周期的に変化する自然数の数列の一般項を考えてみた

数学ガールでミルカさんが


　周期性から円を連想するのも
　繰り返しの源を
　円に求めるのも自然だ

　
　※P170参照(^^)

とおっしゃっていたのでそれを基に
次のような数列の一般項を考えてみた。




■1の繰り返し
1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,…




■1,2の繰り返し
1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,…




■1,2,3の繰り返し
1,2,3,1,2,3,1,2,3,1,2,3,…




■1,2,3,4の繰り返し
1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,…




■1,2,3,4,5の繰り返し
1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,…



　　　

　　　

　　　

　　　


■1,2,3,4,5,6の繰り返し
1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,…





1〜5の繰り返しは若干ひきょうな感じもしますが…(^^;
この手を使えば任意の5つの数の繰り返しの数列が作れます(笑)
1〜3はこの手を使っていませんが、同様に可能です。
なので任意の3つの数の繰り返しの数列も作れます。

ちなみに1〜5はΣを使うと短くできます。






それにしても1〜5と1〜6は強敵でした(>_<)
1〜6の方が先に解けました。
1〜7には勝てそうにありません…
ただ、ガウス記号使えば全勝できそうです(^^♪






■エクセルでの確認用の式
A列の2行目以降に自然数nを
別の列の2行目以降に以下の式を入れてください。

1〜3
=2+2/SQRT(3)*SIN(2*PI()*(A2-2)/3)

1〜4
=-SQRT(2)*SIN(PI()*(2*A2-1)/4)+((-1)^A2+5)/2

1〜5
=((4*COS(2*PI()*(A2-1)/5)+1)^2-5)/20+2*((4*COS(2*PI()*(A2-2)/5)+1)^2-5)/20+3*((4*COS(2*PI()*(A2-3)/5)+1)^2-5)/20+4*((4*COS(2*PI()*(A2-4)/5)+1)^2-5)/20+5*((4*COS(2*PI()*(A2)/5)+1)^2-5)/20

1〜6
=-2*SIN((2*A2-1)*PI()/6)*(1+2/SQRT(3)*COS((2*A2-1)*PI()/6))+((-1)^A2+7)/2

平均点だけではテストの難易度は比較できない

こないだ

センター試験の平均点を見たところ
数�Tより数IAの方が平均点が高いので
数IAよりも数Iの問題は難しいのですか？

という質問メールをいただきましたが、
決してそんなことはありません。




例えば同じテストを受けたとしても
A高校とB高校では平均点が異なるのが当たり前です。

ある同じテストを同じ時期に受けたとき
　A高校の平均点60点
　B高校の平均点40点
というデータがあれば
そこからわかることは
A高校の方が学力が高いということになりますが
これは「同じテスト」を「同じ時期」に受けた結果だからです。

もし違うテストを受けていたとしたら？
例えば先ほどと同じ
　A高校の平均点60点
　B高校の平均点40点
という結果が出たとしても
A高校のテストがめちゃくちゃ簡単で
B高校のテストがめちゃくちゃ難しかったら
はたしてA高校の方が学力が高いと言えるでしょうか？
そんなことはないですよね。
もしかしたらB高校の人たちがA高校のテストを受けたら
平均点が80点かもしれません。

なのでテストが違えば、平均点だけを見ても
どちらのテストが難しいのはわかりません。





センターの数学�Tと数学�TAの話に戻ると
数学�Tを受けた人たちと、数学�TAを受けた人たちは完全に別の人たちです。
これは先ほどの例で言うと別の学校の人たちが
それぞれ数�Tと数�TAという異なるテストを受けた
ということです。
人も違えばテストも違う。違うことだらけです。
なので単純に平均点が高い方が簡単という結論にはなりません。

一般的に数学が得意な人は理系に進み、
理系進学だと数�Tではなく数�TAで受験することが多く、
数�Tを受験する人たちは数�TAを受験する人たちよりも
数学が得意な人が少ないため数�Tの方が平均点は低くなる可能性が高いです。
もちろん数�Tのテストの方が難しいから平均点が低いという可能性もあります。

本当にテストの難易度を比較したいのであれば
同じ人たちにどちらのテストも受けてもらって平均点を出すしか方法はありません。

本番のセンター試験はどちらか一方しか受験できないので
もし難易度を比較したいのであれば
どちらも自分で解いてみるのがいちばんでしょう。

もしかしたらたまたま解けなかったり、解けたりすることもあるので
自分ひとりだけで判断できない場合は
友達や先生にも両方解いてもらってデータ数を増やしましょう。




統計を取る時はどのようなデータを集めたのかというのも非常に大切です。

あるサービスに対して「お客様満足度98％！！」とか見かけますが、
もしこれがアンケートはがきで得たデータであれば
これはある程度は当たり前の結果なのです。

だって、考えてみてください。
わざわざアンケートに答えてはがきを出すなんて手間のかかること、
そのサービスをよく思ってる人しかやらないでしょ？
サービスを悪く思っている人はそんな面倒なアンケートに答えないのです。
つまり、よく思っている人たちからのデータしか集まらないので
この類のアンケート結果は最初から良い結果にしかなりえないのです。

しかし結果は事実なのでそれを前面に出して宣伝しても
うそをついているわけではありません。
結局はその結果を読み取る人がどう受け取るかが全てなのです。
表面的な数字だけを見るのではなく、
どういったところから出てきた数字なのかを考えることも重要なのです。

合同式

前回の記事（【数A】9の倍数の調べ方〜九去法）の
最後に少し触れた「合同式」について
少しお話しておきたいと思います。

学校で習う数学でこの合同式が出てくることは
たぶんないと思います。


例えばある考えに基づいて考えると
4と7は同じであるといえる。
このとき

　4≡7

というように書くのだが、
さすがにこれでは「ある考え」がわからず意味不明である。
さて、「ある考え」とはどういう考えだろう？
今回の例では4、7と合同になるのは
10、13、16、19、…
などである。
数列的に考えると
初項4、公差3の等差数列ということになるが
これらの数字全てに対して言えることが
今回の「ある考え」である。

この数列の一般項は3n+1と書ける。
この形から言えることは
「3で割ると1余る」
ということだ。

このように4を3で割ったあまりも、7を3で割ったあまりも同じになることを
4と7は「3を法として合同である」という。

そして法が3であることを明記した書き方がこれ。

　4≡7　(mod 3)

「mod」とは
「法」を英語で言うと「modulus」で、
その最初の3文字に省略したもの。
「モッド」と読むのが一般的かと思います。




で？




と思った人も多いと思う。
なぜならば
割り算の余りなんて小学校の算数と
数�Uの「整式の除法」で扱うくらいで
たいして使う機会がないからだ。


しかし意外なところで使われている。


日常の中で言えば「時間」だ。
深夜テレビなどの番組開始時間を見ると
「深夜26時」などと書かれていたりする。
一日は24時間。
ある日の午前0時から24時間が過ぎると
一度リセットしてまた0時とカウントする。
だから普通「26時」ではなく「午前2時」という。
26時と午前2時は同じ時間を意味する。
つまりこの「26と2は24を法として合同である」と言える。

　26≡2　(mod 24)




数学の中にも普通にこの考えを使っているところがある。
「角度」だ。

一般的な分度器は0°から180°までの目盛りがある。
180°以上になっても1周するまで、つまり360°になるまでは
普通にその角度を答える。

でも1周過ぎてさらに30°の場所を角度で説明する時
わざわざ「390°」と認識する人は少ないだろう。
1周して30°のところ（390°）だろうが
2周して30°のところ（750°）だろうが
場所的にはどれも「30°」のところなので
普通はその代表値として「30°」と答える。

これは

　390≡30　(mod 360)
　750≡30　(mod 360)

ということだ。


30°＋360°×(-5)＝-1770°
30°＋360°×(-4)＝-1410°
30°＋360°×(-3)＝-1050°
30°＋360°×(-2)＝-690°
30°＋360°×(-1)＝-330°
30°＋360°× 0　＝ 30°
30°＋360°× 1　＝ 390°
30°＋360°× 2　＝ 750°
30°＋360°× 3　＝ 1110°
30°＋360°× 4　＝ 1470°
30°＋360°× 5　＝ 1830°

これらはすべて分度器では同じ場所になるので合同。
これらすべては360°を法として合同である。
そしてこれらはすべて

　30°＋360°×n　(nは整数)

という形に表せる。
数列で言う「一般項」のことだが、
このように表した角度を「一般角」という。


他にももっとシンプルな例を挙げるとすれば
「奇数」は2を法として1となる数
「偶数」は2を法として0となる数
なども余りに注目する性質である。
合同式で書けば
　7≡1　(mod 2)
　4≡0　(mod 2)
のような感じで書ける。



さて、具体例も示したところで、前回の記事の話。

　ある自然数が9の倍数であることを確かめるには
　各位の数の和が9の倍数であることを確かめればよい。

9の倍数とはつまり9で割り切れる数、
さらに言い換えるとmod 9で0になる数
ということになる。
ここで前回の例の818593623の場合

　8+1+8+5+9+3+6+2+3＝45

　45≡0　(mod 9)

よって818593623は9の倍数。
といったような書き方ができる。

接頭辞〜ミリとかマイクロとか〜

福島第一原子力発電所事故の報道でよく出てくる単位についてのお話。



放射線の線量当量の単位の「シーベルト」の前に付く
「マイクロ」とか「ミリ」とか。
今日テレビで「会見は専門用語が多く一般人にはわかりにくい」
と言われていたので意外と知らない人は多いのではないかと思いました。

シーベルトに限らずある単位の前に付くこのような言葉を
「接頭辞」といいます。

わかりやすく重さの単位であるg（グラム）で説明します。

　1ミリグラム＝0.001グラム

です。つまり「ミリ」は普通の1000分の1を意味します。
そして「マイクロ」については

　1マイクログラム＝0.001ミリグラム

です。「マイクロ」は先ほどの「ミリ」の
さらに1000分の1を意味します。
なので

　1マイクログラム＝0.000001グラム

であり、非常に小さな値であることになります。
またここまで0が並ぶとパッと見で桁がわからなくなります。
逆に

　1グラム＝1000ミリグラム＝1000000マイクログラム

です。こちらはさっきとは逆で
マイクロで表すととても大きな数字になってしまい、
やはりここまで0が並ぶとパッと見で桁がわからなくなります。

つまり接頭辞というのはパッと見で桁をわかりやすくするために
あるものだといっても良いと思います。

「ミリ」は記号では「m」で
「マイクロ」は記号ではギリシャ文字で「μ」と書きます。
これらの記号を使うと

　1μg＝0.001mg＝0.000001g

のようになります。


この接頭辞は他の単位にも使うことが出来て
「Sv（シーベルト）」にも使って報道しているわけです。

「ミリシーベルト」が初めて出てきた官房長官の会見では
「400ミリシーベルト」という表現をされ、
「これまで（のマイクロシーベルト）とは1つ単位が異なります」
とおっしゃっていたと思います。
「マイクロ」と「ミリ」の違いを知っていれば
単位が変わったことで「1000倍にもなったのか！」と
驚くわけですが、知らなければ
「1015マイクロシーベルトから400ミリシーベルトになった」
と言われたら、1015から400に減ったように
思ってしまうかもしれませんね。

　1015μSv＝1.015mSv

なので400倍にもなったということです。
減っただなんてとんでもない！

そういう勘違いをする人がいるかもしれないということからか、
「400mSv」をマイクロのまま
「40万マイクロシーベルト」
と表現していた報道もありました。
接頭辞に慣れていると逆にわかりにくい表現です…



ちなみにWikipediaによると

　胸のX集団検診 - 0.05mSv/回
　胃のX集団検診 - 0.6mSv/回

だそうです。

会見でも「胸のエックス線は1回あたり50μSv」って言ってましたね。
50μSv＝0.05mSvです。

そして1年間に浴びてもいいのは1mSvとも言っていましたが、

　自然放射線 - 2.4mSv/年

ということで、何もしてなくても1年間で大丈夫な量の
2.4倍もの放射線を浴びているようです。

え？それってアカンやん！と僕も思いましたが、
某知恵袋でも同様の質問がされていて、その返事を見たところ
1年に1mSvという値は
「自然放射線、医療被ばくを除いた場合の被ばく限度」
と答えられていました。
なるほど。



さらにWikipediaによると

　放射線を短期間に全身被曝した場合、
　5%致死線量が2シーベルト
　50%致死線量が4シーベルト
　100%致死線量が7シーベルト
　と言われている。

とのこと。
単位関係を確認しておくと

　2シーベルト
　＝2000ミリシーベルト
　＝2000000マイクロシーベルト（200万マイクロシーベルト）

です。
「短期間」というところがどれくらいの期間なのかが不明瞭で
なんとも言えませんね…





今回の記事は
今後の報道をご覧になる時に、理解の助けになれば
と思って書きました。
とにかくこれ以上悪い方向にいかないことを願います。

■□■ 科目別 記事一覧 ■□■

当ブログ「数学のコツ」の記事を科目別に整理したリンク集です。
一般的な教科書で出てくる順番に並べ替えてあるので、目的の記事が探しやすいと思います。

数学�TA

【数�T】展開と因数分解　その1 【数�T】展開と因数分解　その2 【数�T】展開と因数分解　その3 【数�T】展開と因数分解　その4 【数�T】展開の工夫 【数�T】a^3±b^3の因数分解公式 【数�T】絶対値 【数�T】文章から数式を立てる 【数�T】不等式の落とし穴 【数�T】不等式を実用する 【数�T】不等式の整数解 【数�T】不等式の整数解　その2 【数�T】二次方程式の利用（文章問題） 【数�T】文字係数を含む二次関数の最大・最小値 【数�T】二次関数の最大・最小値 【数�T】置換すると二次関数になる関数の最大・最小値 【数�T】二次関数の利用（文章問題） 【数�T】不等式が常に成り立つように 【数�T】三角比 【数�T】45°系のsin、cos 【数�T】三角形の面積の公式 【数�T】データの平均値、分散、標準偏差、共分散、相関係数 【数�T】センターで 【数�T】センター数�TAの�T（2009年） 【数�T】センター数�TAの�T（2010年） 【数�T】センター数�TAの�T（2011年） 【数�T】センター数�TAの�T（2012年） 【数�T】センター数�TAの�T（2013年） 【数�T】センター数�TAの�T（2014年） 【数�T】センター数�TAの�T（2015年） 【数�T】センター数�TAの�T（2016年） 【数A】大学入試における数Aの注意点 【数A】nPr か nCr か 【数A】順列「この順に並べる」の考え方 【数A】サイコロの目の最小値 【数A】命題の真偽の証明 【数A】9の倍数の調べ方〜九去法 【数A】必要・十分条件 【数A】センター論理のコツ 【数A】内分・外分 【数A】内分点、外分点 【数A】三角形の五心 【数A】チェバ・メネラウスの定理 【数A】方べきの定理の覚え方 【数A】センター平面図形のコツ 【数A】二元一次方程式 【数A】ユークリッドの互除法 【数A】合同式の性質 【数A】素数pを含む式が平方数になるとき 【数A】センター数�TAのA（2009年） 【数A】センター数�TAのA（2010年） 【数A】センター数�TAのA（2011年） 【数A】センター数�TAのA（2012年） 【数A】センター数�TAのA（2013年） 【数A】センター数�TAのA（2014年） 【数A】センター数�TAのA（2015年） 【数A】センター数�TAのA（2016年）

数学�UB

【数�U】【旧数A】二項定理をマスターしよう 【数�U】【旧数A】二項定理の例題　その1 【数�U】【旧数A】二項定理の例題　その2 【数�U】【旧数A】二項定理の例題　その3 【数�U】【旧数A】二項定理の一般項 【数�U】【旧数A】二項定理を因数分解に利用する 【数�U】恒等式（三角関数との融合問題） 【数�U】組立除法 【数�U】2点間の距離 【数�U】二直線が共有点を持つための条件 【数�U】グラフの通過領域 【数�U】正領域と負領域 【数�U】三角関数の周期の求め方 【数�U】3倍角の公式 【数�U】三角関数の合成 【数�U】三角関数の式の整理の仕方 【数�U】センター指数・対数関数のコツ 【数�U】指数関数を二次関数に帰着する 【数�U】関数の最大・最小値 【数�U】三次方程式の解の個数（微分） 【数�U】二階微分 【数�U】積分で面積 【数�U】∫の中にある文字 【数�U】積分の性質 【数�U】積分の公式 【数�U】センター積分のコツ 【数�U】センター数�UBの�U（2009年） 【数�U】センター数�UBの�U（2010年） 【数�U】センター数�UBの�U（2011年） 【数�U】センター数�UBの�U（2012年） 【数�U】センター数�UBの�U（2013年） 【数�U】センター数�UBの�U（2014年） 【数�U】センター数�UBの�U（2015年） 【数�U】センター数�UBの�U（2016年） 【数B】数列は中学でも習ったはず 【数B】Σの公式 【数B】階差数列 【数B】一般項が数列の和になっている数列 【数B】群数列 【数B】漸化式の基本 【数B】階差数列の漸化式 【数B】漸化式　a_(n+1)=pa_n+q^(n+k)タイプ 【数B】フィボナッチ数列 【数B】隣接3項間の漸化式の解き方 【数B】隣接3項間の漸化式（定数項あり）の解き方 【数B】不等式の証明（数学的帰納法） 【数B】階差数列と次数の話 【数B】n次式をΣするとn+1次式になることの証明 【数B】ベクトルの絶対値 【数B】直線のベクトル方程式の考え方 【数B】ベクトルのコツ 【数B】センターベクトルのコツ 【数B】センター数�UBのB（2009年） 【数B】センター数�UBのB（2010年） 【数B】センター数�UBのB（2011年） 【数B】センター数�UBのB（2012年） 【数B】センター数�UBのB（2013年） 【数B】センター数�UBのB（2014年） 【数B】センター数�UBのB（2015年） 【数B】センター数�UBのB（2016年）

数学�VC

【数�V】複素数平面と軌跡 【数�V】分数関数 【数�V】極限値の基礎 【数�V】正n角形と極限値 【数�V】調和級数が発散することの証明 【数�V】(log x)/xの極限 【数�V】二階微分が意味するもの 【数�V】「グラフを描け」という問題 【数�V】増減表のf'(x)の正負の考え方 【数�V】分数関数の漸近線 【数�V】こんなグラフの漸近線 【数�V】ax+bという漸近線の求め方 【数�V】logを含む関数の漸近線 【数�V】増減表の中に「／」（値なし）が出てきたら 【数�V】微分の公式 【数�V】平均値の定理の閉区間・開区間 【数�V】近似値、近似式 【数�V】数�Vの近似式はマクローリン展開の一部である 【数�V】分母に2乗があるときの部分分数分解 【数�V】∫√(a^2−x^2)dx の積分 【数�V】積分の問題 【数�V+】1つ前の記事の例題4 【数�V】y=xまわりの回転体の体積 【数�V】区分求積法の考え方と式の変換方法 【数C】行列 【数C】一次変換の行列　その1 【数C】一次変換の行列　その2 【数C】一次変換の行列　その3 【数C】「y=xまわりの回転体の体積」への行列の利用 【数C】双曲線の漸近線を求めてみよう 【数C】コツじゃないけど

中学数学・その他

【中1数学】中1の最重要ポイント 【中2数学】座標 【中2数学】円周角と中心角 【中3数学】展開と因数分解の答えのまとめ方 【中3数学】項の並べ方（輪環の順） 【中3数学】展開・因数分解の利用 【中3数学】GCDとLCM（最大公約数と最小公倍数） 【中3数学】ルートの計算の工夫 【中3数学】無理数の小数部分 【中3数学】計算・関数・図形 【中3数学】グラフの描き方 【数�T�UB】どういう場面で2乗するか 【数�T�UA】四角形の合同条件 【数�TA】三角比と平面図形の利用 【算数】分数計算の最大値 【算数】素数の探し方 周期的に変化する自然数の数列の一般項を考えてみた 平均点だけではテストの難易度は比較できない 合同式 接頭辞〜ミリとかマイクロとか〜 0で割ること 続・0で割ること 0で割ること・修正版 割り算という演算 【統計】最小二乗法 数学ガール　フェルマーの最終定理 数学ガール 問題の流れ 数 音階と数学 マンガでわかるシリーズ 図や表を描こう 「ドラえもん」を数学で奥深くまで読む 数学はなんの役に立つのか？ プロローグ

ネットを使ったカンニングはいけません！

ここのところ京大の入試問題が試験時間中に流出したことが大きな話題となっていますね。
今年までそういったことがなかった方がちょっと不思議なくらいのような気がしますが(^^;

で、細々とやっているこのサイトも質問を随時受け付けているわけですが、
今回の事件を受けて、念のために3月末までは日中（9:00〜18:00くらい）は
質問に対する返事を投稿するのを控えたいと思います。
質問自体は今までどおり随時受付いたします。

今後とも当サイトをよろしくお願いいたします。

2周年

本日11月27日はこのブログを始めた記念日で、
今日で丸2年です。

2周年を記念してブログにカウンターを付けてみました。
アクセス解析を見ると最近は1日にだいたい100以上の訪問があるので
100×365日×2年で73000からスタートしました。

これからもぼちぼちのペースでやっていきたいと思います。
もちろん質問にはなるべく速く答えるつもりですが(^^;

ということでこれからもよろしくお願いします(^o^)/




数学に関係なく記事を終えるのも寂しいので
2周年にちなんで2と言えば



　素数の中で最小にして唯一の偶数

数学ガール フェルマーの最終定理

「フェルマーの最終定理」
ウィキペディアによると証明するのに
実に360年もかかったという…




・数学ガール　上　（マンガ版）
・数学ガール
・数学ガール　フェルマーの最終定理

読破した！
上から順番に180、330、350ページくらい。
小説版はなかなかのボリュームと難しさ。
読み応え十分。


マンガ版は高校数学程度の比較的易しい内容。
小説版はそれ以上の内容が多かった。

書いてあることを落ち着いて読んでいけば
その場で理解することはできるが、
読み終えた後に頭に残っているものは少ない…



「理解する」と「身につく」は全くの別物だ。



最近は忙しいのでまとまった読む時間をとれず、
続きから読むたびにそれまでの積み上げてきた理論を忘れ、
また読み直すことを強いられた。

つぎはぎだらけ…

問題を細分化することは大事なことだが、
その都度、休憩していては全体像を見失う。
目の前の細分化された問題はわかっても、
元の大きな問題を解くための何なのかがわからなければ
それはわかっても意味がない。
使えないのだから。

次、読むときはもう少しまとめて読みたい。

ちなみに「数学ガール　フェルマーの最終定理」は
10章の「フェルマーの最終定理」からは
いきなり数式がポンっと出されたりして
戸惑うこともあった。




「フェルマーの最終定理」の証明問題は
350年以上も解けなかった問題で
解けたのは1994年。
長い歴史から見ればごくごく最近の出来事なのだ！

同じように長年解かれていなかった問題としては
「ポアンカレ予想」
という問題が有名だ。
こちらは1904年に出てきた問題で、
解かれたのはもっと最近の2006年である。

ポアンカレ予想が

「単連結な3次元閉多様体は3次元球面S3に同相である」

という一般人にはワケノワカラナイ定理であるのに対し
（僕もなんのことかワカリマセン…）
フェルマーの最終定理は

「方程式 x^n + y^n = z^n は n≧3 で自然数解を持たない」

という非常にシンプルな数式に関する定理である。
n＝2 の時は三平方の定理（ピタゴラスの定理）となって、
それがある自然数で成り立つことは有名。
3^2+4^2=5^2がその代表例。
2乗なら成り立つ自然数が存在するけど3乗以上なら
どんな自然数でも成り立つことはない
ということだ。
適当な自然数を選んでこの式に代入しても成り立たないことは
足し算と掛け算ができる人なら誰でも確かめられる。
でも本当にどんな自然数でも成り立たないの？
それを証明するという問題が「フェルマーの最終定理の証明問題」。
誰もが確かめられることを350年以上、誰も証明できなかったのだ。

歴史的には
いきなり全ての自然数について証明するのはしんどいので
具体的に
n=4のときをフェルマー自身が1640年に証明している。
次に証明されたのはn=3の時でそれから100年以上も経った
1753年に数学では有名なオイラーが証明。
さらにn=5のときを1825年にディリクレとルジャンドル。
n=14のときを1832年にディリクレ。
n=7のときを1839年にラメ。
という人が証明した。

最終的に証明したのはワイルズという人。
1839年からずいぶん時が過ぎたが、
この証明の大きな鍵となる理論を
谷山豊と志村五郎という日本人が立てていた。

なんだかうれしい(^^♪

この2人が立てた谷山・志村予想を証明できれば
フェルマーの最終定理も証明できる
ということで数学者ワイルズは大学の講義は続けながらも
他の研究を全て止めて7年間の研究の末、
1993年に証明を完了した。
しかしその証明には誤りがあり、
テイラーという人と一緒に証明を修正し、
翌1994年に証明を発表。
ついに「フェルマーの最終定理」は証明され
真の「定理」となった。
（証明されるまでは「定理」ではなく「予想」に過ぎない）




「数学ガール　フェルマーの最終定理」
を読んで、この歴史的な問題に少し触れた。
それだけだが、長い長い旅から帰ってきたような
そんな感覚。

数学は抽象的で何をやっているのか、
なんの役に立つのかわからない。
そういう意見には確かに頷ける。
でも抽象的だからこそ、姿かたちにとらわれることなく、
時代・場所・言語などに影響を受けることもない。
だから誰にとっても平等なものではないだろうかと思う。

人間が作り出したものではなく、
この世に最初から存在している真理。
それを扱う数学。
とても魅力的だ。

小説の第10章の最後に
「アンドロメダでも、数学してる」
と主人公がつぶやいていた。






数学ガール　上　（税込 620 円）




数学ガール　（税込 1,890 円）




数学ガール　フェルマーの最終定理　（税込 1,890 円）

数学ガール

結構前からこの「数学ガール」という本の存在を
知ってはいたのですが、
本屋さんで見かけた「数学ガール（フェルマーの最終定理）」
をチラッと見たら、やたら難しそうだったのでパスしました…
小説だから文字ばっかりだし（笑）

そしたらコミック版があるというではないですか！
それがコレ。




本屋さんになかったのでネットで注文。
したら「品切れ」になった。
ってことは最後の1冊だったわけか！（笑）

で、届いた日に一気に読みました。しかも2回。
比較的やさしい内容で読みやすかったです。
レベル的には高校レベルです。
ちなみに登場人物は
　主人公　高校2年生
　ミルカさん　高校2年生
　テトラちゃん　高校1年生
ということですが、ミルカさんは賢すぎで怖いです（笑）
一般的な「頭いい」レベルは主人公の男の子ですね。
テトラちゃんは「数学苦手な子」レベル。

ミルカさんに難しい問題を出され、
それを解いていく主人公の最初の一歩の目の付け所を読んで
おー、そういうところから考えていくのかー
などと感心するところがたくさんありました。
数学的にも十分楽しめる漫画です。
全体的に高校レベルの数学がわかればこの1冊は理解できます。
「複素平面」という今の高校のカリキュラムには
含まれていないことも出てきますが、
そんなに難しいものではないし、
この本で十分理解できると思います。
また平成24年度生からは高校で習うようになります。

「数学」というと大事なのはついつい
「公式」「解法」「計算力」
と思われがちですが（もちろんそれも大事ですが）
この本の中で主人公はテトラちゃんにこう言っていました。



　数学はね言葉を大事にするんだ
　できるだけ誤解が生じないようにするために
　数学は言葉を厳密に使う
　そして、厳密な言葉の最たるものが数式だ



なるほどね。
確かに言葉は大事だ。


さて、ここでもう1冊。
昨日まではコレを読んでました。




小説版です。
コミック版より難しく、何日かかかって読みました。
最後の方ではテトラちゃんが賢くなってました！
問題カードをこの3人に与える「木村先生」ってのは
話には出てきませんがミルカさんの上をいく、
ものすごく賢い人なんだろうなあって気がします。
「木村先生」みたいになりたい。。。

数学的な内容では「母関数」というものを初めて知りました。
やっぱり僕は普段高校数学までしか関わってないので
それ以上のこととなると弱いです。
ζ関数（ゼータ関数）ってのも知りませんでした。
あと、
1,1/2,1/3,1/4,1/5,…
という数列の和が発散するというのは意外でした。
この数列の項は0に収束するのに、和は収束しないなんて。

いつの間にかAnが0に収束することが
Snが収束するための十分条件だと思い込んでましたが
違ってたんですね。

この数列の部分和を調和数といって
この数列が無限に続く時の和は
ぜータ関数を使ってζ(1)と表されます。
ミルカさん曰く「ζ(1)が正の無限大に発散することは有名」
だそうです…



などなど、知らないことだらけだし、
わからない時は腹が立つこともありますが、
わかったら楽しいし、
思いもよらない答えが出てきて不思議に思ったり
答えがとても美しい式になって感動したり
まだまだ新たなものを発見できる
そんな数学が好きです。



続きを読む

問題の流れ

高校生にもなればもう知ってると思いますが
数学の問題は、解いて求めたり証明したりしたことを
次の問題を解くときに使うことが多いです。
いわゆる「誘導問題」です。

中学でもあります。
例えば2本の直線のグラフの交点の座標を求めさせるために
まず最初の問題で2本のグラフの式を求めさせるという感じです。


話を高校に戻すと、
これは模試なんかでは普通のことですね。
大問の中に小問が3〜4問ある場合は
前後で関連している問題になっていることが多いです。
関連性としては直列的なものと並列的なものの2つがあります。

「直列的」というのは
1問目は2問目を解くために、
2問目は3問目を解くために、
と関連している場合。

「並列的」というのは
1問目と2問目は関係ないが
3問目を解くために1問目と2問目のことを使う
と関連している場合。

あくまでも個人的なイメージですが
定期テスト＜模試＜入試（文系）＜センター＜入試（理系）
の順にこの関連性は強くなっていると思います。
模試や入試はいろんなレベルがあるので
一概には言えませんが
とりあえず問題の難易度が高い場合は
関連性があると思って間違いないです。

特に大問の最後の小問は
その大問の集大成と言ってもいい問題です。
解き方がわからない場合はもう1度それまでに解いてきたことを
振り返ってみましょう。
それでもピンとこない場合は
とりあえずそれまでに扱ってきた式の形を
最後の問題の中で無理やり作ってみたり、
何のためにこれまでの問題が出されていたのか
出題者の意図を推測してみてください。

数

自然数
整数（非負整数：0、自然数）
小数
分数

ここまでは小学校で習います。

中学ではこれに負の数が加わり、
もうひとつはπやルートなどの無理数が加わります。
無理数という言葉を習うことで
それまでに習った数を有理数と呼ぶことを習います。

高校ではこれまでの数をまとめて実数ということを習います。


数のほとんどは小学校で習っているはずなのに
中学生や高校生でも答えが小数や分数になる問題に
かなりの違和感を持っている人もいます。
そういう人はたいてい数学が苦手な人ですが…

新しい数を導入するときは誰しも戸惑います。
中学に入ってまず最初に習う負の数。
概念はわかっても負の数の加減算などは
理解しにくいのはうなずけます。

そしてその後2年間は新しい数が現れず
3年生になって出てくる無理数に対しては
それ以上の戸惑いがあるでしょう。
負の数は日常生活でも気温などで使われていますが、
無理数はあまり使われていないですから…

でもここまでに出てきた数は実数と呼ぶとおり
実在する数です
なので1.4cmとか5/3gなど長さや重さなど
連続量を求めるときはそんな値になっても
何もおかしいことはありません。
よく答えが分数や小数になると
「これアリなん？！」
みたいに言う子が生徒にもいますが
逆に「なんでアカンの？」と聞き返すと
ちゃんと答えられる子はいませんね。
もっとも答えられる子ならそんなこと言わないですから。






ちなみに
無理数を習ったその2年後、高校で数学�Uを習う人は
虚数という数を習います。
これは想像上の数で実数とは異なり実在しない数で、
これができた時は世の中の数学者ですら
すぐには受け入れられなかったくらいだそうです。
それを16、17歳で習うのだからすぐに理解できなくても
当たり前と言えば当たり前です。

音階と数学

昨日はライブをしてきました。
それにちなんで音階の周波数について書きたいと思います。



国際的には440HzのAの音（ラの音）を基準に
（オーケストラや吹奏楽では442Hzだったり441Hzだったりします）
1オクターブ上がると2倍の880Hz、
さらに1オクターブ上がるとさらに2倍の1760Hzになります。
また逆に1オクターブ下がると半分の220Hzになります。

調律の方法はたくさんありますが
現在最も一般的な音律は西洋音楽の
「十二平均律」という方法です。

1オクターブを12個に平均して分ける方法です。
ただし　（880−440）÷12　と　（1760−880）÷12　では
答えが変わってきてしまいますし、
Aの音以外のどの音でも1オクターブ上が2倍の周波数に
なるようにしないといけないのでこれではダメなのです。

そこで×2を掛け算的に12等分し、
12回掛けて2になる数を考えます
つまり2の12乗根。2^(1/12)です。
440×2^(0/12)　がA（ラ）
440×2^(1/12)　がA#（ラ#）
440×2^(2/12)　がB（シ）
440×2^(3/12)　がC（ド）
440×2^(4/12)　がC#（ド#）
440×2^(5/12)　がD（レ）
440×2^(6/12)　がD#（レ#）
440×2^(7/12)　がE（ミ）
440×2^(8/12)　がF（ファ）
440×2^(9/12)　がF#（ファ#）
440×2^(10/12)　がG（ソ）
440×2^(11/12)　がG#（ソ#）
440×2^(12/12)　がA（ラ）
というように2^(1/12)を掛けるごとに
半音上がるようになっています。

ということで音階の周波数は公比が2^(1/12)の
等比数列になっています。

Aの音から数え始めるとすると
初項　440
公比　2^(1/12)
となり、一般項anは

　an＝440・2^((n-1)/12)

となります。
よってAの音を1番目としてn番目の音の周波数は
このanの式で求められます。


ピアノは弦をハンマーで叩いて弦を振動させて音を出します。
同じ素材・太さの弦を同じ張力で張った場合、
振動周波数は弦の長さに反比例します。
弦が長くなれば音は低くなる。
弦が2倍長くなれば周波数は1/2倍になる。
つまり弦の長さを2倍にすると1オクターブ下がる
ということになります。
ピアノの鍵盤は88鍵あり、7オクターブと4音。
なのでこの理屈でいくと
ピアノ本体の長さが
低音側は高音側の2^7＝128倍ほども長くなります。
そんなばかデカイもの置き場に困る！（笑）
なので弦の太さを変えて
そこまで長くならないようになっています。
そして細かい調整は弦の張力を変えて調整します。
それが「調律（チューニング）」です。

マンガでわかるシリーズ

「マンガでわかる線形代数」という本を買いました。
最近はマンガを読んで勉強できるんですから、
いい世の中になったものです（笑）


「マンガでわかる線形代数」
2,100 円 （税込み、送料無料）

内容のレベルは大学レベルなので、
この内容そのものを塾で教える機会はないと思いますが、
一応教えるためにはその一歩先をいってないと不安ですからね。

半分ほど読みましたが
基礎の所では数�Tのf(x)の意味や、数Aの集合にも触れてました。

僕も大学時代に「線形代数」は習いましたが、
正直よく理解してなかったので勉強し直しです(^_^;)
ただ一度習ったことなので読んでて、
「あー、こんなんやったなー」と懐かしく思うこともあります。
ちなみにこのマンガ曰く「理系は線形代数を勉強するもの」
ということで理系の基礎らしいです。
僕も大学1回生で線形代数の単位を取りました。
もちろん必修科目でした。

今読んでるところは数Cの「行列」です。
もちろん高校で扱う2行2列より大きい行列ですけど。
2行2列の行列は行列の中でも特殊なものですが、
それだけを扱っていては「行列」の全体像が見えず、
行列を理解することはできません。
要は数学Cで習う「行列」は「井の中の蛙」的な存在なのです。

そういった意味で
ちゃんと理解して教えるにはその一歩先まで知る必要がある
と僕は思っています。

このあとベクトルも出てくる予定です。
平面ベクトル、空間ベクトル、それ以上のベクトルも出てくるのかなぁ〜




ちなみにOhmshaから出版されてるこのシリーズの本は


「マンガでわかる統計学」
2,100 円 （税込み、送料無料）


「マンガでわかるフーリエ解析」
2,520 円 （税込み、送料無料）

も読みました(^^)
統計学は高校で習った範囲は理解できましたが、
そこ以外はあまり勉強してないので途中からわからなくなって
マンガだけ読んでましたが（笑）
1回じゃわからないので何回か読み返しましたよ(^_^;)
ちなみに今は高校で統計をやることはほとんどなさそうです。

フーリエ解析は大学の基礎解析（だったかなぁ）で習ったし、
話の対象が「音」で好きな分野だったので
最後までちゃんと理解しながら読めました。
フーリエ変換そのものは高校では出てきませんが、
それに必要な知識は高校レベルですので高校生なら理解できると思うので
興味ある人は読んでみてください(^^)
三角関数、微分、積分の勉強にもなります。

図や表を描こう

図形問題に限らず、
方程式・関数の問題でもそうだが、
図に表してみよう。

問題に最初から図が描いてあっても
解く時はノートに自分で図を描くこと。

最初はただ写すだけでもかまわない。
図を描くことで問題をちゃんと読むようになる。

図を写していく中で、

「問題文に描いてあったことはここのことか」

と気付くことがあるだろう。
これは問題に図が描いてない場合、自分で図を描く時に

「文でこう書いてある」のは「図で表すとこうだ」

というように　文 → 図　への変換が必要になるが、
その変換方法を学ぶ訓練なのである。
センター試験の数学�TAでは必ず二次方程式・二次関数の問題が
出題されるが、図が描いてあることはまずないと言ってもいい。
三角比の問題でも図が書いてあることは少ないだろう。
今のうちから図を描く練習をしよう。




最初に書いたように図を描くには
問題文をちゃんと読まなければ描けない。
だから図を描くことが習慣になってくると
問題文をちゃんと読むようになるし、
問題文のどういうところがポイントなのかもわかってくる。
いかにも重要そうなヒントに見えて、
実はそんなに重要ではないヒントもある。
中には答えを出して初めて何の役に立つヒントだったかが
わかるものもある。
でも図を描いて問題のポイントをつかめば、
問題を解き始めるには
どれどれのヒントが必要なのかもわかってくる。

解き始めたらあとは流れに乗って進めれば良い。
たとえそれが正しい方向かどうかはわからなくても
進めて行けば何かが見えてくるものだ。
最初から正しいかどうかなんてわからないことの方が
多いと言ってもいいのかもしれない。


自分のノートを振り返って、
答えしか書いていないノートは論外だが、
式や計算しか書いていないノートの人も
これからは図を描くようにしよう。
問題文もノートに書くのも悪くないが
図を見ればどんな問題かがわかるような図
が描けていればその必要はないし、いちばん良い。
文章を書き写すのは全く何も考えなくてもできてしまうから
それで「勉強がんばってる」って思うのは勘違い。
そうやってただ写すだけなら単なる時間のムダ。
「問題文の要点を簡潔に表す」ことに意味があるのである。

ちなみにここで言う「ノート」とは「授業ノート」だけではない。
むしろ「問題集用ノート」にこそ図を描いて解いていくべきだ。



またほとんどの場合が平面図になるだろうが、
たまには3次元の立体的な図を描くこともある。
これは普段から物の見え方を観察していたり、
それを描く練習をしていないといきなり描くのは難しい。
美術の要素もあるんだね…
逆に人工的な芸術物というのは
数学的規則に従っているものが多い。
黄金比はその代表だろう。

「ドラえもん」を数学で奥深くまで読む

ドラえもんの道具で「バイバイン」というものがあります。
これをモノにふりかけると5分おきに2倍に増えるというもの。
まぁ、質量保存の法則も無視したスバラシイ道具です（笑）
もしこれがあれば資源枯渇問題は解消されますね。

で、のび太はこれをまんじゅうにかけて増やして食べました。
1つ残しておけばいくらでも食べられると。




でもこれは大問題です。人類の脅威です。
ドラえもんはそのことに気付いていましたが、
最終的にはドラえもんも詰めが甘かったような気がします。
そこで具体的に考えてみましょう。





最初が1個だとすると5n分後には2^n個になります。
これ、50分経ったら10回倍増されるので
2^10で1024倍になります。
一日だと
24×60÷5＝288
で288回も倍増されるので2^288個。
エクセルで計算するとあっさりとオーバーフローしました。



えっと、

　　4.97323×10^86個です！！！！

86桁もの数になってしまいます。



仮にまんじゅうの体積を1個100ccつまり100cm^3とすると
10000個で1000000cm^3つまり1m^3です。
1000000000倍して10000000000000個（10兆個）で1km^3です。
ゼロが多いので指数で表しましょう。
1×10^13個で1km^3。
4.97323×10^86個は4.97323×10^73km^3です。
まぁ、約5×10^73km^3ですね。
さて、これがどれくらいの体積なのか地球と比べてみましょう。

調べるのに使うのは困った時のWikipedia(笑)
手軽な方法で済ませます。
地球の質量は　5.9742×10^24 kg
平均密度は　　5.515 g/cm^3
ここから計算すると地球の体積は
1083260000000km^3
となります。
最上位の数以外は切り捨てて、
指数を使うと約1×10^12km^3です。

ということでまんじゅうは1日経つと地球約5×10^61個分。

地球何個分で言っても想像もつかない個数ですね。

そこで地球と同じくらいの体積になるのがいつかを考えましょう。
90回倍増した時が一番近く約1.24×10^12km^3です。
時間にすると5×90＝450分。
7時間半でまんじゅうは地球と同じ体積になってしまいます。
7時間35分で地球2つ分。
7時間40分で地球4つ分。
おそろしい道具ですねえ。

ドラえもんはふろしきに包んで宇宙のかなたへ飛ばして
その場はなんとかなったようですが、
その後も増え続けるわけですよね。
その前に地球を脱出するまでに時間が経って
ふろしきがはちきれて地上に舞い戻ってくるような気がしますが。
そうなったら地球はまんじゅうによって壊滅です。
どこぞの阿呆な10歳の少年の食い意地のせいで
人類が破滅しては困ります。
そんな危険な道具を22世紀ではなんの許可もなく
一般人（できそこないの世話係のロボット）が
購入できるものなんでしょうか？

また別の疑問として、バイバインをふりかけたまんじゅうは
食べた後、のび太の胃の中で倍増しないのでしょうか？
もしそうだったらのび太は数十分後に破裂して死亡です。
そうなってないってことはどうやらまんじゅうの原形が
なくなればバイバインの効果は無効化されると考えられます。

だったらそのまま宇宙に捨てるよりも
焼却した方がよかったのではないか？と思ってしまいます。



バイバインは単行本17巻に掲載されてます(^^)

数学はなんの役に立つのか？

数学を教えてると、よく

「こんなんできても社会に出てから役に立つの？」

と聞かれます。
はっきり言って、直接役に立つことは少ないです。
「二次関数のグラフが描けたらお金がもらえる」
なんて職業はありません。
でも研究開発、設計、分析といった仕事では
きっと直接役に立つこともあるかと思います。
僕はそんな仕事をしたことがないのでわかりませんが(^_^;)


「じゃあ理系に進まなければ数学は要らないんじゃないの？」

と言うのも聞かれます。
文系の学部でも経済学部や経営学部なんかでは
数学は必要になってきます。

いや、僕は工芸学部卒なので詳しくは知りませんが（笑）

だって、経済も経営もお金が関係するでしょ？
お金なんてものはそれ自体には意味のない「数」そのものでしょ。

経済の波を分析するには周期関数の三角関数の知識が
会社を経営するにはいろんな数値を管理するために統計の知識が
必要になってくるのだと思います。

なので文系の学部に行けば数学とはおさらばだ〜
なんて思っている人は考えを改めてください。


しかし理系でも直接数学が役に立つことが少ない場合もあります。
例えば理系のトップクラスの代名詞の医学部。
必ず数学・物理・化学が入試にあると思いますが
実際に医者になった友人のハナシでは
高校の数学が直接役に立つことはないそうです。
まぁ納得できることですが。

じゃあ、なぜ入試に数学が必ずあるのか？

それは論理的思考力が必要だからでしょう。

医者は人の命を扱う大変な仕事です。
責任重大です。
そんな大事なことを

「これでええんちゃう？」

みたいな感じで決められたら患者はたまったもんじゃない！
患者の家族に

「それをしたらどうなるんですか？助かるんですか？」

と聞かれて

「根拠はないけど、とりあえずやってみましょう」

なんて答える医者に手術してもらおうなんて思うわけがない。
ちゃんと

「こうこうこうだから、これをやってみましょう」

と、相手を納得させる話の仕方ができないとダメなんです。

そしてこれは何も医者に限ったことではありません。
営業の人だって、自社の商品をプレゼンする時は
お勧めポイントはどういうところで、
なぜそれがお勧めなのか、なぜそこに力を入れて開発したのか
など、相手を納得させる能力というのはどこでも求められます。

数学はその練習に持って来いです。
だから問題を解く時はなぜそうなるのか
なぜそう考えたのか
ということを意識して解きましょう。
そして誰かに教えることができればOKです。

テストの解答というのは採点者へのプレゼンです。
自分がどうやって考えたのか、
自分の伝えたいことを過不足なく表現する。
そんな意識で答えを書きましょう。

プロローグ

別のブログでもちょくちょく数学のハナシをしてきましたが
この度、独立させることにしました。

で記事のカテゴリも
数�T、数A、数�U、数B、数�V、数C、
中1数学、中2数学、中3数学、その他
に分けることにしました。
この順番からもわかるように
たぶん高校数学をメインに扱っていくと思います。

ただテキストでは数式を書くのに不便なので
その辺り、ちょっと不安です(^_^;)