2015年06月22日

クロさんへ

クロさんからいただきました質問への返事です。
大変遅くなり申し訳ありませんm(_ _)m

==============================================================
この問題が分かりません。
・次の条件p,qについて、命題p→qの真偽を、集合を使って調べよ。
ただし、Xは実数、Mは自然数とする。
(1)P:−3≦X,q:−1≦X≦1
(2)p:│X│>3,q:│X│>4
(3)p:│X│<2,q:│X-1│<3
(4)p:mは18の約数、q:mは36の約数
==============================================================

命題p→qの真偽を集合で考える場合は
集合Pの全ての要素が集合Qに含まれていれば真
集合Pの要素が1つでも集合Qに入っていなければ偽
と結論付けます。
要素の個数が有限個の場合はベン図を利用します。
要素が実数など連続数で無限個ある場合は数直線を利用します。
真や偽になる例をそれぞれいくつか描いておくと

20150622_01.jpg

こんな感じです。
ということで質問の問題は次のようになります。

20150622_02.jpg
posted by ジュンジ at 14:50 | Comment(0) | TrackBack(0) | 質問の返事

2015年04月21日

【数B】漸化式 a_(n+1)=pa_n+q^(n+k)タイプ

 

このタイプの漸化式の解き方を2通り紹介したいと思います。



【解法1】 で割る

  

 ここでとおく

  

 ここからはタイプとしてを求めます。
 それが求まったらに戻して、両辺を倍すればOKです。
 あとで実際にやってみたいと思います。

-------------------------------------

【解法2】 で割る

  

 ここでとおく

  

 ここからはタイプと見れるので、
 階差数列の一般項がの数列として一般項を求められる。

-------------------------------------




例題
 で与えられる数列の一般項を求めよ



【解法1】 で割る
 
  
 
 ここでとおく

  

 特定方程式を作る

  

 次の2式で引き算する

  

  

 求めたを代入

  

 とおく

  

 これは公比がの等比数列である。
 初項を求める。

  

 したがって

  

-------------------------------------


【解法2】 で割る

  

 ここでとおく

  

 階差数列を利用して解く前にを求めておく。

  

  のとき

  

 この式に対してのとき

  

 先に求めておいたに一致しました。
 よってのときも

  

 が成り立つ。

  
posted by ジュンジ at 13:39 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

2015年04月17日

【数V】積分の問題

ゆーたろーさんから質問いただきました。
ありがとうございます(^^)

==============================

 (2)  を求めよ。

==============================

この問題の前に次のような問題がありました。

-----------------------------------------------------

 (1)連続関数は、すべての実数xに対して
 を満たしている。
 このとき、と置換することにより、等式

  

 が成り立つことを示せ。

-----------------------------------------------------

この(1)の証明は省略して、この等式が成り立つことを利用したいと思います。

まず本題である(2)の定積分する関数を見ると

 

ですが、これを

 

と見て、x以外の部分をf(x)とします。

  とする

これに対してを満たすかどうかを確認します。

 

無事に成り立ちました。
したがって(2)の問題に対して(1)を使うと

 

となります。
ここからは次のように解いていきます。

 


積分でlogにしたときに絶対値ではなく普通のカッコにしているのは

   

だからです(^^)
posted by ジュンジ at 01:02 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学V

2015年01月19日

【数B】センター数UBのB(2015年)

第3問
数列{an}は周期的変化の数列、
数列{bn}は漸化式で定義されている。
それだけだと難しいが誘導に乗って行けば
序盤は問題なく進んでいけただろう。
問題は解答欄コの辺りから。
周期的変化の数列ではよくやることだが
anの4種類の値によって数列を4つに分けるのである。
b1、b2、b3、b4までを具体的に求めておいて
b1、b5、b9、…
b2、b6、b10、…
b3、b7、b11、…
b4、b8、b12、…
のように4つの数列に分けると
初項はそれぞれb1、b2、b3、b4だが
公比はどれも3/2となる。
そしてこの後のを求める時も
この4つの数列の第1項から第m項までの和の合計として考える。
(4)の積に関してはとくに公式を習ったわけではないので
実際に掛けて行くとどうなるかを観察してみると良いが
今度はb1〜b4の積、b5〜b8の積のように連続する4つの項ごとに
まとめていくように誘導されている。
は直前に求めた式のkに
k=1、2、3、…、mを代入して計算すればよい。
この時、積は指数法則により指数の和で計算できるようになる。
最後のにb9とb10をかければよい。
ここは難。

第4問
平面ベクトルの問題。
基底ベクトルがベクトルOAとベクトルOBとわかりやすく書いてある。
最初はPやQを内分公式を使って表す問題。
Qの方はベクトルOCをベクトルOAとベクトルOBに変換する必要がある。
ベクトルOC=ベクトルABなのであとは始点をOにすればよい。
OPやOQの長さは定番の2乗して求める方法で。
(1)最後の問題は三角形の面積だが、
直角三角形なので求めたOP、OQを使って底辺×高さ×1/2で求まる。
(2)は最頻出問題の交点を指すベクトル。
ベクトルOTを2通りで表して、一次独立より係数比較。
最後の面積比の問題はPT:TQとAT:TRの比を
求めたs、tから求めれば、底辺と高さの比がわかるので解ける。
ここは標準。

第5問
(1)は袋から球を取り出すときの
白球の個数に関する確率の問題。
それぞれ組合せの考えで求めよう。
期待値は 個数×確率 の合計で
分散は 平均の2乗−2乗の平均 で求める。
(2)は標準正規分布に関する問題。
正規分布表の使い方がわかっているかを問われた。
正規分布表には図の斜線部の面積、
つまり確率が書かれているが、
左右対称の図形の右半分の部分のみなので
確率が0.99になるのは右半分では0.495になるときである。
表からそれに近い値を探すと0.4949と0.4951があるが
0.4950はないのでその判断に困るが
0.4949のときのz0=2.57
0.4951のときのz0=2.58
で、解答の選択肢に2.57はないので2.58と決まる。
(3)も正規分布表に関する問題。
(2)より信頼度99%の信頼区間は

 標本平均−2.58≦m≦標本平均+2.58

なので、L2=(標本平均+2.58)−(標本平均−2.58)より
L2=2.58×2
同様に、95%の信頼区間は0.95の半分の0.475のときのz0を
正規分布表から読み取ると1.96だから
そのときのL1=(標本平均+1.96)−(標本平均−1.96)より
L1=1.96×2
したがってL2/L1を計算すると約1.3となる。
最後に

 標本平均−z0×σ/√n ≦ m ≦ 標本平均−z0×σ/√n

で求まることから、標本数を4倍にしたときの
信頼区間は L=2・z0・σ/√n となるので
標本数を4倍にすると1/√4倍、つまり0.5倍になるので
L3=0.5・L1となり
L3/L1=0.5となる。
ここは標準。



こちらも個人的に解いた感覚から予想すると
平均点は50〜55点くらいかと思います。

※ 大手予備校の予想はこれより10点くらい下です。
大外しになってすいません…
また第3問の難易度評価をやや難から難に変更しました。
(2015.1.21)

【追記】
第5問の記事を追記しました。 2015.1.21


【数T】センター数TAのT(2015年)
【数A】センター数TAのA(2015年)
【数U】センター数UBのU(2015年)
【数B】センター数UBのB(2015年)
posted by ジュンジ at 04:18 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学B

【数U】センター数UBのU(2015年)

それでは数UBの数U行きたいと思います。

第1問
[1]は3年ぶりに出題された三角関数。
座標に三角関数が使われていたことで
抵抗があった人も多かったと思う。
というのも実際に式を立てる時に必要な知識は
三角関数ではなく図形と方程式の単元の方だからだ。
式を立てた後の計算が三角関数の分野になっていた。
(1)のOP、PQ、OQに関してはすべて2点間の距離の
公式を使えばよい。
その後は三角関数の相互関係式を使って整理。
OQについては加法定理を普段とは逆に使って合成する。
OQの最大値に関しては頻出問題と言えるだろう。
(2)は直線OPの式を選択肢から選ぶ問題だが
OPは原点を通る直線なのであとは傾きを求めればよい。
そこに三角関数が出てくるが気にせずにいつも通りやればOK。
3点O、P、Qが一直線上ならばどちらも原点を通るので
OPとOQの傾きが等しいという式を立てても良いが
「このことにより」ということから
先ほどの式を利用することを考えると
点Qは直線OP上にあるので点Qの座標をxとyに代入すればよい。
(3)の∠OQPが直角になるときはOP=2、PQ=1であることを
見落とさなければその図より1:2:√3でOQ=√3であることが容易にわかる。
それがわかればOQ^2=5+4cos6θにOQの値を代入して解けばθが求まる。
またOQとPQが直角なので傾きの積=-1としても解ける。

[2]は指数関数の問題。
平方根や3乗根などのルートを指数で表してから
連立方程式を解くといいだろう。
(2)の最小値の問題は相加平均・相乗平均を
使うことまでも誘導されているので
そこに苦労はしなかっただろう。
それよりもここは指数法則をきちんと
理解できているかが分かれ道だろう。

第1問はやや難


第2問
例年通り微積分の問題。
珍しいのは微分係数を定義に従って求める問題があったこと。
最初に習ったあとは公式ばかりになってしまうので
もしかしたら最初だけできなかった人もいるかもしれない。
ただ公式で微分して求めることもできるので
(2)からの問題に特に影響はしないだろう。
後半の面積Sや面積Tを求める問題は
少し計算が面倒ではあるが難しくはない。
S-T>0という3次不等式は因数分解してやれば
なんとなく解答欄に合う値は1つしか出てこないが、
大体のグラフは書いてもらいたいところである(笑)
ただ今回はa>0ということから両辺をaで割ることができ
そうすれば二次不等式になるので簡単に解ける。
最後のS-Tの最小値も「増減を調べると」と
増減表を書くようにヒントが書かれている。
ここは標準。


【追記】第2問の解説を追記しました。2015.1.21



【数T】センター数TAのT(2015年)
【数A】センター数TAのA(2015年)
【数U】センター数UBのU(2015年)
【数B】センター数UBのB(2015年)
posted by ジュンジ at 03:42 | Comment(0) | TrackBack(0) | 数学U