【数C】一次変換の行列 その3

「一次変換」の記事にもかかわらず
一次変換ではない点の移動の話もしておきたいと思います。
そして工夫次第で一次変換として扱えるようになることも。



前回の記事「【数C】一次変換の行列　その2」では
y=mxに関して対称移動する行列を求めましたが、
今回はy=mx+nタイプで。



それではy=2x+1に関して対称移動する行列を求めていきましょう。
まずはy=2x+1に関して点A(x、y)と対称な点P(s、t)を求めます。

直線APとy=2x+1は垂直に交わるので傾きを掛けたら-1になるというところから

　　t-y
　-------・2＝-1
　　s-x

またAPの中点を求めると

　　x+s　　　y+t
　-------　-------
　　 2　　、　2

であり、この中点はy=2x+1上にあるのでそれぞれxとyに代入して

　　y+t　　　　　 x+s
　------- ＝ 2・------- ＋ 1
　　 2　　　　　　 2

となる。
先ほどの傾きに関する式と連立させてsとtについて解くと

　　　　　3　　　 4　　　 4
　s＝ − ---x ＋ ---y − ---
　　　　　5　　　 5　　　 5

　　　 4　　　 3　　　 2
　t＝ ---x ＋ ---y ＋ ---
　　　 5　　　 5　　　 5

となる。
よって(x、y)をy=2x+1に関して対称移動した後の点は(s、t)なので
これを行列の等式で表すと

　┏　a　b　┓　┏　x　┓　　┏　s　┓
　　　　　　　　　　　　　＝　
　┗　c　d　┛　┗　y　┛　　┗　t　┛

となりsとtに求めた式を代入すると

　┏　a　b　┓　┏　x　┓　　┏　-3x/5＋4y/5−4/5　┓
　　　　　　　　　　　　　＝　
　┗　c　d　┛　┗　y　┛　　┗　4x/5＋3y/5＋2/5 　┛

となる。左辺を計算すると

　┏　ax＋by　┓　　┏　-3x/5＋4y/5−4/5　┓
　　　　　　 　　＝　
　┗　cx＋dy　┛　　┗　4x/5＋3y/5＋2/5 　┛

となりこれがいつでも成り立つように
つまり恒等式となるように係数比較しても
これは恒等式にはならない。

　ax＋by＝-3x/5＋4y/5−4/5

この式は右辺の最後に-4/5があるのに対し、
左辺には定数項がないので
左辺のaやbにどんな数を入れても
この等式が恒等式になることはない。
もうひとつの式

　cx＋dy＝4x/5＋3y/5＋2/5

これについても同様に恒等式になることはない。


しかし一方で

　┏　ax＋by　┓　　┏　-3x/5＋4y/5−4/5　┓
　　　　　　 　　＝　
　┗　cx＋dy　┛　　┗　4x/5＋3y/5＋2/5 　┛

この式の右辺は次のように整理できる。

　┏　ax＋by　┓　　┏　-3/5＋4/5　┓┏　x　┓　┏　-4/5　┓
　　　　　　 　　＝　　　　　　　　　　　　　 ＋
　┗　cx＋dy　┛　　┗　4/5＋3/5　 ┛┗　y　┛　┗　 2/5　┛

つまり右辺のような計算をすればy=2x+1に関して
対称移動した点を求めることは可能であるが
やはりこれは一次変換ではない。

この等式中のそれぞれの行列を大文字のアルファベットに置き換えると

　Y＝AX＋B

というように見える。

ここで
このAX+Bという計算が一次変換かどうかを検証しよう。


一次変換とは「【数C】一次変換の行列　その1」
の最初に書いたように次の2つの関係が成り立つ変換である。

　f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)

　f(cx)=cf(x)

f(X)＝AX+Bでまず上の式を検証してみる。

　左辺＝f(X1＋X2)
　　　＝A(X1＋X2)＋B
　　　＝AX1＋AX2＋B

　右辺＝f(X1)＋f(X2)
　　　＝(AX1＋B)＋(AX2＋B)
　　　＝AX1＋AX2＋2B

よって

　f(X1+X2)≠f(X1)＋f(X2)

これだけでもAX+Bは一次変換ではないといえる。
念のためにもうひとつのf(cx)=cf(x)も検証。

　左辺＝f(cX)
　　　＝A(cX)＋B
　　　＝cAX＋B

　右辺＝cf(X)
　　　＝c(AX＋B)
　　　＝cAX＋cB

よってf(cx)≠cf(x)となる。

したがってy=2x+1に関して対称移動を表す次の式

　┏　-3/5＋4/5　┓┏　x　┓　┏　-4/5　┓
　　　　　　　　　　　　　　＋
　┗　4/5＋3/5　 ┛┗　y　┛　┗　 2/5　┛

は一次変換ではない。






だが、この記事の最初に書いたように工夫次第では
これも一次変換になる。
その方法を紹介する。

今回の対称移動が一次変換にならなかったそもそもの原因は

　ax＋by＝-3x/5＋4y/5−4/5

　cx＋dy＝4x/5＋3y/5＋2/5

これらの式で右辺に定数項があるのに対し、
左辺には定数項がなかったからである。

だったら左辺に定数項を追加すれば
これらが恒等式になることができるので
一次変換として扱えるようになる！

それぞれの定数項をp、qとして式を書き直すと

　ax＋by＋p＝-3x/5＋4y/5−4/5

　cx＋dy＋q＝4x/5＋3y/5＋2/5

となる。
これらが恒等式になるとき

　a=-3/5、b=4/5、p=-4/5
　c=4/5、d=3/5、q=2/5

である。
また左辺を行列で表すと

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┏　x　┓
　┏　ax＋by＋p　┓　　┏　a　b　p　┓
　　　　　　　　　　＝　　　　　　　　　　y
　┗　cx＋dy＋q　┛　　┗　c　d　q　┛
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┗　1　┛


となるので点(x、y)を直線y=2x+1に関して対称移動を表す行列は

　┏　-3/5　4/5　-4/5　┓

　┗　 4/5　3/5　 2/5　┛

となる。

ここで先ほどの式の右辺に注目すると
点(x、y)というよりは点(x、y、1)と扱う方が自然である。
xy平面で考えていたが、今回の対称移動を一次変換として扱うには
2次元から3次元に次元を上げないといけないということだ。
そこでz座標が1の平面(つまりz=1)上での
y=2x+1に関する対称移動として考えると
移動後の点もz座標は1のままである。
よって移動後の点を(s、t、1)とおくと

　┏　s　┓　　┏　a　b　p　┓┏　x　┓

　　　t　　＝　　　c　d　q　　　　y

　┗　1　┛　　┗　0　0　1　┛┗　1　┛

となる。
右辺1つ目の行列の3行目は
左辺の行列の3行目が1になるようにするための要素である。

この形で今回の話をまとめておこう。

点(x、y、1)をy=2x+1に関して対称移動した点を(s、t、1)とすると

　┏　s　┓　　┏　-3/5　4/5　-4/5　┓┏　x　┓

　　　t　　＝　　　 4/5　3/5　 2/5　　　　y

　┗　1　┛　　┗　　0　　0　　 1　 ┛┗　1　┛

と書けるので、この対称移動を表す行列は

　┏　-3/5　4/5　-4/5　┓

　　　 4/5　3/5　 2/5

　┗　　0　　0　　 1　 ┛

である。



このように平面における移動でも3次元で考えることで
一次変換として扱えるようになる。
今回紹介したのと同じような考えで
2次元では一次変換ではない「平行移動」も
3次元では一次変換として扱える。
詳しくはこの本のP188をご覧下さい。

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【数C】一次変換の行列　その1
【数C】一次変換の行列　その2
【数C】一次変換の行列　その3

【数C】一次変換の行列 その2

その1ではx軸対称、y軸対称、原点対称、y=x対称
などの対称移動する行列を求めました。
【数C】一次変換の行列　その1


その2ではy=mxに関して対称移動する行列を求めてみたいと思います。



それではy=2xに関して対称移動する行列を求めていきましょう。
まずはy=2xに関して点A(x、y)と対称な点P(s、t)を求めます。

直線APとy=2xは垂直に交わるので傾きを掛けたら-1になるというところから

　　t-y
　-------・2＝-1
　　s-x

またAPの中点を求めると

　　x+s　　　y+t
　-------　-------
　　 2　　、　2

であり、この中点はy=2x上にあるのでそれぞれxとyに代入して

　　y+t　　　　　 x+s
　------- ＝ 2・-------
　　 2　　　　　　 2

となる。
先ほどの傾きに関する式と連立させてsとtについて解くと

　　　　　3　　　 4
　s＝ − ---x ＋ ---y
　　　　　5　　　 5

　　　 4　　　 3
　t＝ ---x ＋ ---y
　　　 5　　　 5

となる。
よって(x、y)をy=2xに関して対称移動した後の点は(s、t)なので
これを行列の等式で表すと

　┏　a　b　┓　┏　x　┓　　┏　s　┓
　　　　　　　　　　　　　＝　
　┗　c　d　┛　┗　y　┛　　┗　t　┛

となりsとtに求めた式を代入すると

　┏　a　b　┓　┏　x　┓　　┏　-3x/5＋4y/5　┓
　　　　　　　　　　　　　＝　
　┗　c　d　┛　┗　y　┛　　┗　4x/5＋3y/5 　┛

となる。左辺を計算すると

　┏　ax＋by　┓　　┏　-3x/5＋4y/5　┓
　　　　　　 　　＝　
　┗　cx＋dy　┛　　┗　4x/5＋3y/5 　┛

となりこれがいつでも成り立つように
つまり恒等式となるように係数比較すると

　a=-3/5、b=4/5、c=4/5、d=3/5

となるので、y=2xに関して対称移動する行列は

　┏　-3/5　4/5　┓
　　　　　　　　　
　┗　 4/5　3/5　┛

1/5でくくって

　　　1　┏　-3　4　┓
　＝ ---
　　　5　┗　 4　3　┛

と書ける。

ちょっと面倒だけど、こうやって求めます。
たぶん、きっと(笑)





ちなみにy=mx+nに関して対称な移動は一次変換にはなりませんが、
その辺りは、また次回で(^^)



【数C】一次変換の行列　その1
【数C】一次変換の行列　その2
【数C】一次変換の行列　その3

【数C】一次変換の行列 その1

一次変換のことを線型写像とも言います。
一次変換は点の移動で使われますが、

　f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)
　f(cx)=cf(x)

が成り立つ変換でないと一次変換とは呼びません。



具体例をいくつか挙げていきましょう。

例
■x軸に関して対称移動

これは座標(x、y)を(x、-y)に移動することです。
これを行列の式で

（対称移動を表す行列）×（移動前の座標）＝（移動後の座標）

で表すと

　┏　a　b　┓　┏　x　┓　　┏　x　┓
　　　　　　　　　　　　　＝　
　┗　c　d　┛　┗　y　┛　　┗ -y　┛

となります。今ここで書いた

　┏　a　b　┓

　┗　c　d　┛

という行列がこの対称移動を表す行列になり、
このa、b、c、dを求めればこの行列をかけることで
どんな点でもx軸に関して対称移動できることになります。

では先ほどの等式の左辺を計算してみると

　┏　ax+by　┓

　┗　cx+dy　┛

となります。これが右辺の

　┏　x　┓

　┗ -y　┛

と等しくなるようにa、b、c、dを決めれば良いのです。
それぞれ別々の式で書くと
　ax+by=x
　cx+dy=-y
とも書けます。
いつでもこれらが成り立つようにということで
恒等式として係数比較すると

　a=1、b=0、c=0、d=-1

となります。
よってx軸に関して対称移動を表す行列は

　┏　1　0　┓

　┗　0 -1　┛

ということになります。


同様に考えると

■y軸関して対称移動

　┏ -1　0　┓

　┗　0　1　┛

■原点に関して対称移動

　┏ -1　0　┓

　┗　0 -1　┛

などはすぐに求めることができます。
y=xに関しての対称移動は「x座標とy座標を入れ替える」と考えれば

　┏　a　b　┓　┏　x　┓　　┏　y　┓
　　　　　　　　　　　　　＝　
　┗　c　d　┛　┗　y　┛　　┗　x　┛

であり
　ax+by=y
　cx+dy=x
なのでこれも同様に求められます。

■y=xに関して対称移動

　┏　0　1　┓

　┗　1　0　┛

ですが傾きが1以外の直線y=mxに関しての対称移動の行列は
こんなに簡単ではないので次回に回したいと思います(^^)



【数C】一次変換の行列　その1
【数C】一次変換の行列　その2
【数C】一次変換の行列　その3

【数C】「y=xまわりの回転体の体積」への行列の利用

1つ前の記事【数学�V】y=xまわりの回転体の体積の別解です。


【問題】
　y=x^2とy=xによって囲まれた部分を
　y=xのまわりに回転してできる
　立体の体積を求めよ。


x軸まわりの回転体やy軸まわりの回転体の体積なら
比較的簡単に求められます。
x軸まわりならπ∫y^2dx
y軸まわりならπ∫x^2dy
で計算できます。

そこでy=xまわりの問題の場合、
直線y=xをx軸に重なるように回転移動します。
つまり行列を利用して−45°の回転移動をします。
もちろんy=x^2のグラフも回転移動します。

y＝x^2上の点を(t、t^2)と置き、これを回転させた軌跡として求めます。

　┏　cos(-π/4)　−sin(-π/4)　┓┏　t　┓

　┗　sin(-π/4)　　cos(-π/4)　┛┗ t^2 ┛

　┏　√2/2(t＋t^2)　┓
＝
　┗　√2/2(-t+t^2)　┛

よって移動後の点を(x、y)とすると

　x＝√2/2(t＋t^2)
　y＝√2/2(-t+t^2)

媒介変数tを消去する。

　x-y＝√2t
　t＝(x-y)/√2

これを代入して式をyについて整理すると

　y^2−(√2＋2x)y＋x^2−√2x＝0

解の公式を使ってyについて解くと

　　　　√2＋2x±√(2＋8√2x)
　y＝----------------------------
　　　　　　　2

この式は2つの無理関数を表し、
上側のグラフの式が

　　　　√2＋2x＋√(2＋8√2x)
　y＝----------------------------
　　　　　　　2

下側のグラフの式が

　　　　√2＋2x−√(2＋8√2x)
　y＝----------------------------
　　　　　　　2

であり、−45°回転後のx軸と交わるのは下側の

　　　　√2＋2x−√(2＋8√2x)
　y＝----------------------------
　　　　　　　2

のグラフである。
回転後のx軸との交点は(0、0)と(√2、0)である。
よって求める回転体の体積は

　π∫y^2dx　【積分範囲はxが0から√2】
　＝π/4∫{√2＋2x−√(2＋8√2x)}^2 dx　【0から√2】

あとはこれを計算。
1つ前の記事での解き方より式が複雑なので少し大変だが、
置換積分を利用するなど数�Vの知識で十分解ける。
もちろん答えは同じく　√2π/60　になる。







ちなみに「y=2xについて回転」という場合は
x軸とのなす角をθとすると回転行列は

　┏　cos(-θ)　−sin(-θ)　┓

　┗　sin(-θ)　　cos(-θ)　┛

となるが、傾きから底辺1高さ2の直角三角形を考え、

　sinθ＝2/√5、cosθ＝1/√5

とそれぞれ値が求まるので同じ方法で回転後のグラフの式を得ることができる。




もちろん回転ではない解法でも出てきたPTなども求められる。
∠TPQ＝θなので　PT＝PQcosθ、QT＝PQsinθ　で表せる。

交点の座標もどこにあっても普通に求めてから行列で回転移動して求められる。



2014.9.2　訂正
×【0から2】
○【0から√2】
vさん、ご指摘感謝です！(^O^)

【数C】双曲線の漸近線を求めてみよう

以前、漸近線について書きました。
このブログ内で閲覧数の多さが1位か2位の人気記事ですｗ

・【数�V】分数関数の漸近線
・【数�V】こんなグラフの漸近線
・【数�V】ax+bという漸近線の求め方

そこでは分数関数と無理式を含む関数で出てくる
y=ax+bのタイプの漸近線の求め方について説明しました。

これで漸近線については完璧だと思っていましたが、
この2種類以外でy=ax+bタイプの漸近線がありました。



　双曲線　x^2/a^2 - y^2/b^2 ＝ 1

　これの漸近線は　y ＝ ±b/a･x


参考書を見るとたいていそう言い切ってあるだけだし、
教科書を見るとこれが漸近線であることの証明はあっても
求め方は書いてなかったので
「これは覚えるしかないのか？面倒だなぁ…」
と思ったときにふと自分で書いた漸近線の説明を思い出したので
それを使って導いてみました。

まず二次曲線なのでそれを
　y＝〜
の形に直す。

　x^2/a^2 - y^2/b^2 ＝ 1
　- y^2/b^2 ＝ -x^2/a^2 + 1
　y^2/b^2 ＝ x^2/a^2 - 1
　y^2 ＝ b^2/a^2･x^2 - b^2
　y ＝ ±√(b^2/a^2･x^2 - b^2)
　y ＝ ±b/a√(x^2 - a^2)

この時点でこれは無理関数に分類されますね。
さらに次数は2次式の1/2乗で1次だから
漸近線が存在しうることがわかります。

ここで【数�V】ax+bという漸近線の求め方に書いた

�@傾きを求める
　lim f(x)/x
　x→∞
　で出てくる値が傾きである。
　またそれをaとする。

�A切片を求める
　�@で求めたaを使い、
　lim {f(x)-ax}
　x→∞
　で出てくる値が切片bである。

を実行する。
まず�@
　lim f(x)/x
　x→∞
　　　　　±b/a√(x^2 - a^2)
　lim　-----------------------
　x→∞　　　　　x

　分母・分子をxで割って

　 　　　　±b/a√(x^2/x^2 - a^2/x^2)
　＝lim　-----------------------------
　　x→∞　　　　　x/x


　 　　　　±b/a√(1 - a^2/x^2)
　＝lim　-----------------------
　　x→∞　　　　　1

　limを実行すると

　 　　±b/a√(1 - 0)
　＝ ------------------
　　　　　　1
　＝ ±b/a

よって右向き（x→∞の方向）の漸近線の傾きは±b/a。

続いて�Aを実行。
　lim {f(x)-ax}
　x→∞

　lim　±b/a√(x^2 - a^2) - (±b/a･x)
　x→∞　　　　　

　分子を有理化

　　　　　{±b/a√(x^2 - a^2)}^2 - (±b/a･x)^2
　＝lim　--------------------------------------
　　x→∞　±b/a√(x^2 - a^2) + (±b/a･x)

　分子を整理

　　　　　b^2/a^2･(x^2 - a^2) - b^2/a^2･x^2
　＝lim　--------------------------------------
　　x→∞　±b/a√(x^2 - a^2) + (±b/a･x)

　　　　　　　　　　　　- b^2
　＝lim　--------------------------------------
　　x→∞　±b/a√(x^2 - a^2) + (±b/a･x)

　分母・分子にa/bをかける

　　　　　　　　　- ab
　＝lim　-------------------------
　　x→∞　±√(x^2 - a^2) ± x

　分母・分子をxで割る

　　　　　　　　　- ab/x
　＝lim　-------------------------
　　x→∞　±√(1 - a^2/x^2) ± 1

　limを実行すると

　　　　　　　0
　＝--------------------
　　　±√(1 - 0) ± 1

　　　　　0
　＝-------------
　　　±1 ± 1


　　　0
　＝------
　　 ±2

　＝0

よって右側の漸近線の切片は0
したがって�@�Aの結果より右側の漸近線は

　y ＝ ±b/a･x

である。
左側の漸近線はコレと同様に求められる。
式中に出てくるxがほとんどx^2しかないので
式を書いていくと「x→∞」が「x→-∞」に
なるだけだとわかると思います。

よって左右両側を考えた結果双曲線の漸近線は
　y ＝ ±b/a･x
である。


最後に
　√(x^2 - a^2)
は本来なら√の中が0以上という条件付ですが
今はx→±∞で考えているので
x^2>>a^2　より正となり明らかに条件を満たす
ということで条件による場合分けは不要です。



さてもうすぐセンターですね。
受験生の皆さん、がんばってください！！

【数C】行列

久しぶりの更新にもかかわらず、
コツでもないのに、投稿します(^_^;)


行列の和と差はそのままだが積は独特である。

※行列のカッコがうまく書けないので
行列の式はバッサリカットで(^_^;)


和と差は同じ要素同士を足したり引いたりするので
2つの行列の行と列の数が同じでないと計算できない。

これにたいして積は1個目の行列の1行目と
2個目の行列の1列目の要素をそれぞれ掛けて
その和が積の行列の1行1列目の要素になるので
1個目の行列の列の数（横の長さ）と
2個目の行列の行の数（縦の長さ）が
等しくないと計算できない。

なので
3行2列×3行2列の計算はできない。
2行2列同士ならできる。
3行2列と2行3列でもできる。
4行3列と3行1列でもできる。

ちなみに「m行n列の行列」を「m×n行列」と書くことにすると
a×b行列とb×c行列なら積が計算可能で
計算結果はa×c行列になる。


このように行列は演算自体が可能なときが限られているのだが
2×2行列であるAとBに対して

　A×B≠B×A

のように交換法則が成り立たないのも大きな特徴のひとつである。
が、AかBが単位行列Eの場合は交換法則が成り立つ。

単位行列とは

1　0　0
0　1　0
0　0　1

のように対角成分がすべて1で、
他はすべて0である正方行列のことである。
このような単位行列は通常EやIで書く。
単位行列Eに関しては

A×E＝A

E×A＝A

のように普通の計算の「1」にあたるものである。

【数C】コツじゃないけど

年末・年始の休みに入り
しばらく授業から遠ざかるので
ここに書くネタにも少し困りそうですが、
とりあえず年内は毎日書き続ける予定です。

で、今日はさっそくネタが尽きました（笑）
やっぱり授業するか、自分で勉強するかしないと
ネタに困りますね。

ということで本来の目的から外れますが
こんな話を。





先日発表された
「高等学校学習指導要領改訂案」
によると、
なんと


数学Cが消滅予定です！


現在は

数学�T、数学�U、数学�V
数学A、数学B、数学C
数学基礎

の7科目ですが、改定案では

数学�T、数学�U、数学�V
数学A、数学B
数学活用

の6科目になっていました。
その分、数�Vの単位数が増えるみたいです。

現行の数Cは
・行列
・二次曲線
・確率分布
・統計処理

このうち
「二次曲線」は数�Vへ
「確率分布」と「統計処理」は数Bへ
移行される予定ですが、
数Cのメインである「行列」は消滅するっぽいです。

ケーリー・ハミルトン、さようなら〜(T-T)丿