2016年01月18日

【数B】センター数UBのB(2016年)

第3問
今年は群数列の問題。
「真分数」という言葉を聞いたのは小学生以来
または覚えがないという人も多かったのでは?
でも丁寧に説明がありました(笑)
(1)に関しては実際にそこまで書き続けるのが早いです!
(2)は群数列としてはよくある問題ですが
1/kが初めて現れる群は第k群ではなく第k-1群であることに注意。
は1/kが第何項かを答える問題。
第k-1群の最初なので第k-2群の最後までの項数+1より
1+2+3+…+(k-2)+1
を計算すればよい。
が第何項かを答える問題。
第k-1群の最後なので第k-1群の最後までの項数より
1+2+3+…+(k-1)
を計算すればよい。
については
第何群の何番目かを考えれば良い。
もちろん今求めたものを利用して不等式を立てる。
ただしここで群の番号と分母の数のずれに注意。
(3)も群数列では頻出問題だがここでも軍の番号と分母の数のずれに注意。
kの値をどこからどこまで変えて、何群から何群までなのかをしっかり把握しよう。
(3)の1問目、群の中では等差数列なのでその和を計算すればよい。
2問目は1問目の答えを2からkまで変えて足すという



という式になるがm=1のとき



だから



としても支障ない。
第103項までの和は今の答えにk=14を代入し、第14群の中の残りは



としてこれを加えれば良い。
群数列が苦手な人にとってはここは難しかっただろう。
難易度はやや難


第4問
空間ベクトルの問題。
(1)は内積を計算した後、ベクトルPQを求め、
その絶対値の2乗を計算する。
それ自体は珍しくないが
s、tの2文字を含む式での最小値
というのは少し珍しい。
2次式なので平方完成するのだが
解答欄に合うように考えて行けば大丈夫。
(2)はベクトルOAとベクトルPQの内積の後に
∠APQの大きさなので計算も必要なく
内積0で90°である(笑)
もちろん実際にs、tを代入してベクトルPQを定めて
ベクトルOAとの内積を計算しても良い。
したがって△APQは直角三角形なので面積は底辺×高さ÷2で出せばよい。
ベクトルOGに関してGは△ABCの重心ということで式を立てる。
AG:GQ=2:1なので内分公式でベクトルOGの式を立てればよい。
最後は△GPQは△APQと底辺を比較すると
△GPQは△APQの1/3である。
難易度はやや易


去年の数UBは平均が低かったので今年は簡単になるだろうと思っていました。
確かに簡単になったと思いますが、できた人とできなかった人と
割と別れるような気がします。
特に三角関数、数列、ベクトルは差があると思います。
数UBの全体平均としては個人的に44点と予想します。



【数T】センター数TAのT(2016年)
【数A】センター数TAのA(2016年)
【数U】センター数UBのU(2016年)
【数B】センター数UBのB(2016年)
posted by ジュンジ at 05:21 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

【数U】センター数UBのU(2016年)

数UBは例年通りの構成での出題。
ただここ数年続いた図形と方程式に関する問題はなかった。


第1問
[1]
指数・対数関数からの出題。
(1)はそれぞれ基本問題。
(2)は珍しくグラフの位置関係に関する問題。
式を整理して元になるグラフとxやyがどう変わったかを調べると良い。
xが-xになったのならy軸に関して対称移動
yが-yになったのならx軸に関して対称移動
xとyが入れ替わったらy=xに関して対称移動
が知識として必要。
それが無理なら実際に簡単にグラフを描いて調べる方法でも良い。
(3)も頻出問題の一つ、2次式タイプの対数関数。
難易度はやや易

[2]
三角関数の問題。
まずは誘導に従ってAの形に整理しよう。
Aは右辺が0で左辺は因数分解されているので
または
を解けばという解を得る。
一方
となり
単位円の上半分とy=4kの共有点の個数を考えることになる。
4k>1のときは解なし
0<4k<1のときは解は2個
だがを合わせると
4k>1のときは解は1個
0<4k<1のときは解は3個
となる。
また4k=1のときはsinの方から出てくる解が1個あるが
それがcosから出てくる解のと一致するので
重解となり解の個数は1個となる。
(2)はk=4/25をAに代入しsin2xを求めればよい。
あとは相互関係式の利用、2倍角の公式の利用。
ここはやや難

第1問全体としては標準


第2問
微積分の問題。
(1)の定積分は基本問題。
積分範囲が書いてあるのであとはC1-C2の式を積分しよう。
その直後にSの最小値の問題があるが
Sは2次関数なので微分は不要。
平方完成で事足りる。
数学TAで出題されなかった代わりだろうか(^^;
(2)は図やグラフを描くのが苦手な人や
「共通部分が空集合」という表現に戸惑う人は
つまづいたかもしれないが、
そこが大丈夫なら特に難しい問題はなかった。
最後はTの最大値に関する問題だが
今度は3次式なので微分が必要。
今回は積分の面積の公式を使う機会がなかったので
実際に定積分の計算が必要になる。
難易度は標準



【数T】センター数TAのT(2016年)
【数A】センター数TAのA(2016年)
【数U】センター数UBのU(2016年)
【数B】センター数UBのB(2016年)
posted by ジュンジ at 04:27 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U

【数A】センター数TAのA(2016年)

数A分野は第3問〜第5問の中から2問選択。

第3問
全問が場合の数だった去年とは違い
今年は全問が確率の問題。
問題としてはよくある袋から球を取り出す問題。
特に変わった設定はないが取った球を戻さないということには注意。
(1)は「少なくとも」ということで余事象を考えてみよう。
(2)は条件付き確率だが、条件が先に取るAさんについてなので
単にBさんが残り11個の中から白球を選ぶ確率を考えても良い。
(3)は(2)とは逆に条件付きの条件が後に取るBさんについてなので
定義通りに考えよう。
Bさんが白である確率を求める方法は誘導に従えばよいので
割と難しくはない。
難易度は易


第4問
整数の性質からの出題。
(1)は1次不定方程式。
xとyの係数が92と197で大きな数なので
ユークリッドの互除法を利用できるかどうかがポイント。
それで整数kを含む一般解を求められれば
最も0に近いxの解になるkが決定できる。
2問目は左辺は変わらず右辺が1から10に変わっただけなので
最初に解いた式の両辺を10倍して同様に解けばよい。
(2)はn進法の問題。
基本的には10進数からn進数への基数変換
逆にn進数から10進数への基数変換ができればOK。
2進数→10進数→4進数が一般的な解き方かもしれないが
情報などで2進数→16進数の変換では4桁ずつに区切って
変換する方法を知っていれば
2桁ずつに区切って2進数→4進数の変換も可能だっただろう。
最後の問題は6進数→10進数の変換だが
小数の変換は不慣れだった人もいただろう。
ただし10進数の小数に変換する必要はなく
例えば小数第1位は1/6の位のように分数に変換すればよい。
10進数で有限小数になる分数とは分母が
10の素因数である2と5、その2種類のみに素因数分解できるものである。
難易度は標準


第5問
平面図形に関する問題。
円に内接する四角形から始まる問題だが
あまり形が定まらないところが難しい。
それでも与えられた条件だけでも等しくなる角を探すのは
二等辺三角形と円周角に気づければわかる。
続く問題も「このことより」とあるので等しい角に
印を入れて行けばBDが∠Bの二等分線であることに気づけるだろうから
それを利用してAE:ECがわかる。
次も誘導があり、三角形と直線から考え付くのはメネラウスの定理である。
ただしメネラウスの定理を使う場面が理解できていることが必要。
(1)は問題文からだけでは何を使うかわかりにくいが
ここまでのことは(1)にもこの後の(2)にも使えるので
AE:ECやDC:CGの比を図に書き込んでおくと良い。
ただしあらかじめ書かれている図は
(1)での直線ABが点Gを通るという図にはなっていないので
書き直す必要があるが、無理やり曲げて書いても構わないレベル(笑)
そしてBGを含む直線AG、比がわかっている線分を含む
直線AD、直線AC、直線DG。
これらでできる三角形に注目すると
△AGDに関してチェバの定理か
△AGCと直線BDに関してメネラウスの定理
を使えばBGが求まる。
そしてDCを求めるに当たっては
これも問題文からは分かりにくいが
これは方べきの定理を使うための誘導である。
方べきの定理は二直線の交点から
それぞれの直線と円との共有点までの距離の積が等しい
という定理であるので
「直線ABと直線DCがGで交わる」→二直線の交点がG
「4点A、B、C、Dは同一円周上にある」→円との共有点がその4点
ということに気づきたいところ。
(2)は四角形ABCDの外接円が最小になる場合を考える問題。
今回は四角形で定まっているのがAB=4とBC=2である。
DA=DCもあるが長さは定まっておらず変えることができる。
そして角度に関しては何も決まっていないので
絞り込みにくい。
そこで基本に戻って考える。
長さが決まっている辺で最も長いものが4であり
これは必ず円の弦として存在することになる。
外接円が最も小さくなるのはこの弦が最も長い弦となるとき。
つまり長さ4のABが直径となる円を考えればよい。
これが「ケ」の答えであり、このとき半径は2となる。
この2はBCと同じ長さになる。
この円の中心をOとすると
OB=BC=OC=2より△OBCは正三角形となる。
よって∠ABC=60°、∠ACB=90°より∠BAC=30°。
またこのとき∠ADC=180°−60°=120°で
DA=DCより∠DAC=30°なので△AODも一辺が2の正三角形で、
四角形ABCDは等脚台形となる。
よってDC//ABより△EAB∽△ECD、△EHB∽△EGD
そしてGC:DG=1:3よりHA:HBも1:3となるので
AH:AB=1:2。
AB=4なのでAH=2。
最後は△ABDと直線HEに関してのメネラウスの定理でも出せる。
難易度はやや難


第3問の確率、第4問の整数の性質に比べて
第5問の図形の性質は難しかったと思います。
数TA全体としては去年よりはやや難化。
各問の難易度や配点から個人的に予想すると
平均点は54点前後かなあと思います。



【数T】センター数TAのT(2016年)
【数A】センター数TAのA(2016年)
【数U】センター数UBのU(2016年)
【数B】センター数UBのB(2016年)
posted by ジュンジ at 02:46 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学A

【数T】センター数TAのT(2016年)

受験生の皆さん、センター試験お疲れさまでした。
新課程になって2度目のセンターでしたが
今年も数TAは変わりましたね。
まさか二次関数が出題されないとは予想外でした。

まずは数Tの範囲から出題された
第1問、第2問からいきたいと思います。

第1問
[1]
(1)は一次関数の最小値に関する問題。
式を整理すると傾きにaを含むので
傾きが正か負で場合分けする。
傾きが0の時は問題で傾きが正の場合に含むように
されているので深追いは不要。
(2)の「定義域内で常に不等式が成り立つ」とは
「定義域内における最小値でも不等式が成り立てばよい」
と考えればよく、(1)の最小値の問題は
その伏線であった。
難易度はやや易

[2]
集合と論理の問題。
(1)は普段の勉強ではあまり見かけない記号の
⊂、⊃、∈、∋が出てきて焦った人もいただろう
集合同士の抱合関係を表す⊂、⊃と
要素が集合に属することを表す∈、∋との違いを
知っておく必要がある。
(2)の必要条件、十分条件の問題では
反例を見落としやすい命題になっていて
xが無理数のときx+√28は無理数であるというところでは
x=−√28という反例がある。
勝手にxが正の数と思ってしまったらアウトである。
またが有理数ならxは無理数に関しては
√を消すには同じ√を掛けると思ってしまったらダメで
どんな数にでも0を掛ければ有理数の0になる。
難易度はやや難

[3]
二次不等式の問題。
定数aが含まれている式だが因数分解さえできれば
解答欄に当てはまる数が出せる。
最後は数直線上に不等式の解を表して考えよう。
難易度は易

第1問全体での難易度は標準


第2問
[1]
三角比の問題。
最初の問題は正弦定理を使うだけの問題。
(1)は与えられた2PA=3PBをどう使うかを考える必要がある。
PAを求めたいのでPBをPAで表すと良い。
(2)はPがどこに来た時に△PABの面積が最大になるかを考える必要がある。
弦ABからの距離が最も遠くなる円周上の点を探すと
PA=PBの二等辺三角形のときであり
∠APB=60°より△PABが正三角形のときである。
(3)はsin∠PBAが最大になるのは∠PBAがどんなときかを考える必要がある。
普通に考えれば角度が90°のときsinは最大値1となる。
Pが動ける範囲を考えれば∠PBAの対辺PAが直径になることが可能なので
その時のことを考えればよい。
難易度は標準

[2][3]
データの分析は計算問題がほとんどなく
単元名通りのデータを分析する(読み取る)問題がメインだった。
ただし散布図もヒストグラム・箱ひげ図も
非常に判断しやすい問題になっていた。
箱ひげ図に関しては最大値・最小値のみで判断でき
四分位数を考える必要はなかった。
そこまでは簡単だったが、[3]の(3)は
データから分散、共分散、相関係数を計算で出す練習しか
してこなかった人には難しかったと思う。
計算方法やその式の構造をよく理解していれば
全てのデータを+aしたり×aしたらどうなるかはわかるが
そこまで落ち着いて考えられるか、ということもあり
できれば事前に知っておきたい内容である。
難易度はやや易

第2問全体の難易度は標準



【数T】センター数TAのT(2016年)
【数A】センター数TAのA(2016年)
【数U】センター数UBのU(2016年)
【数B】センター数UBのB(2016年)
posted by ジュンジ at 01:33 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学T

2015年06月22日

ゆーたろーさんへ

ゆーたろーさんからいただいた質問への返事です。
大変遅くなりすみませんm(_ _)m

===========================================

(1)正の整数nに対して

  

 とするとき、の値をnを用いて表せ

(2)正の整数m、nに対して

  

 とするとき、の値を求めよ

(3)a、bがそれぞれすべての実数を変化するとき

  

 を最小にするa、bの値と、そのときの最小値を求めよ

===========================================

手書きですみません(^^;

20150622_03.jpg
posted by ジュンジ at 15:03 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事