2015年06月22日

ゆーたろーさんへ

ゆーたろーさんからいただいた質問への返事です。
大変遅くなりすみませんm(_ _)m

===========================================

(1)正の整数nに対して

  

 とするとき、の値をnを用いて表せ

(2)正の整数m、nに対して

  

 とするとき、の値を求めよ

(3)a、bがそれぞれすべての実数を変化するとき

  

 を最小にするa、bの値と、そのときの最小値を求めよ

===========================================

手書きですみません(^^;

20150622_03.jpg
posted by ジュンジ at 15:03 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

クロさんへ

クロさんからいただきました質問への返事です。
大変遅くなり申し訳ありませんm(_ _)m

==============================================================
この問題が分かりません。
・次の条件p,qについて、命題p→qの真偽を、集合を使って調べよ。
ただし、Xは実数、Mは自然数とする。
(1)P:−3≦X,q:−1≦X≦1
(2)p:│X│>3,q:│X│>4
(3)p:│X│<2,q:│X-1│<3
(4)p:mは18の約数、q:mは36の約数
==============================================================

命題p→qの真偽を集合で考える場合は
集合Pの全ての要素が集合Qに含まれていれば真
集合Pの要素が1つでも集合Qに入っていなければ偽
と結論付けます。
要素の個数が有限個の場合はベン図を利用します。
要素が実数など連続数で無限個ある場合は数直線を利用します。
真や偽になる例をそれぞれいくつか描いておくと

20150622_01.jpg

こんな感じです。
ということで質問の問題は次のようになります。

20150622_02.jpg
posted by ジュンジ at 14:50 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

2014年05月19日

物理しかできない浪人生さんへ

物理しかできない浪人生さん からご質問いただきました。
ありがとうございます。

===================================================

片側極限について。
片側極限がわからなくて困っています。
y=x^2/(x-1)
=x+1+1/(x-1)
(式変形しただけです)

このとき、lim[x→1-0]y=0とlim[x→1+0]y=0

がそれぞれなぜ-∞と+∞になるのかがわかりません。

===================================================

x→1-0のときは具体的に
1よりほんのちょっと小さい値である
0.9999999999くらいで考え、
x→1+0のときは具体的に
1よりほんのちょっと大きい値である
1.0000000001くらいで考えると
わかりやすいと思います。

変形後の式の前半x+1は
x=0.9999999999のときは1.9999999999
x=1.0000000001のときは2.0000000001
とどちらもほぼ2で違いはありません。

ところが後半の1/(x-1)は違ってきます。
分母のx-1だけ見ると
x=0.9999999999のときは-0.0000000001
x=1.0000000001のときは0.0000000001
となり、どちらもほぼ0には違いないのですが
x=0.9999999999のときは負の数
x=1.0000000001のときは正の数
というのが大きな違いです!
分母だけではそれほど違いはないようにも思えますが
分数全体で考えるとどうでしょう。

 

とても大きな差になりました。
これが正の無限大になるか負の無限大になるかの
原因となるところです。



こちらの記事も参考にしてみてください。

【数V】極限値の基礎
posted by ジュンジ at 11:40 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

やっくんさんへ

やっくんさんにまたまたご質問いただきました。
ありがとうございます。
が、忙しくて詳しい説明を書く時間がないので
大まかな説明にさせていただきますが
ご了承くださいm(_ _)m

=============================================

(1)円Oとこれに内接する三角形ABCがあり、
AB=2、BC=3、cos∠ABC=1/6である。
またBを含まない弧AC(両端を含まない)
上に点Pをとる。三角形ACPの面積が
最大になるとき、線分BPの長さを求めよ。

(2)放物線y=x^2-2x上の異なる2点P、Qが
直線y=xに関して対称であるとき
線分PQの長さを求めよ。

(3)lim(pe^q-qe^p)/(e^q-e^p)
q→p

=============================================

(1)
点Pを線分ACからの距離が最長になるところに打てばいいので
ACに垂直な線で円周までの距離が最長になるのは
ACの中点を通るときなのでそのときAP=CPとなる。

ACを△ABCに関しての余弦定理から求め、
cos∠ABC=1/6よりcos∠APC=-1/6であることから
AP=CP=xとおき、△ACPに関しての余弦定理よりxを求める。

xが求まれば∠BAP=θとおき、
△ABPと△BCPに関してそれぞれの余弦定理を立て、
あとはcosθとBPの連立方程式を解けばBPがわかります。

(2)
点Pを(p、p^2-2p)、点Qを(q、q^2-2q)とおく。
このとき位置関係をはっきりさせるためにp>qとしておく。
対称点に関する条件は
・PQ⊥直線y=x
・2点P、Qの中点が直線y=x上にある
この2つからpとqの関係式を得る。

求めるものは線分PQの長さなので
三平方の定理(2点間の距離の公式)を使っても良いが
PQは図を描けばわかるとおり45°、45°、90°の
直角三角形の斜辺になっているので
底辺の長さp-qを√2倍した方が簡単に求まる。

よって得られたpとqに関する関係式から
√2(p-q)が計算できればPQが求まる。

(3)
これは説明しにくいので、答えを書いておきますね。

posted by ジュンジ at 11:21 | Comment(2) | TrackBack(0) | 質問の返事

2014年05月04日

みゃうにゃさんへ

みゃうにゃさんより質問いただきました。

=======================================

二項定理の式のいみを教えてください!!

=======================================

以前二項定理について書いた記事があるので
まずはそちらを読んでみてください。

【数U】【旧数A】二項定理をマスターしよう


こちらも参考にしてみてください(^o^)

【数U】【旧数A】二項定理の例題 その1
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その2
【数U】【旧数A】二項定理の例題 その3
posted by ジュンジ at 00:05 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

2014年04月10日

【数TUB】どういう場面で2乗するか

オセイオズさん、またまたありがとうございます(^^)

=======================================================

こんにちは。オセイオズです。
次のような問題についてです。
「点P(x、y)が次の範囲(★)を動くとき、Q(x+y、xy)の動く領域を図示せよ。
 (★)|x|+|y|≦1」
x+y≦1だったらずいぶん昔に東大に出て以来、有名な問題だそうで、チャート式にも載っていました。

絶対値がついてしまって、よくわからなくなってしまいました。
絶対値がついていようがいまいが、まず考えることは次のようだと思います。
 たとえば、x+y=5、xy=6のような値を取り得るか?と考えて、より一般的にx+y=X、xy=Y・・・@と置いて議論するわけです。Q(X,Y)とおいて、
x、yはtの方程式t^2−Xt+Y=0の二実解ですから、判別式D=X^2−4Y≧0としてまず1つ条件が出ます。これは「@と置ける」条件なので、問題は次の条件|x|+|y|≦1・・・Aです。これをどう処理するかが、この問題のカギだと思います。

答えを見ましたところ、Aの両辺を二乗していました。
すると、X,Yのみを用いて無事Aの条件式を書き換えることができ、問題を解決できます。

しかし、私にはそれがいささか唐突でした。

ベクトルや複素数などでは、「絶対値→二乗」みたいな半ば条件反射的な定石がありますが、このような場面で二乗する必然性が無いなと思いました。


似た場面に遭遇したことがあって、
 |sinx|+|cosx|の最大値を求めよ
という問題があって、これも二乗すると簡単に求まります。




長々と書いてしまいましたが、要は「どういう場面で絶対を二乗する?」という質問です。

x、yの正負で場合分けし、それをX,Yの範囲に読み替えて図示する方法も思いつきましたが、やはり二乗した方がスマートだと思いました。

臨機応変に対処する、ということなのでしょうか。
図形問題なんかだと、「必然的にこうする」なんてことはなく、できるだけ多くのパターンを頭に入れた上で、臨機応変に、逆から考えたり、とりあえず試してみたりするというのが普通だと思いますが、代数関連の問題で唐突なやり方がでてくると困ってしまいます。

長文失礼しました、漠然とした質問ですみませんが、よろしくお願いします(゜゜)(。。)ペコッ

=======================================================

質問と一緒に問題へのアプローチ方法が
書いてあり、とてもわかりやすかったです!
ありがとうございます(^^)



この問題に関してはx+yやxyという
基本対称式の値についての話をされています。
そして与えられた不等式は
|x|+|y|≦1という対称式です。
ということはこの対称式も
基本対称式で表そうと考えるのが
常套手段かと思います。

今回の2乗は与えられた条件式(不等式)を
基本対称式で表す目的で使われたということだと思います。



|sinx|+|cosx|を2乗するのは
sin^2 x + cos^2 x =1
という相互関係式の1つ(単位円における三平方の定理)に
結びつけるためでしょう。
2乗することで
1+2|sinxcosx|
=1+|sin2x|
とでき、sinxとcosxの2変数みたいだったものが
sin2xの1変数になることで最大・最小値を
求めやすくなります。


ベクトルの絶対値や複素数の絶対値は
三平方の定理そのものだから2乗です。


また、2つ以上のベクトルの和や差の絶対値を
求める時に絶対値を2乗するのは
与えられたベクトルの大きさや内積を
利用できるようにするためだと言えると思います。



どういうときに2乗するかというご質問の答えとしては
まあやっぱり臨機応変にということになってしまいそうですが(^^;
与えられた式や知っている公式の形に近づけるための
1つの手段ではないかと思います。

ちなみに等式だと両辺2乗はいつでもOKですが
不等式ではいつでもOKというわけではないことにも
注意が必要なので気をつけてくださいね(^^)
posted by ジュンジ at 01:30 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

2014年01月03日

問題へのアプローチ方法

オセイオズさんより、質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

=========================================================

aを実数とする。xの二次方程式
  x^2+(a−1)x+a+2=0・・・@
について@の解が0≦x≦2の範囲には実数解をただ1つ持つとき、
aの値の範囲を求めなさい。

という問題があります。この問題を解の配置の問題として解きたいのです。
そのときに、単にf(0)f(2)<0が必要十分になるわけではなく、
x=0、2を与方程式が解にもつときは注意が必要で、
そこの場合分けをしないといけないということだと思います。
 しかし、わたしが疑問に思うというか、やりずらく感じるのは、
その場合分けを思いつくのが難しいということです。
二次方程式の最大最小を考えるときの「軸による場合分け」についても
同じような違和感を持っています。わたしの学校は進学校で、
そのせいもあるのかもしれませんが、
「軸による場合分けはまず何も考えずに4つグラフを描いて・・・」
みたいな感じで、そのあたりは「パターン化」でスルーしています。
しかし、それだと定型的な問題は速く処理できるでしょうが、
定型的でない問題になると対処できません。
数学オリンピックなどの問題を解いていても、
「この場合分けは思いつかない」というような、
初等幾何で突飛な補助線を出されたときに感じるような、
天下り的な回答を与えられたような不快を感じます。
 場合分け全般に関するお考えや、
解の配置問題に関する明確な考え方があれば、教えて頂きたいです。

=========================================================

知っている問題を解く時と、
初めて見る問題を解く時では
考え方が違うと思います。


問題を解くにはまず問題文をきちんと理解する必要があります。
それがもし知っている問題なら
「この問題はこうやったら解ける」
という感じで、今までの経験のデータベースから
解法を頭の中で検索してヒットしたら
その方法で解いていけばいいと思います。
でも初めて見る問題はそうはいきません。
解いた経験がないのだからいくら頭の中で
検索しても解法を思いついたりしないものです。
初めての問題は

 1.問題の状況把握
  与えられた式、条件、求めるもののチェック

 2.問題の分析(分解)
  目的のものを求めるためには何を知る必要があるのか
  また与えられたものからわかることは何があるのか
  などのチェック。
  (スタートとゴール地点の両方から考える)

 3.できることをやってみる
  2までで考えたことをとりあえずやってみる
  必ずしも正解の道とは限らない道を進む。

 4.行けるところまで行ったらそこでの状況をチェックして
  2と3を繰り返す。

 5.行き詰ったら分かれ道のところまで戻って考え直す。

のような感じであーでもない、こーでもないと
試行錯誤するものです。
本来の学習とはそういうものだと思います。

解法だけ教わるのは点を取るだけのためなら
手っ取り早くていいのですが、
実力は大して身につかないでしょうね。
だって今書いた5つのことをやってないのですから。
知ってる問題は解法を思い出して計算するだけで解けます。
それはほとんど考えることをせずに
解いているようなもので、知識量の問題です。
解けるかどうかは実力の差ではありません。
ただ、知識が多い方が有利なのは間違いないので
くれぐれもそこは軽視しないで下さい。


「場合分け」について重要なのは
やはりさまざまな場合を考えることです。
そしてそこで一番大切なのは
『くまなく』考えることです。
問題の本質もよく理解せずに
「これは場合分けが必要な問題だ」
と覚えるのは数学の勉強で一番大切な
「考える」とこを放棄しているようなものです。
グラフの問題にしても場合の数・確率の問題にしても
「場合分け」はもっと自然と必要になるものです。

数学の問題の多くは与えられた問題文から
式を立てて解きますが
それがどんな場合でも同じ1種類の式で
表せるならそれで解いていけばOKです。
しかし、
「さっきはこんな式になったけど
 この場合はこの式にはならないぞ??」
という場面にぶち当たれば、そこで場合分けが必要になります。
ただそれだけのことで、覚えることでもないような気がしませんか?
ところが先ほど書いたような「考える」ことを放棄した勉強では
そういったことをほとんどしないので
当然そういう感性が磨かれることもないのです。
なので「よくわからないけど覚えてしまえばいいや」
となり、ますます「考える」習慣から遠ざかっていくのです。

この「考える」習慣を身につけるにはやはり
最初は面倒でも考えなくてはダメでしょう。
教科書や参考書に書いてある定理・公式などは
「なぜ成り立つのだろう?」「本当にそうなるの?」
という疑いの目をもって見るといいと思います。
高校数学が暗記勉強でうまくいくのは
よほど暗記能力が長けている人だと思います。







具体的に今回質問された問題に対して
どのようにアプローチするのかの一例を書いておきます。


問題.
 aを実数とする。xの二次方程式
  x^2+(a−1)x+a+2=0・・・@
について@の解が0≦x≦2の範囲には実数解をただ1つ持つとき、
aの値の範囲を求めなさい。


まず正直にこの方程式の解を解の公式で求めてみて
そのうちの1つが0≦x≦2を満たし
もう1つはx<0、2<xを満たす
という連立不等式を解く。
「2つのうち1つ」ということは
その逆の「場合」も考えないといけない。
さらには2次方程式の解はいつでも2個というわけではないので
今のは解が2個の「場合」で解が1つの「場合」も考えないといけない。

これだとルートを含んだ不等式になるので
解くのがめんどくさそうなので
グラフで考えてみる。

グラフの形状はどんなのか。
x^2の係数が正なので必ず二次関数であり、下に凸のグラフ。
ではどこにあるグラフかを知るために頂点を求めよう。
そのために平方完成か。
頂点に定数aを含み、aの範囲は指定がないので全実数であるから
グラフは固定ではない。
おそらくグラフはどこにあってもおかしくないが
正確なことは実際に平方完成してみないとわからない。
<なのでこのあたりで実際に平方完成の計算をしてみる>
結果的にはx軸方向にはすべての範囲を自由に動く。
y軸方向には限界があるが、とりあえずグラフは動きまくるので
グラフとx軸が0≦x≦2の範囲で1点だけ共有点を持つ
という状況を何通りか書いてみる。
どんな場合があるのかここでじっくり考えることが重要。
だいたいの場合分けができたら、
その場合分けのちょうど境目になる場合は
問題の条件を満たすのかどうかを考える。
例えばグラフの軸の位置で場合分けするなら
グラフの軸<0
0<グラフの軸<2
2<グラフの軸
のように分けると思うが
じゃあグラフの軸=0のときや
グラフの軸=2のときなどの
特殊な場合はどうなのか。
またそれらは先ほどの3種類の場合のどれかに
含めることはできないか
のような感じで考えていくのが妥当かと思います。
それを整理し、突き詰めていくと
先生が覚えろというやり方に行き着くと思います。





ちなみに今回の
 f(0)・f(2)<0
という式の意味は
x=0ではグラフはx軸より上側を通過し、x=2では下側を通過する
または
x=0ではグラフはx軸より下側を通過し、x=2では上側を通過する
ということですが、本当にこれ以外の場合で
問題の条件を満たす場合はないのかを考えると
今回は0≦x≦2の範囲で1点の共有点を持つ
なので先ほど言っていたちょうどその境目である
x=0で共有点を持つ場合やx=2で共有点を持つ場合が
抜けているのでそれを別の「場合」として考えなくてはいけない
ということになります。

× もし指定範囲が0<x<2ならばx=0とx=2は範囲外になるので
× f(0)・f(2)<0のみで大丈夫ですね。
×
× 後で指摘されて気付きましたが、この考えは違いました
× f(0)=0、f(1)=0でも指定範囲に共有点は1つですが
× f(0)・f(2)<0を満たしません。
× 間違ったことを書いてしまい、申し訳ありません。
× ご指摘してくださった方には感謝です!
× ありがとうございました(^o^)



また場合分けの方法は1つではなく、
今は指定範囲(0≦x≦2)の境界線上(x=0とx=2)
のところでどうなるかで考え始めましたが
グラフが異なる2点で交わる場合と1点で接する場合
で考え始める人もいると思います。





質問の答えになったかどうかわかりませんが
1つの意見として参考にしていただければと思います(^^)
がんばってください!
posted by ジュンジ at 00:20 | Comment(12) | TrackBack(0) | 質問の返事

2013年12月04日

ちあきさんへ

ちあきさんより質問いただきました。
ありがとうございます。

===========================================================

明日数学Tのテストがあるので、至急おねがいします。(>_<)

二項定理の問題の展開式の「 」 のなかに指定された項の係数を求める問題なのですが次の3もんの解き方を教えてください!!
@(X²+X+2)の5乗 「X³」

A(X²+2X−1)の8乗「X5乗」

B(1+2X−X²)6乗「X4乗」

わかりずらくてすみません\(゜ロ\)(/ロ゜)/
今日中にお願いします!!!!^・^

===========================================================

すみませんがまだ仕事中なんで
詳しく解説できません(>_<)
似たような質問を以前にいただいてるので
そちらをご覧ください。
お急ぎのようなのでその方が早いかと(^^;

【数U】【旧数A】二項定理の例題 その1


ちなみに即答性を求めるなら
Yahoo知恵袋のような質問掲示板をお勧めします(^^)
posted by ジュンジ at 20:31 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

2013年06月26日

kuraさんへ

kuraさんから質問をいただきました。
ありがとうございます(^o^)

==============================================================================

はじめまして!いきなり質問すみません(><)!!

今度数学のテストで数Tの「命題と証明」と数Uの「数と式」が出題されます。
数Uの方は大丈夫だと思うのですが、「命題と証明」が不安です…。
証明は、背理法や対偶のやり方はわかるのですが、
自分で証明をすることが出来なくて…
解答を読めば理解できるのですが、自分で方法を思いつくことが出来なくて…
また、真偽を問われる問題なども間違ってしまうことが多く、
たぶん原因は「有理数・無理数」の性質を理解していないからなのだと思うのですが、
それが理解できれば証明も出来るようになるのでしょうか…?
それともいろんな問題などを解いていくうちに慣れるものなのでしょうか?
一度やったことのある問題ならテストでも出来ると思いますが、
初めての問題だと解けなさそうで心配です。
具体性の無い質問で本当に申し訳ありませんが、
解き方のコツやおススメの問題集など、
何でもいいので良かったらご返答よろしくお願いいたします(><)
ちなみに学校で使ってる問題集は数T・Aは4ステップ、数U・Bからはオリジナルです。

=============================================================================

証明を一から自分でやっていくのは難しいと思います。
できなくはないと思いますが、
できたとしてもそこにいろんな試行錯誤があって当然。
適切な証明方法というものは一発で思いつくものではないと
思っておいた方がいいと思います。
1つの問題をああでもないこうでもないと
いろいろな側面から見ることで理解が深まったり
知らない問題へのアプローチの仕方を学ぶことにもなります。

学校のテストの点を取るためなら
極端な話をすれば問題と解法を覚えればその手順に従って
答えを出すことはできると思います。
ちゃんと考えた上で答えるのは大事ですが
全部をそれでやっていくのも大変なので
ある程度は解答などのやり方を見て覚える
というのもいいと思います。
ただしその覚えると言っても
それで解ける問題はその問題だけということではなく
それを別の問題にも利用できるくらいの理解は必要だと思います。

命題の真偽に関してはまずは手始めにいろんな値で具体例を考えましょう。
そして反例が見つかればすぐに偽であると結論付けます。
なかなか反例が見つからなければ真かもしれない
と疑い始めると思いますが、その時点で真と結論づけることはできません。
なのでそこで証明が必要になるわけです。
整数や有理数の性質はもちろん、それらを数式で表すと
どう表せるのかということも必要な知識かと思います。

オススメの問題集ではありませんが
数学に対してどのように向き合うのかを教えてくれる本として
このブログでも紹介している「数学ガール」をオススメします。
すでに何冊か出ていて
メインの題材は難しいものかもしれませんが
どれも数学の楽しさを教えてくれます。
小説版以外にも漫画版もありますので
探してみてください。

質問の答えになったかわかりませんが
また何かあれば気軽に聞いてください(^^)
posted by ジュンジ at 00:58 | Comment(2) | TrackBack(0) | 質問の返事

2013年06月02日

海月さんへ

海月さん、初めまして。
数学のコツのジュンジです。
質問ありがとうございます。

※記入していただいたメールアドレスに
 返信しましたが届かなかったようなので
 こちらに投稿させていただきました。

 なお、「@quelque.sakura.ne.jp」
 というドメインからメールを送るので
 受信できるようにしておいていただけると
 メールで返信、または投稿のお知らせを
 お送りいたします。




添付写真1については
y=-1/xをx軸方向に-2、y軸方向に3移動させたグラフ
であってると思います。
定義域は分数関数なので
分母が0になるとき以外。
分母のx+2が0
つまりx=-2以外ということなので
定義域はx<-2,-2<x(またはx≠-2)。
地域はyの値の範囲ということなので
今回は漸近線になっているy=3以外。
よって地域はy<3,3<y(またはy≠3)。

添付写真2のx切片、y切片については
それぞれy=0を代入、x=0を代入して
計算すればOKなので、計算間違いだと思います。
この場合は式変形する前の式に
代入すると簡単ですかね。

添付写真3については
まず定義域内でグラフを描きます。
この時は横方向で範囲を考えて描きます。
描き終わったらそれを見て
今度は縦方向の範囲を考えます。
定義域内でグラフを見ると
(1)みたいに定義域の両端で
最大や最小になっている場合は
xに0や2を代入すればOKですが
必ずしもそうとは限らないので
グラフや増減表などで
xがいくらの時に最大・最小
または収束・発散するのかを
考えてください。
簡単に言えばグラフを描いて
グラフが存在している範囲を
縦方向で答えるのが値域ですので
難しく考えずグラフを見て
答えられたらそれで十分です(^^)


またわからないことがあれば
質問してください(^o^)
posted by ジュンジ at 13:43 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

2012年12月13日

【数U】三角関数の合成

五月雨さんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)


==================================================

こんにちは、初めまして。
三角関数の問題なのですが、
解説を見てもよくわからなかったので
解き方を教えてください。
よろしくお願いします。


sinθ+cosθをrsin(θ+a)の形に変形せよ。
ただし、r>0、−π<a<πとする。

===================================================


三角関数の合成公式を使う問題ですね。
先に公式を書いておきましょう。

  

問題で問われているrは合成後のsinの係数のことなので
公式と照らし合わせると

  

です。

  

なので、a=1、b=1 と考えればrは

  

とわかります。
ちょっとやっかいなのはαの方で、
これも先にやり方を説明しておきます。

まずは合成前のsinの係数をx座標、
cosの係数をy座標として
xy平面に点をひとつ打ちます。
今回はsinもcosも係数は1なので
(1、1)という点を打ちます。
そして原点とその点を結びます。
実はこの時のその線分の長さが先ほどのrになります。
求め方は図を描いて
三平方の定理を利用すればすぐに求まります。
で、肝心のαですが、
今引いた線分 と x軸の正の方向 がなす角のことです。
今回引いた線分だと
(1、1)からx軸に垂線を下ろすと1:1:√2の
直角三角形ができるので45度、
弧度法で言うとπ/4です。
なので

 

となります。
よって問題の答えは

  


「sin自体はyの値、cos自体はxの値」
と関連付けて覚えていると思いますが
合成の時は
「sinの係数はxの値、cosの係数はyの値」
として点を打つところが間違えやすいので注意してください。



以上のやり方だけ覚えれば問題は解けますが
理解を深め、公式を忘れないようにするために
なぜこの公式が成り立つのかを説明します。




まずこの公式は加法定理から作られていることを知ってください。
では加法定理から。

  

今回使うのはこのsinの加法定理だけです。
この式の両辺にrを掛けた式から変形を始め、
最初に書いた

  
 
という公式を導きたいと思います。
今から作る式と照らし合わせやすいように
最初に書いた公式とは左右が逆になってますが
同じ式です。

  

ここでsinθの係数とcosθの係数について

    

と、それぞれおきます。
ここ重要ポイントで、後でまた戻ってくるので
覚えておいてください。
では、これで式を書き直すと

  

だいぶ公式の形に近づきました。
次はrを求めましょう。

先ほど  とおきましたが、
これらの式をそれぞれ両辺2乗すると  となり、
これらの式を辺々足すと

  

最後は「±」を付けるべきところですが
r>0という条件より正の方のみを書きました。
このrを先ほどの導きかけの公式に代入すると

  
 
ということで、αが何者かはさておき、
公式の形が出来上がりました。
でももちろんこれではαがわかってないので不十分。
そこで、途中で「後で戻ってくる」と
言っていたところに戻ります。

    

こうおいていました。
cosの方から次のように変形します。

  

sinの方も同様に変形。

  

これらの式でαという角がどれくらいかが
説明できていることになります。
先にやり方を説明した時の
点の打ち方を含む作図方法と関連付けて
説明すると、

rcosαというのは
長さrの線分を、x軸の正の方向から角度αの方向に書いた時、
その先っぽのx座標、
同様にrsinαというのは
そのy座標を意味します。
今、rcosα=a、rsinα=bとおいているので

  (x、y)=(rcosα、rsinα)=(a、b)

ということになります。
よって、sinθの係数aをx座標、
cosθの係数bをy座標に打って、
原点と繋いだ時にできる角度がα
ということになります。


sinθの係数がなぜyではなくxなのかというと
その係数はもともとsinの加法定理でいう
cosαに相当するもの(正確にはcosαのr倍)で
cosだからx座標ということなのです。




なので合成と言っても今みたいにsinに合成するのではなく
cosに合成する(滅多に使わないですけど)ならば
cosの加法定理

  

を利用するのでsinθの係数はsinαだからy座標として打ち、
cosθの係数はcosαだからx座標として打つので注意。
そして角αについても公式の左辺が
「θ-α」になっていることにも要注意です。

ただ先ほども言ったようにcosへの合成は滅多に使うことがなく、
合成と言えばたいていsinへの合成です。
定期テストにはsinへの合成だけ知っておけば十分です。
普通の教科書はsinへの合成しか扱っていないと思います。
posted by ジュンジ at 04:55 | Comment(4) | TrackBack(0) | 質問の返事

2012年10月17日

【数A】サイコロの目の最小値

前回に続き、IINさんより質問いただきました(^^)


=================================================

1個のさいころを繰り返し3回投げるとき
目の最小値が2以下である確率

解答は余事象を使って
1−(4×4×4)÷(6×6×6)となるんですが

この問題を余事象を使わないとすると
どのような計算になるのでしょうか? 

=================================================

この問題はIINさんが書いて下さったように
余事象を利用して求めるのが一般的です。
最小値が1か2ということは
「少なくとも1度は1か2が出る」
ということで
「すべての確率(つまりは1)」−「1も2も1度も出ない確率」
という考え方です。

それをあえて余事象を使わずにということですね。
いろんな方法で考えるのは理解が深まるので
とても良いことです(^^)



「最小値が2以下」を素直に受け取ると

  最小値が1または最小値が2

ということなのでそれぞれの確率を求めて
合計すればOKです。

まずは最小値が1になる確率は

 

であり、次に最小値が2になる確率は

 

なので、最小値が2以下になる確率は

 

ということではありますが
実はこれも余事象を使って解いています(^^;


どういうことかというと
最小値が1になるのは
「すべての場合」の中で「1が全くでない」以外
言い換えれば
「1〜6で自由に出る」の中で「2〜6が自由に出る」以外
ということです。
同様に最小値が2になるのは
「2〜6で自由に出る」の中で「3〜6が自由に出る」以外
ということで
先ほど書いたような引き算で余事象を利用しています。

そこで余事象を全く使わずに考えると
面倒なことになりますが
とりあえず最小値が1になる確率の求め方だけ書いておきます。

まずは最小値が1になるのは
@1が3回、A1が2回、B1が1回
の時に場合分けして、
それぞれ数え上げましょう。
数が多いのでまずは組み合わせを考え
それから各々の並べ方を考えます。

@1が3回の組み合わせは
1,1,1
の1通りで並べ方も1通り

A1が2回の組み合わせは
1,1,2
1,1,3
1,1,4
1,1,5
1,1,6
の5通りで並べ方は各々3通りずつあるので
5×3=15通り

B1が1回の組み合わせは
1,2,2
のように1以外が同じ数になるのが5通り
1,2,3
のように1以外の数が異なるのは
1以外には2〜6の5つから2つを選べばよいので
で10通り。
1,2,2タイプは並べ方が各々3通り
1,2,3タイプは並べ方が各々6通り
なので
5×3+10×6=75

よって@ABより
最小値が1になる目の出方は
1+15+75=91通り

したがって最小値が1になる確率は

 

となり最初に書いた

 

の結果と一致しますが、
どう考えてもこっちの方が手間がかかるので
やはり余事象を利用して求めることをお勧めします。
posted by ジュンジ at 01:31 | Comment(2) | TrackBack(0) | 質問の返事

2012年10月12日

【数A】順列「この順に並べる」の考え方

IINさんから質問いただきました。
誤答のご指摘に続き、ありがとうございます(^o^)


====================================================

J,A,P,A,N,E,S,Eの8個の文字全部を使ってできる順列
 
JはPより左側にあり、かつPはNより左側にある
ような並べ方

J、P、Nを同じ文字と考えて・・・
結果3つの同じ文字、2つのA、2つのE、1つのS

として考えるみたいですがあまり頭で理解できません。

数Aは解き方を見てもモヤモヤが残ることが多く苦手です

====================================================


数Aの場合の数、確率、さらには平面図形などは
解法が数通りあることが多いので
問題集の解答と自分の解法が一致しないことも
めずらしくなく、最終的に答えがあってても
考え方があってるのかどうか自信が持てないこともありますよね。
教える立場になった今でも突然聞かれて答える場合は
自分が出した答えがあっているか不安なこともあります(^^;
まぁ、たいていの場合は出した答えがあっていれば
考え方も合っていると思っていいと思います。



さて今回の質問の問題に関しては
Aが2文字、Eも2文字と同じ文字を含んでいるので
問題を簡単にするために少し変えたいと思います。







問題
A、B、C、D、Eの5文字を一列に並べる時
AがBより左、BがCより左になる(A、B、Cがこの順になる)
並べ方は何通りあるか?



まずは5文字を並べるための席を5つ用意します。
その席を○で表します。

 ○ ○ ○ ○ ○

A、B、Cがどこに入るかはわかりませんが、
とりあえずこのA、B、Cの3文字は順番が決まっているので
この3文字は後で並べるとして
先にDとEから場所を決めることにします。
そこでA、B、Cはまだ○のままにしておいて

 ○ ○ ○ D E

の5つの記号を並べる方法を考えます。
このとき3つの○はいわゆる「同じ文字」なので
これら5つの記号の並べ方は

 

で20通りあることになります。
実際に全部書くと

D E ○ ○ ○
D ○ E ○ ○
D ○ ○ E ○
D ○ ○ ○ E
E D ○ ○ ○
E ○ D ○ ○
E ○ ○ D ○
E ○ ○ ○ D
○ D E ○ ○
○ D ○ E ○
○ D ○ ○ E
○ E D ○ ○
○ E ○ D ○
○ E ○ ○ D
○ ○ D E ○
○ ○ D ○ E
○ ○ E D ○
○ ○ E ○ D
○ ○ ○ D E
○ ○ ○ E D

このように先にD、Eの場所を決めた後、
残っている○にA、B、Cを入れていくのですが
A、B、Cは左から順にA、B、Cにしないといけません。

例えば一番上の

D E ○ ○ ○

というパターンにA、B、Cがこの順になるような並べ方は

D E A B C

の1通りしかありません。
同様に考えると他のパターンでも
いちばん左側の○にA、
その次の○にB、
いちばん右の○にC、
を入れることしかできず、
やはり1通りしかないことに気付くでしょう。

したがって上記20通りのいずれの場合に対しても
A、B、Cを残っている3つの○に入れていく方法は
上記20通りのそれぞれに対して
1通りしかないということになります。

よってこの問題の並べ方を求める式は

 

となります。





つまり

 ○ ○ ○ D E
 の5つの記号を並べた時点ですでに答えは出ている

と言えます。


以上のことから「この順で並べる」という条件のときは
それらを同じ(○という)文字で置き換えて考えれば良い
ということが言えます。





======================================================

J,A,P,A,N,E,S,Eの8個の文字全部を使ってできる順列
 
JはPより左側にあり、かつPはNより左側にある
ような並べ方

======================================================

この問題は
並ぶ順番が決まっているJPNの3文字は
○に置き換えて考えればいいので
○、○、○、A、A、E、E、S
の8文字を並べると考えて

 

で計算することになります。
posted by ジュンジ at 02:02 | Comment(2) | TrackBack(0) | 質問の返事

2012年10月01日

【数T】文章から数式を立てる

あーりんさんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)


==============================================
差が2である大小2つがある。
大きい数の2倍が小さい数の3倍より小さいとき、
小さい数をxとして、xのとりうる値の範囲を求めよ。
==============================================


「小さい数」をxとしてあるので
「大きい数」は「小さい数」より2大きい
ということになります。

したがって
「大きい数」=x+2
と表せます。

あとは問題文2行目を数式に変換していきます。
わかりやすく徐々に数式に変換していきます。



大きい数の2倍が小さい数の3倍より小さい

「大きい数」の2倍 が 「小さい数」の3倍 より小さい

「大きい数」×2 が 「小さい数」×3 より小さい

(x+2)×2 が x×3 より小さい

(x+2)×2 < x×3



最後に式をまとめると

 2(x+2)<3x

となります。
あとはこれを解くだけ。
まずは左辺を展開。

 2x+4<3x

左辺の4を右辺に移項。
(これは「両辺から4を引く」と同じ意味)

 2x<3x-4

右辺の3xを左辺に移項。

 2x-3x<-4
 -x<-4

両辺に-1を掛ける。

 x>4

よって求めるxのとりうる値の範囲は
x>4 である。



文章問題は日本語を数式に訳すのがポイントです。
国語の「文節に区切る」みたいな感じで
問題文を区切ると訳しやすいかな
と思います(^^)


続きを読む
posted by ジュンジ at 23:52 | Comment(4) | TrackBack(0) | 質問の返事

2012年09月26日

【数B】階差数列と次数の話

この木なんの木僕青木さんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)



======================================================

第一階差数列が等差数列となる数列の一般項が
pn^2+qn+r(二次関数の形)で表されることの証明若しくは反例
等差数列の一般項は一次関数、
第一階差数列が等差数列となる数列数列の一般項は二次関数、
第二階差数列が等差数列となる数列の一般項は3次関数、
第n階差数列が等差数列となる数列の一般項はn+1次関数
という形で表されるのではないかという推測
上記のことについてご教授いただけないでしょうか

======================================================





【1】等差数列の一般項が一次式になることの証明

初項a、公差dとすると一般項

 

よってこれはnの一次式である。





【2】第一階差数列が等差数列(つまり一次式)となる数列の一般項が二次式になることの証明

初項 、第一階差数列の一般項 を pn+q (p≠0)とすると

 n≧2のとき
 

 n=1のときこの式は

 

 よってn=1の時も成り立つ。

 

したがってp≠0より一般項 はnの二次式である。





【3】第二階差数列が等差数列(つまり一次式)となる数列の一般項が三次式になることの証明

数列 の第一階差数列を 、第二階差数列を とする。
数列 の初項を とする。
【2】より第二階差数列の一般項 が一次式ならば第一階差数列の一般項 は二次式になる。
よって第一階差数列の一般項 (p≠0)とすると

 n≧2のとき
 

 n=1のときこの式は

 

 よってn=1の時も成り立つ。

 

したがってp≠0より一般項 はnの三次式である。





【4】第n階差数列が等差数列となる数列の一般項はn+1次関数という形で表されることの証明
これまでひとつ下の階差数列を利用して
一般項を求めると次数がひとつ上がってきていますが
この原因はΣの計算にあることは明らかです。
そこでn次式にΣの計算をすると次数がひとつ上がって
n+1次式になるとします。
もしこれが正しいのなら

第n階差数列が等差数列(つまり1次式)ならば
第n-1階差数列が2次式になります。
これを繰り返し考えていくと
第n-2階差数列が3次式、
第n-3階差数列が4次式、

第2階差数列がn-1次式、
第1階差数列がn次式、
第0階差数列(つまりもとの数列)がn+1次式

といえ、証明できます。
よってこの問題は

  がkのn次式のとき
 
 はkのn+1次式である

ということが証明できるかどうかにかかっていることになります。


少し長くなりそうなのでこの証明に関しては別の記事として書きます。

 【数B】n次式をΣするとn+1次式になることの証明

こちらをご覧ください。
posted by ジュンジ at 03:12 | Comment(2) | TrackBack(0) | 質問の返事

2012年06月07日

【数T】不等式の整数解

おにぎりさんから質問をいただきました。
ありがとうございます(^o^)

========================================

数学iの不等式の問題で分からないところがあるので
もし良かったら教えてください。

「不等式5(x-1)<2(2x+a)を満たすxのうちで
最大の整数が6であるとき定数aの値の範囲を求めろ」
という問題で

5(x-1)<2(2x+a)
x<2a+5

6<2a+5≦7
1<2a≦2
1/2<a≦1
と答えがなっているのですが
6<2a+5≦7になるのがモヤモヤします。
6<2a+5になる意味は分かるのですが
どうして2a+5≦7になるのか分かりません。

お忙しい中すいません。
教えてくださると嬉しいです。

========================================


これは多くの人が理解しにくいところだと思います。
おそらくは「≦」ではなく「<」にならないの?
というふうに思われていると思います。
ではそのモヤモヤを消してみせましょう!

こういうときは具体的に考えてみるといいでしょう。





x<2a+5 を満たす最大の整数が6

ということですが
2a+5が6のときは

 x<6

ということなのでこれでは最大の整数が5になってしまいます。
でも2a+5が6よりも少しでも大きくなるとどうでしょう?
具体的に2a+5が6.1だとしましょう
このときは

 x<6.1

となりこれを満たす最大の整数は6になります。
さらに続きを考えると
2a+5は6.2、6.3、6.4、…、6.9
などであればOKであることがわかると思います。

ここまででわかったことは
2a+5は6より大きくなくてはいけない
ということです。

ではこの続きを考えて
2a+5が7のときはどうでしょう?

 x<7

これを満たす最大の整数は6ですね?
なので2a+5は7でもOKです。

しかし2a+5がさらに大きくなって7.1のときは

 x<7.1

となり、これを満たす最大の整数は6ではなく7になります。
だから2a+5が7.1のときはダメ!ということになります。

まとめると2a+5は
6.1から7までならOKで、7より大きくなるとダメ
ということになります。


今は0.1きざみで考えましたが、
xは実数で考えるのが普通。
なので実数で考えると

6より少しでも大きい数 から ちょうど7 まで

がOKということになります。
これを不等式を使って表すと

 6<2a+5≦7

となります。




どうでしょうか?
次は数直線を使った考え方を説明します。





こういう不等式の問題では
数直線の図を描いて考えることが多いですが
その場合、x<2a+5というのは2a+5のところに白丸を書き、
そこから左側(負の方向)がxの解の範囲という図になります。

今考えるのはこの2a+5という白丸を「置く場所」がどの範囲か?
ということです。

この白丸をちょうど7のところにおいても
白丸なのでxの解としては7を含みません。
しかし「白丸を置く場所」としては7もOKなので7を含みます。
ここがややこしい原因ですね。
今考えているのが「xの解」ではなく「白丸を置く場所」
というのがポイントです。

一方、白丸を6に置くと6もxの解に含まれなくなるので
「白丸を置く場所」としては6は含まないということになります。

よって「白丸を置く場所」は

 6を含まないところから7を含むところまで

が正解の範囲になるので

 6<「白丸を置く場所」≦7

となります。
「白丸を置く場所」=2a+5 なので

 6<2a+5≦7

ですね。





さて、以上で説明は終わりですが
モヤモヤは消えたでしょうか?(^^;





数式のみで考えるより、
イメージでとらえる方が表現が豊かで理解も深まるので
数直線で考えることをお勧めします。
posted by ジュンジ at 01:16 | Comment(10) | TrackBack(0) | 質問の返事

2012年05月21日

【数A・新】合同式の性質

関根さんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)


========================================================

a≡cならば、a^m≡c^mですが、この逆は成り立ちますか?

========================================================


合同式の性質ですね。
整数問題の分野は特殊ですから難しいですよね。

最初は成り立ちそうだと思って考えていましたが
どうもそうはならないと思い具体的な数字で考えてみました。

例えばm=2のときmod 5で考えてみました。
m=2ということは
「5で割った余りが等しい平方数」を
それぞれ  と考えることができます。
そこで  と 
これらはどちらも5で割ると余りは1になるので

 

が成り立ちます。
ここでa=4、b=6なので
5で割った余りをそれぞれ考えると
4÷5=0...4
6÷5=1...1
となり、余りは一致しません。

よって



  のとき

  である。



ということで反例が見つかりました。


したがって

========================================================

Q.  ならば、  ですが、この逆は成り立ちますか?

A. 成り立ちません

========================================================








※「合同式」は2012年度からの新課程では
数学Aに出てくるので【数A・新】としました。
posted by ジュンジ at 21:01 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

2011年06月12日

【数V】logを含む関数の漸近線

この記事は以下の漸近線に関する3連続記事についての質問です。
1つ目の記事 【数V】分数関数の漸近線
2つ目の記事 【数V】こんなグラフの漸近線
3つ目の記事 【数V】ax+bという漸近線の求め方


====================================================
はじめまして。高3受験生のしろきと申します。

丁度数Vの漸近線の部分が全く分からず、解説を読んでも分からず、最後の砦としてパソコンに頼るという経緯でこのサイトへ来ました。

文章でも分かりやすくて目から鱗の状態で漸近線の部分を読ませていただきました。

そこで一つ浮かんだ疑問なのですが、f(x)の式がlogの式だった場合には漸近線はどうなるのでしょうか?
真数条件があるのでxには範囲がある時もあるのではないかと思っております。

次数が一次以下でないと漸近線は無いということでしたが、logがその点においてどのような位置にあるのかが、恥ずかしながら理解しておりません。

ふと浮かんだ拙い質問でだらだらとした長文で失礼いたしました。
====================================================


はじめまして、しろきさん。
ブログを読んでいただきありがとうございます(^^)


log x にも x=0 という漸近線が存在しています
が、これは y=ax+b タイプではないので「まぁいいか」と思って
何も書きませんでした(^-^;
一言触れておくとよかったですね。

で、いろいろ考えて質問の返事を書き終わった今、
先に結論を言っておくと


#################################################
<質問に対する答え>
log f(x) は f(x) が指数関数でない場合、
0より大きく1未満の次数のようなものだが
その log f(x) の項が発散する場合は
y=ax+b タイプの漸近線はない


<y=ax+bタイプの漸近線があるとき>
y=f(x) の f(x) が1次式以下の場合
ただし必ずあるとは限らない

<y=ax+bタイプの漸近線の求め方>
@傾きを求める
 
 で出てくる値が傾きである。
 またそれをaとする。

A切片を求める
 @で求めたaを使い、
 
 で出てくる値が切片bである。

この時、右側の漸近線はy=ax+bである。
左側の漸近線も同様に@Aを計算することで求まる。

ただし極限値がない場合は漸近線も存在しない

#################################################



今回しろきさんの質問によって最後の1行を加えさせていただきました。
よりよい方法に仕上がったことに感謝です!(^^)
ありがとうございます!!

それでは今回の考察は以下の通りです。
長いので大変ですが、時間と興味があれば読んでみて下さい。







もともとこの記事(【数V】ax+bという漸近線の求め方
で扱ったのはx^nの項の和・差・積・商で
できている関数であり、
指数関数、対数関数、三角関数、無理関数などは
対象外にしていました。

ということで今回しろきさんの質問をきっかけに
詳しく考えてみました。

あと調べたわけではないので個人的な意見ですが
対数関数には「○次式」という概念はないのかと思います。
もちろん

 

のようなものは「log x」に関しての二次式ではありますが、
「x」についてはなんとも言い難いのかと。
ただし次のようなことは言えると思います。

 

という関数があったとします。
定義域は0<x<∞です。
漸近線の基本に戻って、
この式でx→∞の時に無視できるところを考えてみましょう。
y=x のグラフと y=log x のグラフで比べると
y=log x の方が増加速度が遅く、 x が大きくなればなるほど
y=x との差は広がっていきます。
x も log x も x→∞ では ∞ になる関数ですが
x=∞ においては log x の値はxの値から見ると無視できる程度しかありません。
なので y=x+log x はy=xに漸近していくことになります。
(【注】これは後で間違いだとわかったのですが、近づいていくだけで漸近線にはなりません。つまりは無視できないということのようです)
また定義域左端の x→+0 では -∞ になるので x=0 という漸近線も持つことになります。

このように log x は1次式よりも増加速度が鈍いといった意味では
log x は1次式未満として扱えると思います。
そして は x→∞ において0なので
log x の次数が0以下でないことも確かです。
もし次数が負なら、例えば

 

つまり

 

のように発散するはずだし、
次数が0なら 1/定数 なので0には収束しないはず。
したがって

 y=ax+bタイプの漸近線を考える場合、
 log x は0より大きく1未満の次数の項

として扱ってもいいと思います。


ちなみに対数関数以外にも
三角関数ではtanが同様に x=a タイプの漸近線を持ちます。
そして指数関数は y=a タイプの漸近線を持ちます。
指数関数の漸近線は y=ax+b タイプに含まれるので
これは記事の方法でも求めることができます。

また  という指数関数についても○次式という概念はないと思いますが、
指数に注目すれば
x→∞ のときは ∞次式、
x→-∞ のときは -∞次式
みたいなもんだと思います。
あくまでも「みたいな」です。
-∞次は1次以下なので左側だけ漸近線を持ち、
右側は直線に漸近することなく発散することになります。



結局、漸近線を考える上ではグラフの「次数」というより
「増加速度」がモノをいうということになるのかと思います。
そう考えれば

 

のような順になりますね。
そして tan x も考えるとこれがいちばん速く
たった π/2 で∞に発散することから
これらの中から増加関数だけを比較すると

 

という順になります。
まあ tan x は不連続関数なので
あまり y=ax+b タイプの漸近線を考えることもないかと思います。
ちなみに  などの については
 とできるので y=x より速く発散することはありません。
実際に

 

の増加速度を調べるために
として
微分すると

 

となり x=1 では y'=n なのでnの値によっては
y=x のグラフより増加速度は速いですが
x=∞ では y'=0 なので y=x のグラフより増加速度は遅くなります。





以上のことより、増加速度の比較はできたと言っていいと思いますが
トラブル発生です!(>_<)

少し思っていたのと違う結果になることも出てきました。




例えば

 

の漸近線を考えると
まずは真数条件を考え

 

 これは常に成り立つので
 定義域は全実数。

logの式は0より大きく1未満の次数なので
無視できる部分であり、
無視できない部分の2x+1が漸近線である
と予想できますが機械的にやると


 @傾きを求める
  
より

 

次にトラブルが発生します
 A切片を求める
  @で求めたaを使い、
  
より

 

これが問題です。
切片が∞になってはグラフが描けません!

原因は0より大きく1未満の次数として扱っているlogの項です。
この部分は∞に発散します。
いくら1次の項を消したからといって
この部分が残っていてはやはり発散してしまいます。
この問題はlogでなくても1/2次式のでも発生します。
さらにsin xがあっても発散(振動)するので
同様の問題が発生します。

しかし漸近線の定義を思い出してみると
漸近線について書いた最初の記事である

【数V】分数関数の漸近線

にも書いたように


 

 ならば y=ax+b は漸近線


とあります。
つまり今回、最初の段階では y=2x+1 が漸近線と予想しましたが

 

より y=2x+1 は漸近線ではないということになります。
つまり式を整理した時に0より大きく1未満の次数の項があると
漸近線はないということになります。
またそのときAでのlimの計算は発散し、
極限値を持たないということになります。
極限値がないのであれば当然切片もなく、
切片がないのならば直線つまりは漸近線は存在しない
ということになります。


ちなみにlogが

 

のようにlogが発散しない場合はAの極限値が存在するので
漸近線も存在します。


【まとめ】y=ax+bタイプの漸近線の求め方
@傾きを求める
 
 で出てくる値が傾きである。
 またそれをaとする。

A切片を求める
 @で求めたaを使い、
 
 で出てくる値が切片bである。
この時、右側の漸近線は y=ax+b である。
左側の漸近線も同様に@Aを計算することで求まる。

ただし極限値がない場合は漸近線も存在しない
posted by ジュンジ at 07:26 | Comment(2) | TrackBack(0) | 質問の返事

2011年03月22日

【数V】平均値の定理の閉区間・開区間

前回に続き守谷さんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

=============================================
平均値の定理について質問です。
公式にはこうあります。

関数f(x)が閉区間[a, b]で連続で、開区間(a, b)で微分可能ならば、

f(b)-f(a)/(b-a)=f'(c) a<c<b となる実数cが存在する。

閉区間[a, b]で連続〜、
という一文はf(b)とf(a)が存在することを示していると思います。
(f(b)とf(a)は左辺に含まれるので)

続いて、開区間(a, b)で微分可能ならば〜とありますが、
・・・?
これはなぜ開区間になっているのでしょうか?
=============================================


細かいところに注目するのはいいことですね!
まずは平均値の定理を図的に説明しておきましょう。


[a,b]の両端の点をそれぞれA(a,f(a))、B(b,f(b))とします。

平均値の定理の中に出てくる
「f(b)-f(a)/(b-a)」は
2点AB間の平均変化率(変化の割合)のこと
つまりは直線ABの傾きのことです。

そして「f'(c)」は微分で習ったとおり
x=cにおける微分係数のこと、
つまりはx=cにおける接線の傾きのことです。

この二つが

 f(b)-f(a)/(b-a)=f'(c)

のように等しいと言っているので
言葉で言うと

 直線ABの傾きとx=cにおける接線の傾きが等しい

ということになります。
そしてそのような接線がa<c<bの範囲、
つまり「A〜Bの間に存在する」ということです。


まとめると

 今注目している範囲内に
 その両端を結んだ直線と平行になる接線が存在する

というのが平均値の定理です。



そして
「連続」というのは「線が繋がっている」ということ。
この場合、線がカクっと折れ曲がっている状態も許されます。
一方
「微分可能」というのは「線が滑らかに繋がっている」ということ。
この場合、線がカクっと折れ曲がっている状態は許されません。



では、質問に対する答えの核心です。

平均値の定理において
範囲の両端では「微分可能でなくても連続であれば良い」
となっている理由は、

 注目する範囲の両端を結ぶ直線ABが引ければいいので
 両端でカクっと折れ曲がっていてもかまわないから

です。
posted by ジュンジ at 11:46 | Comment(2) | TrackBack(0) | 質問の返事

2010年12月10日

【数T】二次関数の利用(文章問題)

平村さんから質問いただきましたので
お答えします(^^)

============================================

はじめまして。
いま、二次関数の勉強をしているのですが
どうしてもわからない問題があり困っています。
もしよろしければご伝授いただきたいと思い
メールいたしました。


長さ20センチの針金を二つに切り
それぞれを折り曲げて正方形を2つ作る。
正方形の面積を最小ににするには
針金をどのように切ればいいか。

と、言う問題です。
答えは、10センチづつ切ればよい
なのですが、どうしてそうなるのかがさっぱり分かりません。
もしお時間ございましたら
ご伝授のほど、よろしくお願い致します。

============================================



問題を解くときの王道とも言える方法の
「求めるものをxとおく」
ということから始めましょう!

求めるものは普通問題文の最後に書いてあります。
この問題文では

「針金をどのように切ればいいか」

とあるので「xセンチで切る」
としましょう。
ここで問題文を最初からじっくり読んでいきます。

「長さ20センチの針金を二つに切り」
とあるので20センチの針金を
xセンチのところで切ると、
残りの方は20-xセンチになります。

ここでxとしてありえる範囲を考えておきましょう。
このような現実問題ではかならず制限があるので。
今回は全部で20センチの針金をxセンチで切るので
いちばん短くてほぼ0センチ、
いちばん長くてほぼ20センチ、
なのでxの範囲としては

 0<x<20

となります。

そして
「それぞれを折り曲げて正方形を2つ作る」
とあり、
問題文の最重要ポイントトなる一文
「正方形の面積を最小にするには」
につながります。

求めるものをxと置いたら
それを求めるために
xの入った式を立てることが必要になります。

今回は具体的に
「面積が○○平方センチになるときのx」を
求めるのではなく
「面積が最小になるときのx」を
求めるので

 面積=○○

という等式(方程式)ではなく

 面積=xの式

というふうに面積をxの式で表すだけでOKです。
等式との違いを説明しておくと
先ほど等式の方は

 面積=○○

と書きましたがこの「面積」は実際には
「xの式」で表した形で書くので

 面積を表すxの式=○○

となります。これが等式を立てるということ。
それに対して面積をxの式で表すだけというのは
この左辺だけを書くことです。
なので

 面積を表すxの式

を考えていきましょう。
今回は「2つに切った針金をそれぞれ正方形にしたときの合計面積」
のことなので大雑把に言うと

 1つ目の正方形の面積 + 2つ目の正方形の面積

となります。
では1つ目の正方形の面積を具体的に考えるとしましょう。

正方形の面積を求めるには1辺の長さがわかればOKです。
今1つ目の正方形はxセンチに切った針金で作るので
xセンチを使って4つの辺を作るので1辺の長さは
x/4センチになります。
したがって1つ目の正方形の面積は

  x   x
 --- × ---
  4   4

となります。

次はこれと同様に2つ目の正方形の面積を考えます。
2つ目は20-xセンチの針金で正方形を作るので
1辺の長さは(20-x)/4になります。
よって

  20-x  20-x
 ------×------
  4    4

となります。

したがって求める合計面積は

  x   x   20-x   20-x
 --- × --- + ------ × ------
  4   4    4    4

これを整理していくと

  x^2   400 - 40x + x^2
 ----- + ------------------
  16       16   

  x^2      5x   x^2
= ----- + 25 − --- + -----
  16       2   16

  x^2   5x  
= ----- − --- + 25
   8    2

というxの2次式になります。
これの最小値を求めるのが目的です。
2次式の最大・最小値を求めるためには
「式を平方完成」です。

  1
= ---(x^2 − 20x)+ 25
  8

  1
= ---{(x − 10x)^2−100}+ 25
  8

  1          25
= ---(x − 10x)^2 − --- + 25
  8          2

  1          25
= ---(x − 10x)^2 + ---
  8          2

よってこのグラフを描いて、
0<x<20の範囲で最小つまり
一番下になっているところを見ると
x=10、y=25/2
になっていますので

 x=10のとき最小値25/2

となります。
文章問題の答えとしては
「針金をどのように切ればよいか」
という問への答えとなるので
x=10の時どのように切ったことになるのか
を考えます。

 xセンチで切ると残りは20-xセンチ

なのでx=10をこの文に代入して言い直すと

 10センチできると残りは10センチ

となります。つまりどのように切ったのかは

「20センチの針金を10センチと10センチに切れば最小となる」

という答えになります。



詳しく書きすぎたので
返って少しややこしくなってしまったかもしれませんね。
わからないところがあればまた質問してください(^^)
勉強がんばってください!
posted by ジュンジ at 01:41 | Comment(4) | TrackBack(0) | 質問の返事