後に旧教育課程にあった
「複素数平面」という単元が消えました。
そしてその翌年の2007年以降、
なぜか「ベクトル」の問題は4年連続で
「平面ベクトル」ではなく「空間ベクトル」
の問題が出題されています。

さすがにここまで続くと現行の教育課程では
空間ベクトルしか出題されない
と思ってもいいような気になりますね。


で、
空間ベクトルのコツですが、
平面ベクトルとの一番の大きな違いは


  図が描きにくい


ということでしょう。
だからと言って図なしで解くのはキツイでしょう。
なので最初の方はやはり図を描いてイメージをとらえます。
そして利用できる限り図を利用します。
それが限界に来たらどうするか。


  言葉の意味を考え、式に変換する


どういうことかというと
基礎的なことから言うために平面における話をすると

 「点Aから線分BCに垂線を下ろし、その交点をDとする」

という文をまずは式にしやすいように解釈すると

 「ADとBCは垂直である」
     かつ
 「Dは線分BC上にある」

となる。
後者は「DはBCをt:1-tに内分する」
と言い換えられるので、それを式にすると

  → →
  AD・BC=0

  →    →  →
  AD=(1−t)AB+tAC

といった感じで日本語をうまく数式に訳しましょう。
まあ1つ目の式は図に描いたらすぐに思いつく関係式ですが
2つ目の式は先ほどの言い換えが重要です。




では空間における話を。

例1

 「四面体O-ABCの点Oから平面ABCに垂線を下ろし、その交点をDとする」

まぁ、これも図は簡単に描けます。
が、ちゃんと数式に訳せますか?
いっきに数式に訳すと、2種類、3つの式になり

  → →
  OD・AB=0

  → →
  OD・AC=0

  →  →  →
  AD=sAB+tAC


ですね。
このように訳すためには
「直線が平面に対して垂直になるための条件」と
「点Dが平面ABC上にあるための条件」を
きちんと知っておかなければなりません。
後者の条件はこの次の例2で説明します。
前者の条件とは

 「平面上の平行でない2つの直線に対して垂直になっていること」

なので今の文だと

 「ODは平面ABC上の直線ABとACに垂直である」

と言えるので先ほどの2つの内積の式になるわけです。

平面上の直線の選び方ですが、
別に直線ABとACではなくBCとそのどちらかでもかまいません。
とにかく平面ABC上の2直線であればなんでもOKです。



ではいよいよ次は図に描きにくいパターンを。


例2

 「4点
  A(-2、2、1)
  B(1、-1、1)
  C(4、-7、4)
  D(3、3、z)
  がある。直線ABと直線CDが交わる時、zを求めなさい。」


これはさすがに点を打って直線が交わるような図を描くことが難しいと思います。
なんせ空間座標ですからね。
こういう時こそ、この文を数式に訳しましょう。
つまりこうなるための条件を式で表すのです。

具体的には「直線ABと直線CDが交わる」の部分を訳します。
先に結論を言っておくと、答えは

  →  →  →
  AD=sAB+tAC


です。この式をそれぞれx成分、y成分、z成分で考えれば
式が3つでき、文字もz、s、tの3文字なので
連立方程式を解けばzが求まります。


で、どう考え始めるかですが、
まずは座標にとらわれず
とりあえず線分ABと線分CDが交わるという状態を実際に見ましょう。
2本のペンを用意して
1本は線分AB、もう1本は線分CDとして下さい。
それぞれペンの両端が点A、Bと点C、Dと考えましょう。

じゃあ、交わらせてみてください。

すると線分ABと線分CDが交わっている時は
4点A、B、C、Dが「同一平面上にある」ことに気付きます。

今は気付かなくても今後は気付いてくださいね(^^;

どんな点でも3点までは自由に決めても全てが同一平面上にあります。
というのは平面をひとつ決めるには3点決めなければいけないからです。

ということは今点A、B、Cはすでに座標が与えられており、
問題で場所が決められています。
しかしDだけはまだz座標が決まっていないので
自分で決めることができるということです。

そこでベクトルを利用してこの4点目のDが
平面ABC上にあるように設定すればいいのです。
今ベクトルABとベクトルACは平行でなく、ゼロベクトルでもないので
この平面ABC上の全て点は

「ベクトルABを何倍かしたベクトル と ベクトルACを何倍かしたベクトル の 和」

として表すことができます。
その「何倍か」を「s倍」「t倍」として表したのが

  →  →  →
  AD=sAB+tAC …@


です。
この続きの解答を書いていきましょう。
まずそれぞれのベクトル成分を求めると


 → → →
 AD=OD−OA
  =(3、3、z)−(-2、2、1)
  =(5、1、z-1)

 同様に
 →
 AB=(3、-3、0)

 →
 AC=(6、-9、3)

 よってそれぞれの成分ごとに式を書くと

 5=3s+6t …A
 1=-3s-9t …B
 z-1=3t  …C

 A+Bより
 6=-3t
 t=-2

 これをCに代入
 z-1=-6
 z=-5

 ∴z=-5




そんなわけで図が描きにくい時は
文を数式に訳すことが非常に重要な役割を果たしている
ことがわかっていただけましたでしょうか?
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2010年01月18日

【数B】センター数UBのB(2010年)

数Bは数列とベクトルについてのみ書きます。

第3問
センターで群数列が出題されるのは珍しい。
an - an-1 の式から見て階差数列を考えることがわかるが、
ここの答えを使って
     n-1
an = a1 + Σ(3k-2)
     k=1
と公式に当てはめると解答欄に合わない答えになってしまって
つまずく。
僕もつまずきました(笑)
この公式のΣの中身は
an - an-1 ではなく
an+1 - an なので合わなくなるのだ。
なのでan+1 - an=3(n+1)-2を整理して使えばOK。
(2)のbnは「第(n+1)群」であったり
その中の「2n番目の項」だったりでややこしいが
「第(n+1)群」の初項はan +1である。
さらに「2n番目の項」は
公差が1なので「第(n+1)群の初項」+(2n-1)である。
こういった数列の構造がわかっていることが重要である。
ここは標準からやや難。

第4問
空間ベクトルの問題ではあるが、
あらかじめ問題に図が描いてあるのでわかりやすい。
問題の誘導も丁寧でなおかつ
例年に比べると計算量が減っている。
最後のEKを求める時は、EK=5/8ECより
ECを求めてから5/8をかけると
途中の計算の係数が非常にすっきりしたままできる。
ここはやや易。



数UB全体としてはやや易。
平均点は数TAとの差がいつもより縮まると思う。
posted by ジュンジ at 00:35 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

2009年01月20日

【数B】センター数UBのB(2009年)

数Bに関しては第3問の数列と第4問のベクトルのみ
の説明とさせていただきます。

第3問
数列の問題。
公式で解けるのは最初の方だけ。Tnを求めるところまで。
そこから先ははっきり言って数列の知識よりも
計算テクニックを要求されている感じ。
b1・b2・…・bnはb1〜bnまでを実際の数値d表すと
どのような計算になるのかが見えてくる。
分母の指数部分が1、3、5、…、2n-1の等差数列になっていて
その掛け算なので指数部分は足し算で計算できるから
Σ(2k-1)【k=1〜n】を計算すればその指数部分が求まる。
(2)は最初の問題がわからなかったらそこで終わり。
ここは難しかったのでここで終わった人は多いと思う。
Cn=2n・bn から
Cn+1=2(n+1)・bn+1 という式を書く。
ここで解答欄を見ると式に残ってるのは
Cn+1、Cn、bnの3種類なのでbn+1をbnで書くことを考える。
bn+1はbnの次の項なのでbnに公比の1/9を掛けたものに等しい。
よってCn+1=2(n+1)・1/9・bn
ここで左辺の「『サ』Cn+1−Cn」に注目すると
Cn+1の式を何倍かしたものからCnの式を引く
という計算をしていることがわかる。
さらに右辺を見るとnの項が消えているので
それを消すためにCn+1の式を9倍すれば良いことがわかる。
Σ(9Cn+1−Cn)を実際に書くと
=9C2−C1
+9C3−C2
+9C4−C3

+9Cn+1−Cn
となる。このパターンでは最初と最後の項だけが残る
問題なら解いたことがあると思うが、
この問題は最初と最後以外は係数が8で残る。
よって
=8(C2+C3+…+Cn)+9Cn+1−C1
ここでC1を忘れないように。
そして問題の解答欄に当てはめるために
()の中にC1も入れてやらないとUnで書けないので
=8(C1+C2+C3+…+Cn)+9Cn+1−9C1
=8Un+9Cn+1−9C1
あとは@Aより
8Un+9Cn+1−9C1=2Tn
として(1)で求めたTnも使ってUn以外はnを使った式にして
Unについて解けば終了。

後半は特に式の構造からどのような整理の仕方をするべきか
の判断が難しい問題であり、
ここは得点をかせげなかった人が多かったと思う。



第4問
空間ベクトルの問題。
通常は点Oや点Aを始点にそろえることが多いが
この問題は点Bを始点としている。
(2)のOQを求めるとこらあたりから図においての
イメージがしにくくなって来る人も多かっただろう。
OPやOQは始点がOになっているが
この問題は基本になる始点はBである。
そのためOPもOQも最初にOBを足すことで
その後ろは始点をBにして考えられるようになっている。
AE上の点Qはcを使って「AEを1−c:cに内分」と考えられる。
またAA1B1Bは平行四辺形になっている。

後半はPとQが一致するときはOPとOQが一致するので
係数が等しくなるようにするとb=c=−a+1が導ける。
コレを使ってOPとOQをaを使って表してやると
OB+(1-a)u+av
となるのでAEをa:1-aに内分していることがわかる。
次は「『同様に』考えることにより線分A1C1と線分AD『も』」
と書いてあるように問題文からここもa:1-aである。
よって三角形ADEに注目すると
E1もD1も同じ比率の内分点なので
DEとD1E1は平行になっていて
三角形ADEと三角形AD1E1は相似であり
相似比は1:aである。
これを利用してD1E1、そして四角形B1C1D1E1を求める。
最後の問題は三角形A1B1C1を描き図形問題として解く。
その中で三角形A1B1D1において余弦定理を使う。
A1B1=√2、A1D1=a√5、∠B1A1D1=∠ABCより
cosの値は最初の問題で求めたBC・BAよりより求められる。

※あとで気付いたけど、四角形B1C1D1E1の面積は
 相似比から面積比を出してやった方が簡単で早い。

この問題は内分比が最後まで文字のままで
明確にならないことで難しくなっている。
問題中に出てくる点の数も多く
頭の中で整理していないと混乱することになる。
前半までであきらめてしまった人も多いだろう。
これも難しい問題だったと言ってよい。

総合すると数UBは4問中3問が一筋縄ではいかない問題で
難しかったと言ってよい。
posted by ジュンジ at 02:28 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

2008年12月30日

【数B】ベクトルの絶対値

ベクトルは「大きさと方向をもつ量」
というように習うと思う。
それまでに扱ってきた量は
大きさしかもっていないのでそこが違う。

簡単な例でいくと
「速度」はベクトルで
「速さ」はベクトルではない。

「速度」は方向を持つ量で、
それゆえどの方向を正とするのかを決めないといけない。
実はこれ中1で負の数を習ったときに一度考えている。
こんなんやりませんでしたか?
西向きに40km/hを負の数を使って表すと
東向きに-40km/hといった表現になる。
この場合、西向きを正としてるということです。

これに対して「速さ」は大きさしか考えないので
東向きだろうと西向きだろうと速さは40km/hである。
向きはともかくどれくらいの大きさ(速さ)
なのかだけを答える。
つまり速度がプラスだろうがマイナスだろうが
速さはプラスで答えればよい。

これってどこかでやったようなルール。

プラスでもマイナスでもプラスに変換する
というのは絶対値を求めることそのものである。

だからベクトルの絶対値はそのベクトルの大きさである。

ベクトルは矢印で表す。
矢印の向きで方向を
矢印の長さで大きさを
表す。
なのでベクトルの絶対値を求めることは
線分(矢印)の長さを求めることなのだ。

じゃあ、ベクトルがx成分、y成分で与えられたら
2点間の距離と同じように三平方の定理を使って
長さを求めればいいのだ。



ちなみに方向をもたない量をベクトルに対して
「スカラー」という。
物理を習ってる人なら聞いたことがあるかもしれないね。

あと、理系の人に言っておくと
大学に行くとベクトルはaの上に矢印を書くのではなく
aを太字で書くだけでベクトルということを
意味するようになります。
僕が大学に入ってすぐにそれに出くわしましたが、
先生は何も説明せず当たり前のように使い始めて、
最後まで説明ナシでした。
なのでちょっと覚えておいた方がいいですよ。
太字は手書きで書くと文字の一部を二重線で書くことになります。
posted by ジュンジ at 14:38 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

2008年12月25日

【数B】フィボナッチ数列

1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、…

この数列の法則は知らない人でも
しばらく眺めてたらわかると思います。

前2つの項を足して次の項を作ってます。
漸化式を使ってその関係を書くと

 an+2=an+1+an

という関係になります。
これに

 a1=a2=1

という最初の2項を与えれば数列ができます。
この漸化式は等差数列、等比数列、階差数列の漸化式と
少し異なります。
等差数列などの場合は隣り合う2つの項の関係式でしたが
この漸化式は連続する3つの項の関係式になっています。
このような場合、隣接三項間漸化式といいます。

そして今あげた例の数列を特に
「フィボナッチ数列」
といいます。

この数列は自然界の中に多く見られるそうで、
植物の葉っぱのつき方やひまわりの種の並び方などが
フィボナッチ数列と関連があるそうですが
詳しくは知らないので各自で調べてください(^_^;)

フィボナッチ数列の時は一般項をanと書かず、
Fnと書くことが多いのでここでもそう書くことにします。


  Fn+2=Fn+1+Fn 、 F1=F2=1

さて、今回の本題はこのフィボナッチ数列の一般項Fnです。

求め方は後述しますが、結果は


 Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]


という式になります。
フィボナッチ数列は整数の足し算で次の項が出てくるので
当然整数しか出てこないのに、
それを一般項で表すと無理数の√5が入るんです!

それがなにか?

と言われたらそれまでですが(^_^;)
整数を求めるために無理数まで使わないと表せないってのが
すごいと思いません?
ちなみにここに出てきた (1+√5)/2 というのは
名前は有名だと思いますが「黄金比」ってやつです。
そんな数が関連してるとなると
フィボナッチ数列が自然界に関連深いことも
すこしうなづけます(^^)
フィボナッチ数列はどんどん先まで進めていくと
隣接する2項の比が黄金比に近づくそうです。

ちなみに3次方程式の解の公式ってのもあるんですが
これも似たような話で、実数解を求めるだけでも
公式を作るには虚数iが必要になるんです。

結局、何が言いたいのかというと

 あることを扱うには一段階上のことまで知ってなきゃ
 扱えないこともある

ということです。









ではフィボナッチ数列の一般項の求め方を説明します。
いきなりですが Fn+2=Fn+1+Fn という式は

Fn+2−(1−√5)/2 Fn+1=(1+√5)/2 (Fn+1−(1−√5)/2 Fn)

と書き換えられます。
どこから (1−√5)/2 や (1+√5)/2 という数値が出てきたんだ?
という意見はもっともだと思いますが、
あとで説明しますのでまずは
この式を整理するとちゃんともとの式と一致することを
確認してください。

次になぜこんな書き換えをしたのかという理由を言います。

 Fn+1−(1−√5)/2 Fn=bn

とおくと、この式は

 bn+1=(1+√5)/2 bn

と書くことができ、項比が (1+√5)/2 の等比数列として
扱うことができるからです。

そこまでわかったら最初の式変形のやり方を覚えましょう。

Fn+2をx^2、Fn+1をx^1、Fnをx^0とおくと
x^2=x+1
これを解くとx=(1±√5)/2 になります。
この2つの解を

 Fn+2−○Fn+1=●(Fn+1−○Fn)

の○と●にあてはめればできあがりです(^^)
この方法はフィボナッチ数列に限らず
一般的に隣接三項漸化式で使うことができます。
2つの解のうちどちらを○に入れなければいけない
ということはなく好きな方を入れてやればいいですが、
必ず○と○のところには同じ解を入れ、
もう1つの解を●に入れて下さい。

なので今回の問題では

Fn+2−(1−√5)/2 Fn+1=(1+√5)/2 (Fn+1−(1−√5)/2 Fn)
Fn+2−(1+√5)/2 Fn+1=(1−√5)/2 (Fn+1−(1+√5)/2 Fn)

の2通りの式変形が可能です。
続きは上の式についてです。

先ほどのbnを使った式に戻ると

 bn+1=(1+√5)/2 bn

は項比が (1+√5)/2 の等比数列なので初項を求めれば
一般項bnが求まります。

 b1
 =F2−(1−√5)/2 F1
 =1−(1−√5)/2
 =(1+√5)/2

よって

 bn=(1+√5)/2・{(1+√5)/2}^(n−1)
  ={(1+√5)/2}^n

ここから Fn+1−(1−√5)/2 Fn=bn という漸化式を
解いても解けますが計算が面倒なので
それとは違う方法でいきましょう。

先ほどの2種類の式変形のうちの今度は下の式でも
今と同じことをやります。

 Fn+1−(1+√5)/2 Fn=cn

とおくと

 cn+1=(1−√5)/2 cn

同様に続けると

 cn={(1−√5)/2}^n

ここでまとめると

 Fn+1−(1−√5)/2 Fn=bn
 Fn+1−(1+√5)/2 Fn=cn

求めたbn、cnを代入すると

 Fn+1−(1−√5)/2 Fn={(1+√5)/2}^n
 Fn+1−(1+√5)/2 Fn={(1−√5)/2}^n

上の式−下の式 をするとFn+1が消去できます。

 √5Fn={(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n

よって

 Fn=1/√5[{(1+√5)/2}^n−{(1−√5)/2}^n]
posted by ジュンジ at 13:17 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

2008年12月24日

【数B】階差数列の漸化式

数Bの話が続きますが
今回は階差数列の漸化式について。

前々回の記事

 an+1−an=3

は差が常に3の等差数列と書きました。
これは{an}の階差数列が常に3ということです。

通常、この手の階差数列に関する問題は
階差数列が定数になっていることは少なく
そこに何らかの法則を持たせていることがほとんどです。

そこで an+1−an=3 の「3」の部分に「n」が入ってくれば
第何項と第何項の差を考えるのかによって
その「n」が変わってくるため差に一定の法則が生まれます。
例えば

 an+1−an=3n

であれば差が3ずつ増えていくことになります。
具体的には

 n=1のとき左辺は第2項と第1項の差、右辺は3×1=3
 n=2のとき左辺は第3項と第2項の差、右辺は3×2=6
 n=3のとき左辺は第4項と第3項の差、右辺は3×3=9

のようになります。
差({an}の階差数列)が

 3、6、9、…

と、等差数列になってて、その一般項は「3n」になってます。

なので{an}の一般項は

 an=a1+Σ3k【k=1〜n-1】 (ただしn≧2)

で求められます。
ついでに

 an+1−an=3

の場合、あえてこの考え方をすると一般項は

 an=a1+Σ3【k=1〜n-1】 (ただしn≧2)

で求められます。
Σを計算すると

 an=a1+3(n-1)

となって、等差数列の一般項の求め方

 an=a1+(n-1)d

と一致します。




また別の例で

 an+1−an=3^n

であれば具体的には

 n=1のとき左辺は第2項と第1項の差、右辺は3^1=3
 n=2のとき左辺は第3項と第2項の差、右辺は3^2=9
 n=3のとき左辺は第4項と第3項の差、右辺は3^3=27

のようになります。
差({an}の階差数列)が

 3、9、27、…

と、等比数列になってて、その一般項は「3^n」になってます。

なので{an}の一般項は

 an=a1+Σ3^k【k=1〜n-1】 (ただしn≧2)

で求められます。




階差数列がどのような法則を持つかは
いろいろとあります。
今あげた例のように単純に
「3n」や「3^n」になっているものもあれば
「n^2」「2n−1」のようになったり、
そこは様々です。







ここからは余談です。

隣り合う項の差を考えたのが「階差数列」。
じゃあ隣り合う項の比を考えたのは
「階比数列」とでも言うんだろうか?(^_^;)
聞いたこともないのでたぶん言わないんでしょうけど…

具体的には

 1、1、2、6、24、120、…

のように
1項目と2項目の関係は×1
2項目と3項目の関係は×2
3項目と4項目の関係は×3
4項目と5項目の関係は×4
5項目と6項目の関係は×5
になっているもの。
一般項は

 an=a1×(n-1)!

ですね。
階差数列のときみたいに公式っぽく書くと

 an=a1×Πk【k=1〜n-1】

と書きます。「Π」の意味は
Σk【k=1〜5】=1+2+3+4+5 なら
Πk【k=1〜5】=1×2×3×4×5 です。

まあ、高校数学では出題されないでしょう(^^)
posted by ジュンジ at 01:43 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

2008年12月23日

【数B】階差数列

「等差数列」は隣り合う項の差が等しい数列。

それに対して

「階差数列」は隣り合う項の差が
一定の法則に従って変化する数列

です。

というのは実は間違いです!!(^_^;)

いや、言いたいことはわかるんですが、
「階差数列」という言葉が指す数列はそれではないのです。


今回はそこを説明したいと思います。







 {an}=1、2、4、7、11、16、…

という数列{an}があり、項の差を取ると

 1、2、3、4、5、…

となっている。この数列を{bn}とする。

 {an}=1、2、4、7、11、16、…
 {bn}= 1、2、3、4、5、…

このとき{bn}を{an}の階差数列と呼ぶ。

つまり「階差数列」と呼ばれるのはこの{bn}のことで
{an}のことではない!!! ということです。

一番最初にした説明の何が間違っているのかわかりましたか?
あの説明で指していたのは{an}の方です。
そこが違うのです。
ちなみに{an}そのものには特に名前はなく単に「数列」です。

だからこの{an}の数列を見て
「これは階差数列だ!」
と言うのは間違いです。
正しくは
「これの階差数列は等差数列になっている!」
などと言うべきなのです。

「階差数列」は等差や等比のように「数列の規則性」を
意味しているのではなく、
数列のでき方というか作り方のようなものの名前なのです。
だから階差数列がどんな規則を持っているかは様々です。
もちろん階差数列に規則が見つからない場合もあります。
その場合はその階差数列の階差数列を考えてみると
規則が見つかる場合もあります。
何度か階差数列を考えるとき、
最初の階差数列を「第一階差数列」
2番目の階差数列を「第二階差数列」
と呼びます。



ではポイントをまとめておきましょう。

 「階差数列って何?」

と聞かれたら

 「数列の隣り合う項の差を取ってできる数列」

と答えましょう。
そこにどんな法則があろうとなかろうと知ったこっちゃないです。
とにかく差を取って作った数列が「階差数列」なのです。
posted by ジュンジ at 02:53 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B