2015年04月17日

【数V】積分の問題

ゆーたろーさんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

==============================

 (2)  を求めよ。

==============================

この問題の前に次のような問題がありました。

-----------------------------------------------------

 (1)連続関数は、すべての実数xに対して
 を満たしている。
 このとき、と置換することにより、等式

  

 が成り立つことを示せ。

-----------------------------------------------------

この(1)の証明は省略して、この等式が成り立つことを利用したいと思います。

まず本題である(2)の定積分する関数を見ると

 

ですが、これを

 

と見て、x以外の部分をf(x)とします。

  とする

これに対してを満たすかどうかを確認します。

 

無事に成り立ちました。
したがって(2)の問題に対して(1)を使うと

 

となります。
ここからは次のように解いていきます。

 


積分でlogにしたときに絶対値ではなく普通のカッコにしているのは

   

だからです(^^)
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2014年09月13日

【数V】複素数平面と軌跡

やっくんさんから頂いた質問の問題です。

問題
3つの複素数の表す
複素数平面の点をそれぞれとする。
0でない複素数zに対し、によってwを定める。
z、wが表す複素数平面上の点をそれぞれとする。
(1)点Pが線分AB上を動くとき、点Qの描く曲線を複素数平面上に図示せよ。
(2)点Pが△ABCの3辺上を動くとき、点Qの描く曲線を複素数平面上に図示せよ。

3点A,B,Cは、直線で結ぶと正三角形になりますが
単位円周上にあって円を3等分している点でもありますね。

(1)
点Qの軌跡を求めるということなので、
点Qをグラフに使う文字でおくわけです。
通常のxy平面であればQ(x,y)とおきますが
複素数平面なので点Qを複素数wでおかれています。
で、この複素数wを実部a・虚部bに分けたおき方をするのか
絶対値rと偏角θを使う極形式でおくのか。
今、

 

という設定で1÷複素数の計算をするので極形式の方が楽です。
なので線分AB上にある点Pを極形式で

 

とおきます。
このときz≠0よりr>0、
また点A、点Bを極座標(r、θ)で表すと
なので
という範囲を持ちます。
これでwを求めると

 

これでwについて

 

となったわけですが、wの偏角がどの範囲で動くのかは想像がついても
w絶対値の方は点Pが点Aから点Bに移動する間に一定の割合では
変化しないので想像しにくく、点Qがどう動くかはわかりません。
やはりrとθの2変数だとわかりにくいので変数を1つにしましょう。
そこでrとθの関係式を考えていきます。

線分ABと実軸との交点をDとします。
点Pを線分AB上に適当に打ちます。
どこに打ってもPまでの距離をr、偏角をθとしているので
OP=r、∠POD=θは常に言えます。

comp2.jpg

ここで△OPDに注目すると

 

これを先ほどのwの式に代入して整理します。



第1項、第2項の部分を極形式で表すと



より

 

で、最後の+1がなければwは
原点が中心で半径1の円のからの部分を表します。
これに+1をするというのは実軸方向に1だけ平行移動するということなので
中心は複素数でいうと1+0iが表す点に移動します。
xy平面だと見て直交座標でいえば(1、0)
原点からの距離と偏角で表す極座標だと(1、0)
複素数平面上の点を表す複素数でいうと1
が表す点が中心で半径1の円のからの部分
が求める点Qの軌跡になります。

comp1.jpg
図の赤の実線部分が点Qの軌跡。

wによって点線の線分AB上の点が
この赤の実線に移されたことになります。




(2)
●点Pが線分AC上にあるとき
原点から線分ACに垂線OEを引くと
△OCEは30°、60°、90°の直角三角形だから
点Eの偏角はで、
である。

線分AC上の適当なところに点Pを打つ。
この点Pを表す複素数zについて|z|=r、arg z=θとすると
z≠0よりr>0、である。

comp3.jpg

上の図のような位置に点Pを打つと
である。
ここで△OPEに注目すると

 

上の図のように点Pが線分AE上にあるときは

 

で、点Pが線分EC上にあるときは

 

となり、偏角は正負が逆転するが

 

が成り立ち同じ式になるので場合分けは必要ない。
ということでいよいよwを求めていこう。



ここで積和の公式

 

 

を使うと



偏角の範囲を考える。

 

よって原点が中心で半径1の円のからの範囲のものを
x軸方向に、y軸方向にだけ平行移動したもの。
下の図の青の実線部分です。

comp4.jpg

wによって青の点線で描かれた線分AC上の点を
青の実線の曲線上に移動したことになります。



●点Pが線分BC上にあるとき
この点Pを表す複素数zについて|z|=r、arg z=θとすると
z≠0よりr>0、である。

 

したがってwは



偏角の範囲を考える。

 

よって原点が中心で半径1の円のからの範囲のものを
x軸方向に、y軸方向にだけ平行移動したもの。
下の図の緑の実線部分です。

comp5.jpg

wによって緑の点線で描かれた線分AC上の点を
緑の実線の曲線上に移動したことになります。



(1)の答えも合わせると
点Pが△ABCの3辺上を動くとき、点Qの描く曲線は
下の図の赤・青・緑の実線部分。

comp6.jpg




2014.9.19
数式と図を修正しました。
posted by ジュンジ at 15:28 | Comment(1) | TrackBack(0) | 数学V

2014年09月02日

【数V】分母に2乗があるときの部分分数分解

やっくんさんより質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

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部分分数分解について質問です。



とするように



としてはダメなのはなぜですか。



なんで(最後のは)2乗なんですか?

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これは疑問に思うところですよね。
僕も高校の時に思いました(^^;

まずは

■  ではダメな理由
ダメな理由から説明します。
実はよく見るとわかると思いますが

 

という右辺の第2項、第3項の

  と 

この2つは同類項なので次のようにまとめられてしまうのです。

 

B+C=B'としてまとめました。
ではこれだとどうなるのか。
xについての恒等式になるようにAとB'を求めてみましょう。
右辺を通分しつつ左辺の分母と同じ式にします。
そして分子を降べきの順にまとめて係数比較します。

 

係数比較すると

 

(1)より

 

これを(2)に代入。

 

よって

 

この時(3)も成り立たなくてはいけないので確認すると

 

よって(3)は成り立たない。
したがって

 

が成り立つA、B'は存在しない。


さてここで少し考えてみましょう。
今、なぜダメになってしまったのか。
それは係数比較したときの連立方程式で
(3)の式が成り立たなかったからなのだが
AとB'という文字2つに対して式3つなので
こういうことが起きてしまったのである。

文字が2つなのは自分でそう置いたので納得するとして
なぜ式は3つになってしまったのか。
それは両辺で分母を同じ式にするときのことを思い出そう。
左辺の分母は3次式であるのに対し、
右辺の分母は二つとも1次式である。
なのでこの1次式を左辺と同じ3次式にするために
2次式を分母・分子にかけたのだが
それによって分子は2次式になったのだ。
2次式ということは係数比較するときに
2次の係数、1次の係数、0次の係数(定数項)
の3つを比較するので、
連立方程式で式が3つになってしまったのである。

3つの式に対して文字が2つだと必ずしも
3つともが成り立つ解があるわけではない。
そこで文字も3つにすることを考える。





■  とする理由

左辺を右辺のように分解する方法を考える。
今のところ3項目はわかっていないとして

  と 

に続く3項目の分母を考えよう。
右辺を通分したとき、左辺の分母以上の因数を
持ってしまってはいけないので
左辺の分母の約数であることが最低条件である。
では左辺の分母

 

の1とこの式そのもの以外の約数は

  と  と  と 

の4種類である。
このうちx-2とx+1はすでに第1項、第2項で使っているので
先ほどのダメな理由からダメである。
では(x-2)(x+1)だとどうなるか。

 

ここで右辺はx+1で約分できることになり
左辺が既約分数であることに矛盾することになるので
やはりこの置き方もダメであることがわかる。

今の式変形は左辺の分母と同じになるようにやったが
普通に右辺だけを通分することを考えると
分母は最小公倍数である(x-2)(x+1)にすればよい。
そして左辺と同じにするために分母・分子にx+1をかける。
なので既約分数にならないのは当たり前。
このことから右辺を最小公倍数で通分した段階で
左辺と同じ分母になっていないといけないことになる。
つまり
右辺の分母の最小公倍数が左辺の分母になるように置く必要がある。
ということだ。

したがって先ほどあげた4種類の約数の4種類目の

 

ならOKになる。

   と  と  の最小公倍数は 

というのが理由の説明です。
一応最後まで分解しておきますね。



 

係数比較すると

 

これを解いて

 

よって

 

と分解できる。




分解後の分母の最小公倍数が分解前の分母に一致すればいい
ということから考えると他にも

 

とおいても分解できます。
これだとAとBの2文字ですが、右辺の分母は2つとも2次式なので
通分後の分子が1次式となるので文字は2つでちょうどなのです。
実際にこれで分解してみると

 

とできますが、どう分解するかは
分解後の目的によって選びましょう(^^;

分母が(x+1)(x+2)(x+3)の分数を(x+1)(x+2)と(x+2)(x+3)の分母を持つ
2つの分数の差に分けるのは数列の和を求めるときに使われます。
一方、x+1とx+2とx+3に分解するのは積分するのに適した分解ですね。
posted by ジュンジ at 15:38 | Comment(4) | TrackBack(0) | 数学V

2014年08月26日

【数V】増減表のf'(x)の正負の考え方

いやピースさんから質問いただきました。
ありがとうございます(^o^)


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数3Cの微分の範囲でグラフの概形を描く問題で
グラフの凹凸を求め増減表を描く場合
グラフのプラマイの部分の求め方がわかりません。
数2までの微分ならなんとかなるのですが
logとかeとかルートがでてきたとき混乱してしまいます
ほんとに数3できないので、基礎の基礎から教えてもらえると嬉しいです。
どうかよろしくお願いいたします。
==========================================


数Uの時にf'(x)の正負を考える時
いつも放物線をイメージしていませんでしたか?
もしそうであれば、数Vの微分で困ると思います。

y=f(x)のグラフを描くための増減表を描くためには
f'(x)が0になる時のxを求め
それを境にf'(x)の正負を考えます。

数Uで出てくる増減表の問題と言えば
3次関数です。
発展問題で4次関数もありますが
3次が4次になったところで
基本的は変わりません。
ただし数Vの微分で困る人は
4次になったら困ると思います。

f(x)が3次ならf’(x)は2次です。
式の値の正負を考えるには
和よりも積の方が都合がいいです。
なぜなら
正+負の結果は正か0か負か決まりませんが
正×負の結果は必ず負になると
言えるからです。
なのでf’(x)の式を積の形にする、
つまり因数分解するのです。

例えば

 

となったとします。
これを二次関数のグラフと見れば
x軸と2、3で交わる下に凸のグラフだとすぐにわかり、
グラフがx軸より上側のところではf'(x)は正
グラフがx軸より下側のところではf'(x)は負
と見た目で分かります。

f(x)が4次関数でもf'(x)は3次関数なので
因数定理などを利用すれば因数分解は可能です。
しかしここで少し困る人が出てきます。
f'(x)の正負を考えるためのグラフを描きたいところですが
f'(x)が3次関数なのでそのグラフを描くために
このf'(x)自体を微分して増減表を描く必要が出てきます。
それは面倒ですね。
ただし3次関数の一般的なグラフの形を知っていれば
3次関数のグラフも正負がわかる程度には簡単に描けます。

例えば

 

であれば、x軸との交点は1、2、3の3か所です。
そしての係数が正ならばグラフは最終的には
上がっていくので左から右へ順に、
上がって下がって上がります。
ってことであとはf'(x)のグラフを見て
グラフがx軸より上側のところではf'(x)は正
グラフがx軸より下側のところではf'(x)は負
と答えられます。



ところが数Vではこのf'(x)のグラフを描くことが
通常は困難であり、f'(x)の正負を考える時に
困ってしまうということです。

例えば

 

であれば微分すると

 

となりこのグラフを描くことが困難だということです。
そこで「正負を考える時は積の形」です。
因数分解したのは何もグラフを描くためではありません。
f'(x)の正負を考えるためです。

今回因数分解するとxとと2+xという3つの因数に分解できました。
これら1つずつの正負を考えていくのです。
この3つのうちでは常に正で0になることすらないので
f'(x)の正負を考える上では何の影響力もありません。
なのでこれは無視して残り2つの正負を考えればOKです。
xと2+xがそれぞれ0(←正負の境界)になるのは
xが0と-2のとき。

x<-2のときは
 
     =負×正×負
となり正。

‐2<x<0のときは
 
     =負×正×正
となり負。

0<xのときは
 
     =正×正×正
となり正。

増減表を描くと



こんな感じで考えてみてください。
ちなみに数Uの微分でもこの考え方はできます。


logを含むものもやっておきましょう。

 

この時点で真数条件よりx>0、
分母≠0より、x≠0
という条件があり、まとめると
今回の定義域はx>0ということになります。
f(x)を微分すると

 

今回は2つの因数に分解できました。
1-log xとです。
それぞれが0になるのはe、0ですが
今回の定義域はx>0なので
は0になることもなく常に正となるのでこれは無視して
1-log xの正負だけ考えればOKです。
x=eのときに1-1となり0になりますが
xがeより小さい場合はどうなるか。
log xのグラフを思い出せば単調増加なので
xがeよりも小さくなればlog xは小さくなります。
つまり

x<eのとき
 1-log x=1-(1よりも小さい数)
なので正。

同様にlog xのグラフを思い出せば単調増加なので
xがeよりも大きくなればlog xは1より大きくなります。

e<xのとき
 1-log x=1-(1よりも大きい数)
なので負。

増減表を描くと


といった感じです。



まとめると
f'(x)でもf''(x)でも正負を調べるには因数分解して
各因数ごとに正負を考える
という考え方が基本かと思います(^^)
posted by ジュンジ at 04:08 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2014年05月09日

【数V】正n角形と極限値

やっくんさんからの質問です。
いよいよラストです。

=======================================

3以上の整数nに対して、面積が1の正n角形の周の長さをlnとする。
(1)lnをnの式で表せ
(2)極限lim_n→∞ lnを求めよ

=======================================

(2)に関しては正∞角形は円に近づくことに
気付ければ答えだけは簡単に出せますね(笑)



正n角形の外接円の半径をrとします。
円の中心から各頂点に線を引くとn個の二等辺三角形ができます。
頂角は円の中心をn等分していることからなので
二等辺三角形1つあたりの面積は

 

これがn個集まったのが正n角形でその面積が1なので

 

r>0より

  … @

この話はここまでで止めておきます。


さて本題の周の長さですが先ほどの二等辺三角形を
1つだけ取り出してみましょう。
これの底辺の長さを求めれば
それがn個で周の長さになります。
頂角とそれを挟む二辺がわかっている状態から
底辺を求めます。

頂点から底辺に垂線を下ろします。
この垂線は頂角の二等分線でもあるので
頂角は に二等分されます。
また底辺を2xと置いておくと半分に分けられた底辺はxになります。
この垂線で半分にされた三角形は直角三角形なので
直角三角形を使った三角比の定義より

 

これをxについて解くと

 



したがって正n角形の周の長さ
2xがn個分なので

 

@を代入すると

 

分母のsinに2倍角の公式を使うと

 

ということで(1)の答えとしては

 

ここからは極限を意識した式変形で

 

よって

 
posted by ジュンジ at 14:02 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2014年05月07日

【数V】(log x)/xの極限

吉田さんからの質問です。

==================================

lim    
x→∞ logx/x

の解説と答えをお願いします。

==================================

 

ロピタルの定理を使えばすぐに解けます。

  かつ  なので

ロピタルの定理より

 



これを使わないのであれば

 

において

 

とおく。

 

なので

  ⇒ 

よって式は次のように変形される。

 

今tは十分に大きいのでt>0として考えても構わない。
ここで

 

という不等式を考えると、十分に大きなtにおいて明らかに成り立つ。
またより

 

右辺の式に関して

 

したがってはさみうちの原理より

 

まとめると

 
posted by ジュンジ at 09:41 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2013年07月05日

【数V】区分求積法の考え方と式の変換方法

ジュンさんから質問いただきました。
ありがとうございます。


=============================================

はじめまして、高3のジュンと申します。
どれも解説が分かりやすいので、
いつも参考にさせていただいています。

数3積分の区間求積法が、全然わからないので
教えていただけませんか?なんとか、
式の操作(∫がΣに対応しているあたり)は
覚えるという形で済ませられたのですが、
応用問題となると手も足も出ません(>_<)

=============================================
(※ここでは質問文の後半を省略させていただきました)


応用するには基本をしっかり理解することが
必要不可欠です!
なので区分求積法の基本的な考え方と
和の式を積分に変換(Σを∫に変換)する
方法を簡単に説明します。





一般項を持つ数列
値を次のような棒グラフみたいに
表すとします。

graph_1.png

いちばん左の棒は
n=1のとき、つまりの値です。

次に各棒グラフの先から
右隣の棒まで線を伸ばします。

graph_2.png

このとき横幅1の長方形が
n個できることになります。

ここでちょっとおかしなことになりますが
横軸に打っていた1、2、3、…、nという
値をすべてnで割ります。

graph_3.png

これで各長方形の幅は1から1/nに変りました。
図ではあまり変っていませんが…
ちょっと手間を惜しみました、スイマセン(^^;
これに伴って1つ目の長方形の縦の長さも
f(1)からf(1/n)に変りました。
ちなみに「おかしなこと」とは
横軸の値は第○項という自然数だったのに
それが分数になってしまったことです。
先ほどは1、2、3、…、nだったのが
1/n、2/n、3/n、…、n/nになりました。

このように長方形をたくさん並べていると
こんな曲線に沿っているように見えてきませんか?

graph_4.png

今回は長方形の左上に曲線を合わせてみました。
このグラフをy=f(x)とします。
このグラフのxは実数なので
先ほどの「おかしなこと」は解消されました。
今後の説明のために今
x軸に打たれている値の一般項を考えておきます。
並んでいるのは1/n、2/n、3/n、…、n/nなので
k番目の値はk/nであることが簡単にわかりますね。


さて、このとき長方形の面積の総合計を考えます。
各長方形の縦の長さはそれぞれのx座標を
グラフの式に代入した値です。
仮にx=k/nのときであれば
縦の長さはf(k/n)となります。
一方、横の長さはすべてが1/nです。
よって左端がx=k/nのところにある
長方形の面積は、縦×横より

 

となります。
今考えるのはすべての長方形の面積の合計なので
左端のx座標が1/nからn/nまで、
つまりkが1からnまでの分を足すことになります。
よって面積の総合計は

 

Σの中ではkだけが変数で
1/nは定数なのでΣの前に出して
すっきりさせておきます。

 

ここでnの値を∞にするとどうなるか。

@長方形の数がn個だったので
その個数が∞個になります。

Aまた各長方形の横幅は1/nなのでほぼ0になります。
ということで長方形というよりも
「縦線」状態です。

Bそして最初の長方形の左端の位置は
1/nだったのでn→∞のときこれは0に収束します。

C最後の長方形の左端の位置は
n/nだったのでn→∞のときこれは1に収束します。
まあ今回はn→∞じゃなくても元から1ですが、
n-1/nやn+1/nでも同じく1に収束します。

よって@〜Cより
幅がほぼ0の縦線みたいな長方形が
左上を曲線に合わせながら
0から1の位置に無数に並んでいる
という状態になります。

パッと見だとy軸の右隣に空白部分が
できそうですが、
その空白部分の幅もほぼ0になるので
y軸の方へ詰まってきます。
また同様に右端も最後のひとつ分だけ
0から1の区間からはみ出しそうですが
はみ出る部分の幅もほぼ0なので
最終的には0から1の区間に収まるよう
変っていくと考えられます。

つまりそれは

 

で求められる面積と一致します。

graph_5.png

したがって

 

が成り立ちます。
Σから∫に変換するには4つのポイントをチェック。


■1つ目
式が1/nでくくられていること

■2つ目
Σの中の式のすべてのkがk/nで書かれていること

■3つ目
Σのkの開始値

■4つ目
Σのkの終了値


これらをチェックしたら∫の式に変換する作業。


■1つ目
1/nは変換後は出てこなくなります

■2つ目
Σの中にあるk/nをすべてxに変えてΣを∫に変えます

■3つ目
開始値/nにおいてn→∞の極限値を求め
その値を積分の下端にします

■4つ目
終了値/nにおいてn→∞の極限値を求め
その値を積分の上端にします


これでOKです(^^)

こう考えるとΣのkが0から始まっていても1からでも
開始値/nにおいてn→∞の極限値は0なので
∫の下端はやはり0ということになります。
同様にkの終わりがnでもn-1でもn+1でも
終了値/nにおいてn→∞の極限値は1なので
∫の上端はやはり1ということになります。

しかしkが2nで終わるようであれば
終了値/nにおいてn→∞の極限値は2なので
次のようになります。

 

他にも

 

のように変換できます。

posted by ジュンジ at 11:42 | Comment(5) | TrackBack(0) | 数学V

2013年05月22日

【数V】調和級数が発散することの証明

hrdさんより質問を頂きました。
ありがとうございます(^^)


==========================================

日々、拝見させて頂いてます。
特に、『ax+bという漸近線の求め方』は疑問が解消され、
大変参考になりました。ここで、質問なのですが...

(1)Σ k=1から2^n (1/k)≧n/2+1を証明せよ

(2)無限級数ΣK=1から∞ (1/k) は発散することを証明せよ。

(1)の不等式は(2)を証明するために出てきたものですが、
どういう発想でこの式が出てきたのか、疑問を持ちました。
「数Vの近似式がマクローリン展開の一部である」のように、
この不等号にも何かあるのではないでしょうか?

お忙しい中、読んで頂きありがとうございます。

==========================================

まず問題の式はこんな感じです(・∀・)



(1)

 

を証明せよ。

(2)無限級数

 

は発散することを証明せよ。



どういう発想なのかはきっと
Σを使わず具体的な足し算の式を眺め、
それより小さな値になる式でも
発散するような式を考えよう
という発想だと思います。

ということで説明しますね。
僕も本で読んだことがあるから
知っている方法なのですが(^^;




Σを使わずにΣ(1/k)を書くと

 

となります。
これをSと置いておきましょう。

 

ここで先ほど書いたようにこれより小さな値になる
ような式を考えます。

 

が成り立つので
1/3を1/4に書き換えると小さな値になる式になります。
とりあえず

 

 
 
このふたつを比べると下の方が
1/3が1/4になっている分小さくなります。
なので

 
 
となります。左辺が発散すればそれより大きな値である
右辺も発散するという考えで進めたいと思っているわけで
今のような書き換えを他にも次のようにやります。
上下の式でどう変ったかチェックしてください。

 

 

だいぶ分母が変わりましたよね。
分母が全部の数に変わりました。
以外の数は次のの値に置き換えました。
この置き換えた式をTとしましょう。

 

 また 

これを分母に注目して次のように見ます。

 

もう少し続きも書くと

 

カッコごとに計算すると

 

つまり

 

となります。
先に進めば進むほど
1/2を作るために必要な項数は
2倍ずつ増えていきますが
今は項数が無限なので
この1/2も無限個作れるわけです。
1/2が無限個あれば∞に発散します。

 

においてTが発散するのでSも発散。
よって証明できた。



問題文の(1)の式は
左辺がSの部分和で右辺がTの部分和です。
今の説明みたいに1/2を作るために
ちょうどキリのいいところまでの部分和がほしい。
そうするとTにおいて
1つ目の1/2が出てくるのは第2項までの部分和
2つ目の1/2が出てくるのは1/4までなので第4項までの部分和
3つ目の1/2が出てくるのは1/8までなので第8項までの部分和
4つ目の1/2が出てくるのは1/16までなので第16項までの部分和
というように「キリのいいところ」が
(nは自然数)になっているんですよね。
だから(1)のような式が出てきたのだと思います。


以上で見解と説明は終わりです。
質問の答えになっていれば幸いです(^^)
受験勉強がんばってくださいね。
posted by ジュンジ at 11:38 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2013年05月05日

【数V】数Vの近似式はマクローリン展開の一部である

数Vの微分の最後の方で習う近似式は
のとき



一次の近似式
 



というのがあり、さらに



二次の近似式
 



というのもありますが、
これらはどちらも


 マクローリン展開


と呼ばれる式変形をした式の一部なのです。
そのマクローリン展開はテイラー展開の特殊な場合です。

とりあえずこの記事では式だけ紹介しておきます。
x=aにおけるテイラー展開は無限回微分可能な関数f(x)に対して
次のように表せる。



テイラー展開(x=aにおいて)
 



このテイラー展開においてとしたものが
マクローリン展開です。



マクローリン展開(x=0においてのテイラー展開)
 



このマクローリン展開はずっと続きますが
そのうちの最初から第2項までを取り出すと
第3項以降を切り捨てちゃってるので
等しいとは言えなくなるので

 

一方、数Vの近似式でa=0とすると

 

あとはhをxに書き換えれば両者は同じ式になります。

同様に2次の近似式はマクローリン展開の第3項までの式と
近似式でa=0にした式を比較すると

 

 


よって数Vの近似式については



 1次の近似式:マクローリン展開の第2項まで
 2次の近似式:マクローリン展開の第3項まで



と覚えておくとよいでしょう。



ただ最後に数Vの近似式でa=0としてしまったので
xが0近傍以外のときの近似式はどうやって求めるの?
って思ったかもしれませんが、
問題集や教科書を見る限り

 ・|x|が十分小さいとき
 ・x≒0のとき

の近似式を求める問題しか出てこないようです。
これはx=0におけるテイラー展開、
つまりはマクローリン展開で
求められるものしか出てこない。
逆にx=0以外のところでの近似式は
テイラー展開に頼ることになる
ということなのでしょう。



ちなみにテイラー展開は「冪級数展開」とも言います。
それに関しては気が向いたら説明します(笑)




【数V】近似値、近似式
【数V】数Vの近似式はマクローリン展開の一部である
posted by ジュンジ at 12:39 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2013年05月04日

【数V】近似値、近似式

アビーさんから質問いただきました。
ありがとうございます。

===============================================

数3の近似式と近似値の意味がよくわかりません。
どうか教えてください。お願いします。

===============================================

数Vの近似式

 

は微分の定義から導けます。
※「」は「≒」の意味です。

 

ここでhが十分小さい時に

 

が成り立つとする。
あとは式変形をして

 

これのxをaに置き換えたのが最初に書いた
近似の公式になっています。






それではこれを使って近似値を求めてみましょう。

例)次の近似値を求めよ。



まずここでは

 

としましょう。そうすると
これのx=1.02のときを求めることになります。
ここで

 

と見て、0.02は十分に小さいとみなし
近似の公式のhに当てはめます。
つまり近似の公式

 

において

 

とするということです。
よって

 

を計算するのですが
ここにはf'も出てくるので
先にf'(x)を求めておきましょう。

 

より

 

となります。
よって

 

のように近似値が求まります。






次に近似式を求める問題も具体的にみてみましょう。

例)|x|が十分小さいとき、次の近似式を作れ。



まず今度は「|x|が十分小さいとき」ということなので

 

において、

 

という対応になります。となると当然

 

と対応付けられるので、近似の式は

 

となります。
ではここで、fとはどういう関数かを考えましょう。
f(x)と書くとxという文字がかぶるので
今回はf(X)と書いておきます。

 

これをどのように設定すれば
Xに1-xを代入したときにになるのか。
それを考えてf(X)を設定します。
今回は

 

と設定すれば

 

という問題の関数になります。
よって近似の式にはf'も出てくるので

 

したがって

 

ということで

 

となり、意味的には
のグラフは
|x|が十分小さいときつまりx=0付近では
のグラフとほぼ同じ
と考えることができます。






【数V】近似値、近似式
【数V】数Vの近似式はマクローリン展開の一部である
posted by ジュンジ at 10:50 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学V

2011年06月11日

【数V】増減表の中に「/」(値なし)が出てきたら

グラフをより詳しく描くためには
それなりに調べることも増えてきます。

グラフを描く基本から言えば
まずはf'(x)の値。
これでy=f(x)のグラフが変化がわかります。

そしてf''(x)の値。
これでf'(x)の値の変化がわかります。
さらにそれは「y=f(x)のグラフの変化分」の変化がわかるということで
「『y=f(x)のグラフの変化分』が増加」であれば
グラフはどんどん増え方が急になっていくので
曲線は下に凸の形になることがわかります。
よってf''(x)ではグラフの凹凸がわかります。

次に調べるのはf(x)のx→±∞の極限値でしょうか。
これでy=aタイプの漸近線があるかないかが判断できます。
収束すればy=aタイプの漸近線があるということです。

その他のy=ax+bタイプの漸近線を調べるには
まずf(x)の式が1次式かどうかをチェックすることから始めます。
それ以降の説明は以前の記事に任せます(笑)
【数V】ax+bという漸近線の求め方




f(x)が全実数において連続かつ微分可能だとこれでだいたいの形はわかります。
ただf(x)が分数関数や無理関数になる場合はもう少し調べた方がいいことがあります。
それが今回の記事の本題です(やっとw)




分数関数では「分母が0はダメ」という数学の大原則に従って、
(無理関数は1回微分すると分数関数になるので同様に)
分母=0になるところでは値を持たないことになります。
その場合、増減表中には「/(斜線)」を書き込みます。
これが出てくるとさらにlimを計算することになります。



増減表中のf'(x)の行に「/」がある場合。
例えばx=2のところで「/」になっている場合は
x=2に対して左右からのlim、つまりx→2-0とx→2+0を計算する必要があります。
仮に左からの極限値が1で右からの極限値が-∞だったとします。
この値はx=2の近傍における接線の傾きのことなので
最終的にはこの値の傾きで(2、f(2))という点に向かうことになります。
グラフを左側から描いていくとすると
今回は左からの極限値が1なので左からは傾き1つまりtanθ=1よりθ=45°の角度で近づき、
右からの極限値が-∞なので傾き-∞つまりtanθ=-∞よりθ=270°の角度で出て行くことになります。
あくまでもx=2の近傍での話で、グラフが曲線であればすぐにカーブすることになりますが
これによってずいぶんグラフの形が変わってくると思います。
ただ、多くの問題はそこまで考えなくてもよいと思います。
あくまでも個人的な意見ですが(^^;


同様に増減表中のf(x)の行に「/」がある場合も左右からの極限値を求めます。
これも例えばx=2のところで「/」になっている場合は
x=2に対して左右からのlim、つまりx→2-0とx→2+0を計算する必要があります。
先ほどと違ってこちらはf(x)の値で、グラフそのものの行く先が出てくるので
左からの極限が1で右側からの極限が∞であれば
左側からグラフを描くとすれば
左からは(2,1)に向かい、x=2は値なしなので(2,1)は白丸で除外しておき、
続きはx=2の上の方からびゅーんとグラフを下ろしてくることになります。
少しフィーリング的な表現になってしまいましたw (^-^;


これだけ考えれば十分かと思います。

ちなみにf''(x)の行で「/」が出てきた場合、
それもlimを考えてもいいですが、
大してグラフの形に反映させることができません。
f''(x)の値は傾きの変化量なので
グラフで言うと
「どのくらい速くグラフが曲がっていくか」
ということを意味します。
ま、そこまでは要らんでしょ(笑)


ということで丁寧にやるのであればいろいろ考えることはありますが、
後半のこの記事の本題部分は
あくまでも「グラフをなるべくキレイに描く場合」の話で
極大・極小値や最大・最小値を求めるのが目的であれば
グラフのカーブの具合なんてどうでもいいのでそこまでやる必要はありません(^o^)
posted by ジュンジ at 03:09 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2011年03月09日

【数V】二回微分が意味するもの

y=f(x)という関数のグラフがあるとき
f'(x)はその導関数で、このxに具体的な値(定数)aを代入すると
そのグラフのx=aにおける接線の傾きを意味する。
接線の傾きが正であればy=f(x)のグラフは増加している最中であり、
負であればグラフは減少している最中であり、
0であればグラフはその一瞬では変化していないということになる。

よって

「f'(x)の値を調べることで、微分する前のf(x)の変化の状態を知ることができる」

と言える。
f'(x)の値の大きさはf(x)の変化の度合いを示し、正負で増加・減少を表す。
微分の問題でよく書くx、f'(x)、f(x)の増減表では
f'(x)の大きさは無視して、正負の違いだけを利用していることになる。



ではf''(x)は何を知ることができるのか?
習った人なら「変曲点」と即答するだろうが、
なぜ変曲点がわかるのか、また変曲点とはどういう点なのか
を考えてみたいと思う。



先ほどの導関数の説明を利用するとf''(x)については

「f''(x)の値を調べることで、微分する前のf'(x)の変化の状態を知ることができる」

と言える。


具体例を交えて説明していこう。
例えば今f'(x)の値が5、4、3、2、…
と減っていったとする。
(説明をわかりやすく整数で書いてますが、連続的に変化すると考えてください)

f'(x)の値が減っていってるので「f''(x)の値は負である」と言える。
不等式で書くと f''(x)<0 となる。

一方f'(x)の値が減っていっているとはいえ、
5から始まって2まで減っても値自体は全て正なので
f'(x)>0 といえる。

f'(x)が正なのでy=f(x)のグラフは増加している最中だが、
その変化量を示すf'(x)の値は減っているので、
y=f(x)のグラフの増加の勢いは衰えつつあることになる。

例に挙げたf'(x)の減り方のまま変化を続けると
f'(x)は5、4、3、2、1、0、-1、-2、-3、…
のようにやがて0になり、さらには負の値になっていく。

f'(x)が0になったところでy=f(x)のグラフは一瞬変化はなくなり、
次の瞬間からはf'(x)が負になることからy=f(x)のグラフは
減少し始めることになる。
このy=f(x)のグラフが増加から減少に変わる瞬間が「極大値」である。

一方、f''(x)に注目すると、
f'(x)の変化は減る一方なのでf''(x)の値は常に負である。
つまりf''(x)の値は「極大値」には無関係ということになる。

f'(x)の変化がこのままだとこの先もずっとf'(x)<0であり、
y=f(x)のグラフの減少量はどんどん激しくなっていく。
この場合、上に凸のグラフになる。



ここでf'(x)の値の変わり方を少し変更し、
5、4、3、2、1、0、-1、-2、-3、-4、-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2、3、…
としてみよう。(連続的に変化すると考えてね)
最初の5から-5のところまではずっと減り続けているので f''(x)<0
そこから先はずっと増え続けているので f''(x)>0 である。
この例で言うとf'(x)=-5の瞬間だけf'(x)は増えも減りもしようとしないので
f'(x)の変化を意味するf''(x)が0であると言える。

しかしy=f(x)のグラフを考える時、このf'(x)=-5の前後では
f'(x)の値は-4であり、f'(x)<0なのでy=f(x)のグラフは減少している最中である。

では f''(x)=0 はy=f(x)のグラフに対してどういう意味があるのか?

この例ではf'(x)の値がそれまで減少を続けてきたのに対し、
ここからはf'(x)の値が増加していく節目になっている。
増加し始めはまだ-4や-3なのでy=f(x)のグラフはやはり減少中だが、
f'(x)の値が増え続けやがて0になったところで「極小値」となる。
グラフの減少はここで完全にストップする。
そしてf'(x)が正の値になればy=f(x)のグラフも実際に増加していく。

このf'(x)の値が増加し始めた瞬間からf(x)の減少の度合いが収まり始める、
つまりy=f(x)の変化にブレーキがかかるようになるのである。
そしてそのおかげでそれまで減る一方だったy=f(x)のグラフも
減り方がマシになっていき、やがて増加していく。
ゆえにこのブレーキが効き始めた瞬間からグラフは下に凸の形となる。

そしてそのブレーキが効き始める点を「変曲点」と呼ぶ。

「変曲点」とは上に凸のグラフと下に凸のグラフの
切り替えポイントになっているところで、
その名の通り「曲がり方が変わる点」のことなのである。




ちなみにf'(x)が
5、4、3、2、3、4、5、6、…
のように変化する時も
f'(x)=2のところでf'(x)が変化しようとしなくなっているので
f''(x)=0 になっており、その前後でf'(x)が減少から増加に変わっているので
「変曲点」と言える。

しかしf''(x)=0となる前後でf''(x)の正負が変わらないところは「変曲点」と呼ばない。
例えばf'(x)が
5、4、3、2、2、2、1、0、-1、…
のように2のところで一度変化がなくなる場合はf''(x)=0となるが
その前後でf'(x)は減り続けていてf''(x)の値としては
負→0→負 となって、f''(x)=0の前後で正負が変わらず負のままなので
この場合「変曲点」とは呼ばない。
これはf'(x)=0となる前後でf'(x)の符号が変わらないところを「極値」と呼ばないのと似ている。


最後に少し変な性質を紹介。
曲線の「変曲点」における接線は接点においてその曲線と交わる。

交わるのに「接線」っていうのか?!






2012/11/30 記事を少し修正しました
posted by ジュンジ at 02:36 | Comment(4) | TrackBack(0) | 数学V

2011年03月04日

【数V】y=xまわりの回転体の体積

【問題】
 y=x^2とy=xによって囲まれた部分を
 y=xのまわりに回転してできる
 立体の体積を求めよ。


数Vも少し凝った問題になるとx軸まわりやy軸まわりでない
回転体の体積を求める問題が出てきます。

行列の回転を利用して解く方法もありますが
考え方によっては数Vの知識だけでも解ける問題です。
しかもその方が計算が楽です。






ここでは描きませんが、まずは図を描いてみてください(^^;
原点をO、放物線と直線の交点で原点以外のものをAとします。
線分OA上に点Tを打ち、
点Tを通り、y=xに垂直な直線を引き、
放物線との交点のうちx>0のものを点Pとします。

回転体は無数の薄っぺらい円盤の積み重ねというのが基本的な考えです。
なので円の面積を式で表し、それを積分することで積み重ねるといったイメージです。

今回はy=xまわりの回転体なので、
円盤の半径になるのが線分PTになります。
つまりは半径PTの円を
点Tが原点Oからy=xに沿って点Aまでの分積み重ねることになります。
もちろん点Tが動けば点Pも変わり、PTの長さもさまざまに変化します。
そういったものを「集める」役割をするのが「積分」なんです。

x軸まわりの回転体のように通常はx軸に沿って積み重ねるので
その場合は円の半径はグラフのy座標そのものであり
半径yの円盤(その面積はπy^2)をx軸方向に積み重ねていきます。
積分の式は∫πy^2dxというように(普通πは∫の前に書くことが多い)
x軸方向の積分となり最後がdxとなりますが
今回はy=xの直線の方向に沿っての積分なのでdxではダメなのです。
そこで普通はx軸、y軸の2軸だけですが、
ここで直線y=xをt軸として設定します。

t軸はx軸と45度をなすので点Aのt座標つまりはOAの長さは√2になり、
この回転体を求める積分の式は

  π∫PT^2dt 【積分範囲はtが0〜√2】

となります。

ではまずPTを式で表しましょう。
点Pの座標を(x、x^2)とします。
点Pを通りx軸に垂直な直線とy=xとの交点をQとすると

 PQ=x−x^2

△TPQは直角二等辺三角形なので
PT:PQ=1:√2より

 PT=(x−x^2)/√2

これで積分の式は次のように書き直せます。

 π/2∫(x−x^2)^2dt 【積分範囲はtが0〜√2】

PTをxの式で表したのでdtもdxにするようにしましょう。
tをxで置換するということになりますがtという文字はx座標ではないので要注意です。
tはt座標なので、今単に「t」と書かれると、
原点からt軸の正の向きにtのところまでの距離を表します。
点Tのt座標をtとするとOT=tです。
ここで

 OT=OQ-QT

OQは座標xを使って表すと√2x
QTは△TPQが直角二等辺三角形なのでQT=PT
よって

 OT=√2x−(x−x^2)/√2

つまり

 t=√2x−(x−x^2)/√2

これを両辺xで微分すると

  dt/dx=√2−1/√2+√2x
    =√2/2+√2x
    =(1+2x)/√2

これで積分の式は

 π/2∫(x−x^2)^2・(1+2x)/√2dx 【積分範囲はtが0〜√2】

さらに積分範囲もx軸方向で考えなくてはいけません。
tとxの関係式から考えるよりも図で考えると、
今、積分範囲は点で言えば点Oから点Aまでで、
それがt座標では0から√2ということでしたが、
それをx座標で見ると0から1なので最終的に積分の式は

 π/2∫(x−x^2)^2・(1+2x)/√2dx 【積分範囲はxが0〜1】

となります。
あとは計算するだけです。
答えは √2π/60 です。




これを最初に言ったように行列の回転を利用する方法は
次の記事「【数C】「y=xまわりの回転体の体積」への行列の利用」で。
posted by ジュンジ at 01:24 | Comment(4) | TrackBack(0) | 数学V

2009年05月27日

【数V】ax+bという漸近線の求め方

※コレは3連続記事のうちの3つ目です。
前の記事を読んでない人は最初から読むことをお勧めします。
1つ目の記事
2つ目の記事
※2011/6/11にもうひとつ記事が追加されました。
4つ目の記事 【数V】logを含む関数の漸近線

y=f(x)の漸近線の求め方を先に書いておこう。
ちなみにここで言う漸近線とは「直線」であり、
漸近線を求めることはその直線y=ax+bの
傾きaと切片bを求めることである。


@傾きを求める

 

 で出てくる値が傾きである。
 またそれをaとする。


A切片を求める
 @で求めたaを使い、

 

 で出てくる値が切片bである。


コレでグラフの右側の漸近線が求まった。
左側の漸近線も同様に

 



 

を計算することで求まる。







さて、なぜコレで漸近線が求まるのか
詳しく考えてみましょう。

まずその前提として最初に書いたように
今回求める漸近線は曲線やx=aのように縦軸に平行な線
ではない
というのはわかっておいてください。
ということで今回求めるのはax+bの漸近線。

漸近線というのはだんだんその線に限りなく近づいていく
という線ですね。
グラフの式がどのような時にそのような直線が存在するのか?
それがわからなければ常に
「漸近線はあるの?ないの?あったらどんなの?」
という不安が付きまとうことになります。
なのでまずは
「どのような式のときに漸近線を考える必要があるのか」
を考えましょう。

x→±∞のときにグラフの式が1次式以下として見れる場合、
これは最終的にその1次式以下のグラフに近づくので
漸近線があります。
逆にx→±∞のときにグラフの式が2次式以上として見れる場合、
これは結局は直線の式(1次式以下)に近づかないので
直線の漸近線はありません。


つまり


 もともと次数が1次以下の式でないと直線の漸近線はない


ということになります。
ただ

 

のような式でも整理すれば最高次数は1次になるので要注意!

例として前々回前回の記事の例を振り返って見ると

 

 と

 

はどちらも1次式になってます。



具体的に見てみると

 

のxは1次式、1/xは−1次式。
よって全体としては1次式。




 

のxは1次式、も2次式の1/2乗なので1次式。
よって全体としては1次式。

ということでどちらも漸近線アリです。


x→±∞のとき
これらの式では1次の項だけが重要になり、
その他は無視できることになります。
漸近線の傾きを求めたいのであれば
この無視できない「1次の項の係数」が
漸近線の傾きに他ならないので
グラフの式をxで割ってx→±∞にlimすれば
それが求まる
ということになります。
なので@の計算というわけです。

それでは切片は?

今までグラフの式には
「無視できない部分」と「無視できる部分」がある
と説明してきましたが
この「無視できない部分」は漸近線の式なので
「無視できない部分」=「ax」+「b」
に分けることができます。
よってグラフの式は
「ax」+「b」+「無視できる部分」
に分けることができます。
このうち「無視できる部分」を消すための操作がlimでした。
じゃあ、切片「b」を求めたいのであれば「ax」の部分も
消さなければいけません。そこでAの計算。


 


となるわけです。
{f(x)-ax}は「b」+「無視できる部分」。
これをlimすることで「b」だけが残るということです。








以上で漸近線についての説明は終わりです。
文章ばかりでの説明なのでわかりにくかったと思いますが、
わかっていただけたのならうれしいです(^^)

■追加記事
4つ目の記事 【数V】logを含む関数の漸近線
posted by ジュンジ at 03:18 | Comment(24) | TrackBack(0) | 数学V

【数V】こんなグラフの漸近線

※コレは3連続記事のうちの2つ目です。
前の記事を読んでない人は最初から読むことをお勧めします。
1つ目の記事




1つ前の記事で「分数関数の漸近線」について書いた。
他にも単純なものとしてx=aという縦線の漸近線がある。
これは分数関数で分母が0になる時を考えればすぐに求まる。



これ以外の漸近線はないの?



あります。




例えばこんなグラフ。


 


これは分数関数ではないので
(無視できない部分)+(無視できる部分)
のように分けられない。
でも考え方は一緒だ。

x→∞の時にどこが無視できるかを考える。

すると今回は  の−1が無視できることに気づくだろう。

つまりこのグラフの式はxが十分に大きい時


 


となり整理すると


 


よってx→∞、つまりグラフの右側の漸近線はy=2xとなる。

一方、左側つまりx→−∞ではどうなるか?
先ほどと同様に無視できるのは  の−1である。
よってこのグラフの式はxが十分に小さい時


 


となる。ここまでは先ほどと同じ。
だが今回はxがマイナスであることに注意して√をはずす。


 


よってx→−∞、つまりグラフの左側の漸近線はy=0となる。




このように分数関数だったり無理関数だったりすることで
求め方が少し変わってくると覚えるのは面倒になる。
考え方は同じだが、一問一問そうじっくり考えるのも面倒だ。

そこでやはり漸近線にも一定の「求める手順」があった。

つづく
posted by ジュンジ at 02:36 | Comment(2) | TrackBack(0) | 数学V

【数V】分数関数の漸近線

y=ax+bタイプの漸近線の求め方を調べていたら
こんなふうに載っていた。


 

 ならば y=ax+b は漸近線


はぁ?
そのax+bの式はどこから出てくるんだ?!

と思ったわけですよ。
このax+bを求めたいのに、
その式自体が公式に入ってるとはどういうことだ?!
この式はあくまでもax+bが求まった後に
これは間違いなく漸近線ですよと証明するための式であって
漸近線を求めるための式ではない!

そこでこのlimの式の意味を考えてみた。
xが十分に大きい時、f(x)-(ax+b)=0ということは


 f(x)=ax+b


ということであり、最終的にy=f(x)というグラフは
y=ax+bとほぼ同じになる。

だから y=ax+b が漸近線なのだ、と。

じゃあ、このどこからともなく沸いてきたax+bが
このlimの式の中になかったら??


ここで具体的な例を考えてみよう。


 


というグラフの漸近線を考えるとする。
x→∞となるときこの右辺のうち1/xは0に近づくので
無視できるようになる。(x→−∞の時も同様)
ということは  というグラフは
xが十分大きい時は1/xが無視できて


 


というグラフとほぼ一致する。
つまりy=xが漸近線ということになる。

まとめるとx→∞にした時に無視できるところを消去したものが
漸近線ということになる。

ここまでわかったら


 


となるax+bの探し方もわかってくる。
これ、つまりは

「f(x)の式の中にはx→∞のときに無視できる部分と
 無視できない部分(←コレが漸近線)があるけど、
 その無視できない部分を引いてやると、
 無視できる部分だけが残るから、
 それをlimで∞に飛ばすと0になるよ」

ということを言っている。
だったら

f(x)をx→∞のときに
無視できる部分と
無視できない部分
に分けることをしてやらないといけない。




===【まとめ】==============

そこで分数関数の場合は
割り算をして商と余りを求め、


 (商)+( 余り / 分母 )


とする必要が出てくる。
コレを詳しく見ると必ず


 (1次以下の式)+(分子が分母より低次数の分数式)


となっていて、これがそのまま


 (無視できない部分)+(無視できる部分)


となり、前の無視できない部分が
漸近線にあたる。


簡単に言うと


 分数関数の漸近線は 分子 ÷ 分母 の「商」である。


と分母=0となるx=aも漸近線だということもわすれずに。

===========================



ここで前の部分が「1次以下の式」と決まっているのはなぜか?
今考えている漸近線が「斜めの『直線』」だからである。
(※正確には斜めの直線と横軸に平行な直線)
直線である限りは1次以下にならざるを得ない。
そこが2次式になっていたら
漸近線が放物線になるということになる。




つづく
posted by ジュンジ at 02:18 | Comment(16) | TrackBack(0) | 数学V

【数V】「グラフを描け」という問題

グラフを描くために微分して、
増減表を描いて…

というのは数Uの微分でもやった。
数Vで第二次導関数を習うと
それを使ってグラフの凹凸や変曲点も
考えて描くことになってくる。
さらには漸近線も考えなくてはいけないし、
−∞や∞といったところ、言い換えれば
グラフの左右の向かうところなども考えなくてはいけない。

このうち−∞や∞での値というのは
増減表とは別にlimの式を書かなくても
増減表に取り込んでしまうというテもある。

増減表にはxの値の欄を一番上に書くと思うが
その両端に−∞と∞の欄を追加すればいい。

増減表のxの行だけ書くとこんな感じだ。
________________
|x|−∞|…|a|…|b|…|∞|
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
(※x=a、bで極値となるとする)

これは別の言い方をすると
増減表を書くときのxの定義域が

−∞≦x≦∞ (←つまりは全実数)

というだけのことである。
posted by ジュンジ at 01:42 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2009年03月13日

【数V】微分の公式

数Vで出てくる微分は
高校の時は丸暗記だった。
中でも a^x の微分はなかなか覚えられなかった。
実際今でも覚えてはいない。

sin x
cos x
log x
e^x

この4つは覚えてるけど
tan x はたまに忘れるし
a^x は先ほど書いたようにちゃんと覚えてない。

でも積の微分を覚えていれば
tan x
= sin x / cos x
= sin x ・ (cos x)^(-1)
として計算可能だから大丈夫。

で、a^xはというと
対数微分法を覚えていれば大丈夫。
y = a^x
として両辺の自然対数をとると
log y = log a^x
log y = xlog a
これを両辺xで微分すると
1/y・y' = log a
y' = y・log a
y' = a^x・log a
のように計算可能だからこれも大丈夫。

ということを高校の時は理解していなかった…
だから覚えられなかったんだろうね(^_^;)



暗記の近道は理解することです!
posted by ジュンジ at 22:26 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2009年02月27日

【数V】極限値の基礎

極限ってのは

 「限りなくその値に近づける」

ということですが、

 「その結果いくらになるのか」

というよりは

 「そうすることでどこに向かっているのか」

を考えることですかね。



「その結果いくらになるのか」
を考えるならわざわざ極限値なんて考えなくても
代入して計算すればいいだけです。

極限値の考え方を身近な例として

 速さ×時間=距離

をあげておきましょう。
たとえば100mの距離を考えます。
速さが5m/秒ならかかる時間は20秒です。
なるべく移動時間を短くしようと思ったら
どうしたらいいでしょう?

もちろん速さをもっと速くすればいい。

 100m/秒なら1秒
 1000m/秒なら0.1秒
 10000m/秒なら0.01秒

といった具合に
限りなく速くすれば(速さを∞にすると)
時間は限りなく0に近づく。
逆に限りなく遅くすれば(速さを限りなく0にすると)
時間は限りなく大きくなる(∞になる)。



ま、細かいことはさておき、
基本的なことを抑えておきましょう。


f(x)でx→0の極限値を考えることを


 


と書きます。


 


これは当然ですね。


 


xが0に近づけばx+1は1に近づいていくという意味です。
ここまでは単にx=0として考えればいい感じですよね。

では次。


 


これは分母であるxを限りなく0にするとどうなるか
ということを考える問題です。
先ほどのようにx=0とすると

 

となってしまいます。
分母が0になることは0で割ることなので
算数・数学では定義されていません。
なので先ほどまでのようにx=0として計算することはできません。
ですが、もともとlimは

 「その値になったらいくらになるか」

ではなくあくまでも

 「その値に近づけたらいくらに近づいていくのか」

を考えることなので、それで考えましょう。
分母がほぼ0ということなので具体的に
0.0000000001(10のマイナス10乗)とすると

 

(10の10乗)です。
さらにxを1/10倍ずつ小さくしていくと

 


つまりxを0に近づければ近づけるほど
1/xは大きくなっていくということです。
それをずっと続けていくと果てしなく大きな数になっていくので
この場合は∞ということになります。



が、実はこの問題は∞とは言い切れないのです。

なぜか?

限りなく0に近いというのは
0.0000000001のような正の数で0に近いもの以外にも
−0.0000000001のような負の数で0に近いものもあるからです。
正の数の場合は先ほどのように∞ですが、
負の数の場合はその真逆で−∞になってしまいます。

0という値に近づいていくと言っても
プラス側(数直線でいうと右側)から近づくのか
マイナス側(数直線でいうと左側)から近づくのか
で全く違う結果になってしまうので、
この場合は

 x→0

ではなく

右側(プラス側)からの極限値を考えるときは

 x→+0

左側(マイナス側)からの極限値を考えるときは

 x→−0

と書きます。

またx→2でも左右どちらからの極限値なのかを
明記しなくてはいけない場合は

右側から

 x→2+0

左側から

 x→2−0

と書きます。
この場合の「0」には特に意味はありません。
だったら

 x→2+

だけでもいいような気もしますが
おそらくそれだとなんか式が書きかけみたい
ってことであってもなくても値としては変わらない「0」を
書いているのでしょう。
ともかくこれは「書き方」なので、
そういうものと思ってください(笑)

ちなみに


 

 

 


は特に違いはありません。
求める極限値は3つとも「7」です。
この場合は左右からの極限値が一致しており
2番目と3番目の式をまとめて1番目の式のみで表現できるので
わざわざ「+0」や「−0」を書く必要はありません。
でも混乱させるためにあえて書いてある問題もありますね(^_^;)


でも


 


の場合は
右から近づければx−2はめっちゃちっちゃいプラスの数
となり1/(x-2)は「めっちゃちっちゃいプラスの数字分の1」
左から近づければx−2はめっちゃちっちゃいマイナスの数
となり1/(x-2)は「めっちゃちっちゃいマイナスの数字分の1」
なので
右からの極限値は

 

左からの極限値は

 

になります。

ここで改めて単純な


 


を考えてみてください。
1/(x-2)の時との違いがわかりますか?

この場合
右から近づけると限りなく0に近いプラスの数字
左から近づけると限りなく0に近いマイナスの数字
ですが、どちらも向かっているのは0ですよね?

一方1/(x-2)の場合は
右からなら∞、左からならその真逆で−∞でした。
向かっているところが違います。

左右からの極限値が一致するかしないか、
それがこの2つの違いです。

このように左右からの極限値が一致しない場合、
x→2での極限はないということになります。




とりあえず今回はこれで終了(^^)



【訂正】
×「間逆」 → ○「真逆」 2013.4.22

【追記】
右から近づければx−2はめっちゃちっちゃいプラスの数
左から近づければx−2はめっちゃちっちゃいマイナスの数
の部分を
右から近づければx−2はめっちゃちっちゃいプラスの数
となり1/(x-2)は「めっちゃちっちゃいプラスの数字分の1」
左から近づければx−2はめっちゃちっちゃいマイナスの数
となり1/(x-2)は「めっちゃちっちゃいマイナスの数字分の1」
に変更。
同じ質問が2度あったので追記しました。
紛らわしい表現ですいません(^^; 2013.6.12
posted by ジュンジ at 02:56 | Comment(18) | TrackBack(0) | 数学V

2008年12月17日

【数V】分数関数

数Vの最初にやるのが「分数関数」です。

 y=6/(x−1)+3

みたいなグラフです。
数Vだからきっと難しいのだろうと思うかもしれません。
が、数Vをやる人は理系の人なはずなので
意外とそう思う人は少ないかもしれませんね。

このグラフを描くのに必要な知識は中1と高1で習得済みです。
具体的に言うと、
中1で習った「反比例」と
高1で習った「グラフの平行移動」だけです。

上に例として書いた式は

 y=6/x

という反比例のグラフをx軸方向に1、
y軸方向に3だけ平行移動したグラフの式になります。
定義域はx≠1、値域はy≠3です。
漸近線がx=1、y=3と説明する方が一般的ですかね(^^;



数Tでは
中3で習った二次関数のグラフを平行移動していましたが、
これは
中1で習った反比例のグラフを平行移動するだけ。

グラフが二次関数から反比例に変わっただけなので
これは数Vと言えどそんなレベルの高いものではありません。
というかむしろ低いです。


ちなみに中1のハイレベルな問題集では
これと同じ式が
「y−3はx−1に反比例し比例定数が6」
のように説明されて登場します。
posted by ジュンジ at 04:13 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V